Matrici di cambiamento di base
Le coordinate di $u$ nella base canonica sono esattamente $(5,5,3,1)$ (ricorda che sei in $RR^4$). 
Comunque non sono sicuro di aver ben compreso la domanda.
Evidentemente $V="span"{v_1,v_2}$ ha dimensione due in $RR^4$, pertanto è isomorfo a $RR^2$ con l'isomorfismo univocamente determinanto dalle assegnazioni $phi(v_1)=(1,0)=e_1$ e $phi(v_2)=(0,1)=e_2$. Ora $v_1,v_2$ stanno in $RR^4$ e $e_1,e_2$ stanno in $RR^2$... quindi non capisco dove vorresti cambiare base se in $V$ o in $RR^2$.
Comunque non sono sicuro di aver ben compreso la domanda.
Evidentemente $V="span"{v_1,v_2}$ ha dimensione due in $RR^4$, pertanto è isomorfo a $RR^2$ con l'isomorfismo univocamente determinanto dalle assegnazioni $phi(v_1)=(1,0)=e_1$ e $phi(v_2)=(0,1)=e_2$. Ora $v_1,v_2$ stanno in $RR^4$ e $e_1,e_2$ stanno in $RR^2$... quindi non capisco dove vorresti cambiare base se in $V$ o in $RR^2$.
Risposte
Spero di aver capito bene.
Diciamo che hai $V=RR^3$ e un sottospazio $W$ di $RR^3$ di dimensione $2$, una cui base è $\mathfrak{V}_2={v_1,v_2}$. Allora naturalmente esiste un isomorfismo $f:W to RR^2$ che manda $v_1$ in $e_1$ e $v_2$ in $e_2$. Quando vuoi trovare una $g:RR^3 to RR^2$ che ristretta a $W$ sia la tua $f$, basta che completi ${v_1,v_2}$ a una base, chiamiamola $mathfrak{V}_3={v_1,v_2,v_3}$, e che definisci $g:RR^3 to RR^2$ mandando $v_1$ e $v_2$ dove devono andare, e $v_3$ in zero.
Nota bene: ho mandato $v_3$ in zero per semplicità, ma potevo mandarlo dove volevo.
Nel caso che dicevi abbiamo $v_1=((1),(1),(0))$, $v_2=((1),(1),(1))$. Scegliamo $v_3=((0),(1),(0))$. Definiamo l'omomorfismo
$g:RR^3 to RR^2$, $g(x v_1+y v_2+z v_3) = ((1,0,0),(0,1,0))((x),(y),(z))$, dove in $RR^2$ prendiamo la base canonica
Ora noi vorremmo una tale $g$ ma con a sinistra la base canonica di $RR^3$ (chiamiamola $mathfrak{E}_3$). Bene, basta "cambiare base". Abbiamo che $A=((1,1,0),(1,1,1),(0,1,0))$ è la matrice che prende la base $mathfrak{V}_3$ scritta nella base $mathfrak{V}_3$ e la manda nella base $mathfrak{V}_3$ scritta nella base $mathfrak{E}_3$: $A (mathfrak{V}_3 _mathfrak{V}_3) = mathfrak{V}_3 _mathfrak{E}_3$. Quindi $mathfrak{V}_3 _mathfrak{V}_3 = A^{-1} (mathfrak{V}_3 _mathfrak{E}_3)$ e allora abbiamo:
$g(xe_1+ye_2+ze_3) = ((1,0,0),(0,1,0)) ((1,1,0),(1,1,1),(0,1,0))^{-1} ((x),(y),(z))$, dove anche a destra prendiamo la base canonica.
Ne segue che la matrice che cerchiamo (quella che esprime $g:RR^3 to RR^2$ nelle basi canoniche) è
$((1,0,0),(0,1,0)) ((1,1,0),(1,1,1),(0,1,0))^{-1} = ((1,0,0),(0,1,0)) ((1,0,-1),(0,0,1),(-1,1,0)) = ((1,0,-1),(0,0,1))$
Quella che hai trovato anche tu
Attenzione: abbiamo trovato la stessa matrice per una coincidenza, ce ne sono infinite: la matrice dipende dalla scelta di $v_3$ e della sua immagine.
In particolare $g(0,1,0)=(0,0)$ (come dev'essere: $v_3$ va in zero) nelle basi canoniche (perché tu hai scritto $g(0,1,0)=(-1,1)$ ?).
