Punti allineati

[leffy13]

ho un esercizio che mi chiede di dire se i 3 punti $P_0(1,2,3)$, $P_1(2,1,3)$ e $P_2(0,3,1)$ sono allineati. come si procede per stabilirlo??
grazie

[Gaal Dornick]

Quando non si hanno idee per risolvere un esercizio...è sempre buona norma ricordare la definizone.
Definizione: 3 punti sono allineati se appartengono a una stessa retta.
Ad esempio potresti verificare: presa la retta per $P_0$ e $P_1$, passa per $P_2$?

Oppure..potresti verificare che l'area del triangolo avente questi punti come vertici è nulla!

[leffy13]

mi spieghi meglio come fare per favore?

[Gaal Dornick]

Al momento devo scappare.. Se è ti rispondo quando torno stanotte.
Anyway devi semplicemente trovare l'equazione della retta per i primi due punti, e verificare se le coordinate del terzo la verificano. Prova a postare i tuoi ragionamenti..

Il fatto è che non ricordo molto questi argomenti, quindi non posso scriverti i conti che devi fare.

[Steven11]

"leffy13":mi spieghi meglio come fare per favore?

Gaal Dornick mi è sembrato abbastanza chiaro nel risponderti.
Sei pregato/a di esporre i tuoi dubbi con maggiore chiarezza, grazie.

[leffy13]

è stato chiarissimo..
io so calcolare la retta passante per 2 punti $P_1=(x_1,y_1)$ $P_2=(x_2,y_2)$ se i punti hanno solo 2 coordinate con l'equazione $y_2-y_1=m(x_2-x_1)$
ma l'esercizio mi parla di punti con 3 coordinate..questo è il mio dubbio.

[franced]

"leffy13":ho un esercizio che mi chiede di dire se i 3 punti $P_0(1,2,3)$, $P_1(2,1,3)$ e $P_2(0,3,1)$ sono allineati. come si procede per stabilirlo??
grazie

Ci sono tanti modi per procedere:

1) ti calcoli la retta passante per 2 punti e verifichi se il terzo appartiene alla retta

2) fai il prodotto vettoriale dei vettori $P_1 - P_0$ e $P_2 - P_0$: se è nullo i tre punti sono allineati

3) ti calcoli l'area del triangolo che ha per vertici i 3 punti:
se l'area è nulla allora i punti sono allineati

4) cerchi di calcolare un piano passante per i 3 punti: se ti vengono infinite
soluzioni significa che i punti sono allineati


....

[hee136]

"leffy13":ho un esercizio che mi chiede di dire se i 3 punti $P_0(1,2,3)$, $P_1(2,1,3)$ e $P_2(0,3,1)$ sono allineati. come si procede per stabilirlo??
grazie

I punti $P_0$ e $P_1$ hanno entrambi z=3 quindi la retta passante per questi due punti appartiene al piano Z=3. Il punto $P_2$ invece ha z=1 quindi non appartiene al piano. Di conseguenza non appartiene neppure alla retta.

[franced]

"franced":[quote="leffy13"]ho un esercizio che mi chiede di dire se i 3 punti $P_0(1,2,3)$, $P_1(2,1,3)$ e $P_2(0,3,1)$ sono allineati. come si procede per stabilirlo??
grazie

Ci sono tanti modi per procedere:

1) ti calcoli la retta passante per 2 punti e verifichi se il terzo appartiene alla retta

2) fai il prodotto vettoriale dei vettori $P_1 - P_0$ e $P_2 - P_0$: se è nullo i tre punti sono allineati

3) ti calcoli l'area del triangolo che ha per vertici i 3 punti:
se l'area è nulla allora i punti sono allineati

4) cerchi di calcolare un piano passante per i 3 punti: se ti vengono infinite
soluzioni significa che i punti sono allineati


....[/quote]


5) ti calcoli il piano equidistante da $P_1$ e $P_2$ e
il piano equidistante da $P_2$ e $P_3$.
Intersechi questi piani: se non trovi soluzioni i 3 punti sono allineati


....

[dissonance]

magari puoi verificare direttamente se $P_1-P_0$ e $P_2-P_0$ sono linearmente dipendenti (è completamente equivalente a quello che è stato scritto prima). Questo significa dire che lo spazio (affine) che $P_0, P_1, P_2$ generano ha dimensione uno ovvero è una retta ... questa è proprio la definizione "base", la prima che trovi su un libro, magari per te è più facile da ricordare (per me si). Osserv.: l'ordine non è importante, puoi anche prendere $P_0-P_1$ e $P_2-P_1$, o $P_1-P_2$ e $P_0-P_2$: ottieni sempre dei vettori di direzione dello spazio generato dai tre punti.

[Gaal Dornick]

Nota: il metodo 2, il metodo 3 di Franced e il metodo di Dissonance sono difatto gli stessi conti. Carino

[hee136]

"Gaal Dornick":Nota: il metodo 2, il metodo 3 di Franced e il metodo di Dissonance sono difatto gli stessi conti. Carino

Come vi è venuto in mente di usare questi metodi?

[Gaal Dornick]

Quasi contemporaneamente leffy aveva aperto un topic dove chiedeva come calcolare l'area di un triangolo noti i vertici..e quindi non ho saputo resistere, gli ho riproposto lo stesso esercizio.

[leffy13]

capito..grazie mille a tutti

[franced]

E' ovvio che i metodi sono in pratica uguali.

Si tratta solo di vedere la questione da diverse angolature, tutto qua.

[Gaal Dornick]

Esatto, è questo il bello... arrivare alla soluzione da mille strade, e poi confrontarle, paragonarle..