Area triangolo con vettori
calcolare l'area del triangolo di vertici generato dai 3 vettori $P_0=(0,0,0)$, $P_1=(2,0,1)$ e $P_2=(1,1,-1)$
l'area la trovo facendo il prodotto vettoriale tra $(P_1 - P_0)$ e $(P_2 - P_0)$ e dividendo il risultato per 2..giusto??
devo calcolare la norma del prodotto vettoriale o basta il valore assoluto??
l'area la trovo facendo il prodotto vettoriale tra $(P_1 - P_0)$ e $(P_2 - P_0)$ e dividendo il risultato per 2..giusto??
devo calcolare la norma del prodotto vettoriale o basta il valore assoluto??
Risposte
Non capisco l'ultima domanda: cos'è il valore assoluto di un vettore?
in $RR^3$ non ha snso parlare di valore assoluto, ma solo della sua norma ($||x||=sqrt(x_1^2+...+x_n^2)$)...
ciao
ciao
quindi devo fare la norma del prodotto vettoriale e dividere tutto per 2 per trovare l'area?
yes 
Un appunto.
Notiamo le proprietà del valore assoluto su $RR$:
1) $AAx in RR: |x|>=0$
2) $|x|=0 <=> x=0$
3) $AAx in RR AA lambda in RR: |lambda x|=|lambda||x|$
4) $AAx,y in RR:|x+y|<=|x|+|y|$
(Le puoi dimostrare tutte semplicemente)
Quando si inventarono i vettori decisero che avevano bisogno di uno strumento simile al valore assoluto, però su spazi vettoriali...e così inventarono la norma: infatti tutte le proprietà precedenti sono verificate dalle norme! (la 3 va un po' aggiustata..). In realtà non è proprio così: anche $RR$ è uno spazio vettoriale (su $RR$) (in realtà qualsiasi campo è sp.vettoriale su se stesso), e una norma su di esso è proprio il valore assoluto.
Ad esempio il modulo su $CC$ altro non è che la norma 2 su $RR^2$..
Quindi quando chiedi se devi calcolare il valore assoluto sui vettori di $RR^3$ mi sono cadute un po' le braccia...ecco perchè tutto questo sproloquio.
Nota: se vuoi puoi vedere la norma di un vettore come la sua "lunghezza"..o come la sua distanza dall'origine.
Notiamo le proprietà del valore assoluto su $RR$:
1) $AAx in RR: |x|>=0$
2) $|x|=0 <=> x=0$
3) $AAx in RR AA lambda in RR: |lambda x|=|lambda||x|$
4) $AAx,y in RR:|x+y|<=|x|+|y|$
(Le puoi dimostrare tutte semplicemente)
Quando si inventarono i vettori decisero che avevano bisogno di uno strumento simile al valore assoluto, però su spazi vettoriali...e così inventarono la norma: infatti tutte le proprietà precedenti sono verificate dalle norme! (la 3 va un po' aggiustata..). In realtà non è proprio così: anche $RR$ è uno spazio vettoriale (su $RR$) (in realtà qualsiasi campo è sp.vettoriale su se stesso), e una norma su di esso è proprio il valore assoluto.
Ad esempio il modulo su $CC$ altro non è che la norma 2 su $RR^2$..
Quindi quando chiedi se devi calcolare il valore assoluto sui vettori di $RR^3$ mi sono cadute un po' le braccia...ecco perchè tutto questo sproloquio.
Nota: se vuoi puoi vedere la norma di un vettore come la sua "lunghezza"..o come la sua distanza dall'origine.
la norma del prodotto vettoriali tra 2 vettori u e v è uguale a $||u||*||v||*sin \theta$ dove $\theta$ è l'angolo tra i 2 vettori u e v.
quindi dividendo tutto per 2 ottengo l'area del triangolo..chi conferma??
quindi dividendo tutto per 2 ottengo l'area del triangolo..chi conferma??
Io confermo.
Solo che come fai a calcolare l'angolo tra i due vettori? Se guardi con attenzione LA FORMULA vedi che calcolerai un prodotto scalare.. e arriverai al risultato con una strada lunghissima! Calcola invece il prodotto vettoriale con "il determinante simbolico" e poi calcolane la norma con quanto dice Domè89: è più breve.
Ma hai capito quanto ho scritto su? E' assai più importante che non riuscire a risolvere un esercizio stupido...
Solo che come fai a calcolare l'angolo tra i due vettori? Se guardi con attenzione LA FORMULA vedi che calcolerai un prodotto scalare.. e arriverai al risultato con una strada lunghissima! Calcola invece il prodotto vettoriale con "il determinante simbolico" e poi calcolane la norma con quanto dice Domè89: è più breve.