Se proviamo a mandare $v_3$ in $((1),(0))$ otteniamo la matrice finale
$((1,0,1),(0,1,0)) ((1,1,0),(1,1,1),(0,1,0))^{-1} = ((1,0,1),(0,1,0)) ((1,0,-1),(0,0,1),(-1,1,0)) = ((0,1,-1),(0,0,1))$,
che come vedi estende la $f$ ma non manda $v_3$ in zero (come invece faceva quella di prima che coincide con la tua).
Spero che si capisca
Edito: un tormentone che mi ha "tormentato" appunto mentre studiavo per la prima volta queste cose: in che base è scritta la base canonica?
Diciamo che hai $V=RR^3$ e un sottospazio $W$ di $RR^3$ di dimensione $2$, una cui base è $\mathfrak{V}_2={v_1,v_2}$. Allora naturalmente esiste un isomorfismo $f:W to RR^2$ che manda $v_1$ in $e_1$ e $v_2$ in $e_2$. Quando vuoi trovare una $g:RR^3 to RR^2$ che ristretta a $W$ sia la tua $f$, basta che completi ${v_1,v_2}$ a una base, chiamiamola $mathfrak{V}_3={v_1,v_2,v_3}$, e che definisci $g:RR^3 to RR^2$ mandando $v_1$ e $v_2$ dove devono andare, e $v_3$ in zero.
Nota bene: ho mandato $v_3$ in zero per semplicità, ma potevo mandarlo dove volevo.
Nel caso che dicevi abbiamo $v_1=((1),(1),(0))$, $v_2=((1),(1),(1))$. Scegliamo $v_3=((0),(1),(0))$. Definiamo l'omomorfismo
$g:RR^3 to RR^2$, $g(x v_1+y v_2+z v_3) = ((1,0,0),(0,1,0))((x),(y),(z))$, dove in $RR^2$ prendiamo la base canonica
Ora noi vorremmo una tale $g$ ma con a sinistra la base canonica di $RR^3$ (chiamiamola $mathfrak{E}_3$). Bene, basta "cambiare base". Abbiamo che $A=((1,1,0),(1,1,1),(0,1,0))$ è la matrice che prende la base $mathfrak{V}_3$ scritta nella base $mathfrak{V}_3$ e la manda nella base $mathfrak{V}_3$ scritta nella base $mathfrak{E}_3$: $A (mathfrak{V}_3 _mathfrak{V}_3) = mathfrak{V}_3 _mathfrak{E}_3$. Quindi $mathfrak{V}_3 _mathfrak{V}_3 = A^{-1} (mathfrak{V}_3 _mathfrak{E}_3)$ e allora abbiamo:
$g(xe_1+ye_2+ze_3) = ((1,0,0),(0,1,0)) ((1,1,0),(1,1,1),(0,1,0))^{-1} ((x),(y),(z))$, dove anche a destra prendiamo la base canonica.
Ne segue che la matrice che cerchiamo (quella che esprime $g:RR^3 to RR^2$ nelle basi canoniche) è
$((1,0,0),(0,1,0)) ((1,1,0),(1,1,1),(0,1,0))^{-1} = ((1,0,0),(0,1,0)) ((1,0,-1),(0,0,1),(-1,1,0)) = ((1,0,-1),(0,0,1))$
Quella che hai trovato anche tu
Attenzione: abbiamo trovato la stessa matrice per una coincidenza, ce ne sono infinite: la matrice dipende dalla scelta di $v_3$ e della sua immagine.
In particolare $g(0,1,0)=(0,0)$ (come dev'essere: $v_3$ va in zero) nelle basi canoniche (perché tu hai scritto $g(0,1,0)=(-1,1)$ ?).
Se proviamo a mandare $v_3$ in $((1),(0))$ otteniamo la matrice finale
$((1,0,1),(0,1,0)) ((1,1,0),(1,1,1),(0,1,0))^{-1} = ((1,0,1),(0,1,0)) ((1,0,-1),(0,0,1),(-1,1,0)) = ((0,1,-1),(0,0,1))$,
che come vedi estende la $f$ ma non manda $v_3$ in zero (come invece faceva quella di prima che coincide con la tua).
Spero che si capisca
Edito: un tormentone che mi ha "tormentato" appunto mentre studiavo per la prima volta queste cose: in che base è scritta la base canonica?
Sergio, aspetta un attimo.
Innanzitutto $E_2={(1,0) , (0,1)}$ non è una base di $V="span"{(1,1,0) , (1,1,1)}$... Il massimo che posso concederti su questo argomento è che $E_2$ sia una base di uno spazio vettoriale isomorfo a $V$.
Poi, "$RR^2 \subset RR^3$"!!! Ma che scherziamo?
Qui dovresti dire che esistono in $RR^3$ sottospazi isomorfi ad $RR^2$ e che, fissato uno di tali sottospazi $W$, si può identificare $RR^2$ con $W$ mediante un opportuno isomorfismo.
Quello che vuoi fare, a quanto ho capito, è determinare la matrice $A in \marthbb{M}_(3,2)(RR)$ associata ad un isomorfismo tra $V$ ed $RR^2$ rispetto alla base canonica del codominio ed alla base assegnata del dominio e poi vedere come essa cambia cambiando le basi di $RR^2$ e di $V$ (in $RR^3$).
Determinare $A$ in generale mi sembra facile: si tratta di risolvere un sistema lineare con più incognite che equazioni.
Per vedere come cambia $A$ fissando basi diverse in $V$ ed $RR^2$ puoi ragionare così: determini la matrice del cambiamento di base (m.c.b.) in $RR^2$; completi la vecchia e la nuova base di $V$ a basi di $RR^3$ e trovi la relativa m.c.b.; moltiplichi $A$ a sinistra per la m.c.b. in $RR^3$ ed a destra per quella in $RR^2$.
Così dovrebbe funzionare, ma non assicuro nulla perchè Algebra Lineare non è il mio forte!
Innanzitutto $E_2={(1,0) , (0,1)}$ non è una base di $V="span"{(1,1,0) , (1,1,1)}$... Il massimo che posso concederti su questo argomento è che $E_2$ sia una base di uno spazio vettoriale isomorfo a $V$.
Poi, "$RR^2 \subset RR^3$"!!! Ma che scherziamo?
Qui dovresti dire che esistono in $RR^3$ sottospazi isomorfi ad $RR^2$ e che, fissato uno di tali sottospazi $W$, si può identificare $RR^2$ con $W$ mediante un opportuno isomorfismo.
Quello che vuoi fare, a quanto ho capito, è determinare la matrice $A in \marthbb{M}_(3,2)(RR)$ associata ad un isomorfismo tra $V$ ed $RR^2$ rispetto alla base canonica del codominio ed alla base assegnata del dominio e poi vedere come essa cambia cambiando le basi di $RR^2$ e di $V$ (in $RR^3$).
Determinare $A$ in generale mi sembra facile: si tratta di risolvere un sistema lineare con più incognite che equazioni.
Per vedere come cambia $A$ fissando basi diverse in $V$ ed $RR^2$ puoi ragionare così: determini la matrice del cambiamento di base (m.c.b.) in $RR^2$; completi la vecchia e la nuova base di $V$ a basi di $RR^3$ e trovi la relativa m.c.b.; moltiplichi $A$ a sinistra per la m.c.b. in $RR^3$ ed a destra per quella in $RR^2$.
Così dovrebbe funzionare, ma non assicuro nulla perchè Algebra Lineare non è il mio forte!
Mi pare che quello che hai scritto vada bene (parlo delle idee: non ho controllato i conti ma mi fido ).
PS: "buriana" è italiano corrente? Subito l'avevo interpretata come quello che in veneto chiamiamo "abbiocco", ma poi ho controllato sul sacro De Mauro e ho rimarcato la differenza.
).PS: "buriana" è italiano corrente? Subito l'avevo interpretata come quello che in veneto chiamiamo "abbiocco", ma poi ho controllato sul sacro De Mauro e ho rimarcato la differenza.
[OT lessicale per Martino]
"Buriana", dalla mie parti, sta per "temporale che viene da mare"... Quindi avevo capito subito che c'era qualche problemino.
[/OT]
Felice di averti aiutato, Sergio.
E comunque, detto meno formalmente, la differenza tra $RR^2$ ed $RR^3$ è proprio che c'è una coordinata in più!
"Buriana", dalla mie parti, sta per "temporale che viene da mare"... Quindi avevo capito subito che c'era qualche problemino.
[/OT]
Felice di averti aiutato, Sergio.
E comunque, detto meno formalmente, la differenza tra $RR^2$ ed $RR^3$ è proprio che c'è una coordinata in più!
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