Ma hai capito quanto ho scritto su? E' assai più importante che non riuscire a risolvere un esercizio stupido...
cosa intendi per determinante simbolico??
Puoi calcolare il prodotto vettoriale come preferisci..personalmente lo ricordo sfruttando sta "regoletta mnemonica" (http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_vettoriale - verso metà della pagina, appena prima di "Notazione con indici")
si..so come calcolarlo, nn capivo il tuo "simbolico". quindi faccio la norma di ciò che ottengo e divido per 2 per trobvare l'area. grazie
Vedere la norma di un vettore come la sua lunghezza o distanza dall'origine non è poi così strano se si pensa che i vettori sono stati inizialmente introdotti in Fisica per rappresentare le forze agenti su un corpo ( e quindi la lunghezza del segmento proporzionale all'intensità della forza agente ) o la velocità di un punto.
Gli spazi vettoriali, nei quali il concetto di vettore è generalizzato e diventa "oggetto matematico" , sono stati introdotti successivamente.
Gli spazi vettoriali, nei quali il concetto di vettore è generalizzato e diventa "oggetto matematico" , sono stati introdotti successivamente.
I knew.
Ma è sempre bello dirlo, chissà che leffy abbia colto qualcosa..
Ma è sempre bello dirlo, chissà che leffy abbia colto qualcosa..
Dato un triangolo avente un vertice nell'origine e un altro vertice che appartiene all'asse x e definito da due vettori, la sua area è uguale alla norma del prodotto vettoriale diviso 2.
Considero il triangolo definito dai vettori $\vec (P_1 (X_1,Y_1) - O)$ e $\vec (P_0(X_0,Y_0) - O)$ e come terzo lato la loro differenza.
|| $\vec P_0 x \vec P_1$ || = || $\vec P_0$ || x || $\vec P_1$ || x $sen \alpha$ (1)
Quanto vale || $\vec P_1$ || x $sen \alpha$ ?
Si può ricavare dalla seguente proporzione: $ 1 : ||P_1|| = sen \alpha : P_1y rArr || P_1|| x sen \alpha = P_1y = y1$ ($P_1y$ è la proiezione di $P_1$ sull'asse y)
Andando a sostituire nella (1), si ottiene che il prodotto vettore è uguale al prodotto tra la norma del vettore $P_0$ e $P_1y$
La norma del vettore $P_0$ è la base del triangolo e $P_1y$ è l'altezza del triangolo.
Siccome il prodotto il vettore è definito come l'operazione che dal prodotto di due vettori ottiene un vettore che ha direzione perpendicolare al piano contenente i due vettori e come norma il prodotto tra le norme dei due vettori moltiplicato il seno dell'angolo compreso, ora per calcolare l'area del triangolo è sufficiente calcolare la norma di questo vettore ottenuto e dividerla per due.
Le ipotesi che sono state date all'inizio non sono restrittive poichè se un triangolo non ha vertice nell'origine e/o non ha un altro vertice che appartiene all'asse x basta eseguire una traslazione degli assi e/o una rotazione.
Considero il triangolo definito dai vettori $\vec (P_1 (X_1,Y_1) - O)$ e $\vec (P_0(X_0,Y_0) - O)$ e come terzo lato la loro differenza.
|| $\vec P_0 x \vec P_1$ || = || $\vec P_0$ || x || $\vec P_1$ || x $sen \alpha$ (1)
Quanto vale || $\vec P_1$ || x $sen \alpha$ ?
Si può ricavare dalla seguente proporzione: $ 1 : ||P_1|| = sen \alpha : P_1y rArr || P_1|| x sen \alpha = P_1y = y1$ ($P_1y$ è la proiezione di $P_1$ sull'asse y)
Andando a sostituire nella (1), si ottiene che il prodotto vettore è uguale al prodotto tra la norma del vettore $P_0$ e $P_1y$
La norma del vettore $P_0$ è la base del triangolo e $P_1y$ è l'altezza del triangolo.
Siccome il prodotto il vettore è definito come l'operazione che dal prodotto di due vettori ottiene un vettore che ha direzione perpendicolare al piano contenente i due vettori e come norma il prodotto tra le norme dei due vettori moltiplicato il seno dell'angolo compreso, ora per calcolare l'area del triangolo è sufficiente calcolare la norma di questo vettore ottenuto e dividerla per due.
Le ipotesi che sono state date all'inizio non sono restrittive poichè se un triangolo non ha vertice nell'origine e/o non ha un altro vertice che appartiene all'asse x basta eseguire una traslazione degli assi e/o una rotazione.
ho calcolato il prodotto vettoriale e mi risulta (-1,3,2), calcolo la sua norma che mi da $sqrt(14)$ e quindi l'area del triangolo vale $sqrt(14) / 2$.
è giusto??
è giusto??
Sì, è giusto 
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