Perché R(l) è uno spazio T4?

dissonance
Perché?
(Con R(l) intendo i reali con la topologia generata dagli intervalli [a,b) ) qualcuno mi saprebbe dare un suggerimento per dimostrare questo fatto? Grazie!

Risposte
Studente Anonimo
Studente Anonimo
Potresti giusto definire la proprietà T4 ? Io sono fermo alla 3 e mezzo.. :-D

dissonance
hai ragione, su queste proprietà ho l'impressione che ognuno si inventi il nome che gli pare...
voglio dire uno spazio di Hausdorff che separa i chiusi ( se F1, F2 sono chiusi disgiunti, allora esistono U1, U2 aperti disgiunti t.c. F1 è contenuto in U1 e F2 è contenuto in U2).

Nikilist
Perché dati due chiusi disgiunti esistono due intorni dei chiusi (non aperti, intorni) disgiunti anche loro. Se consideri due intervalli chiusi (che sono chiusi) disgiunti esistono due intorni (che sono in questo caso anche aperti e coincidenti con gli intevalli senza gli estremi) che sono disgiunti. Due semirette con l'origine non sono mai disgiunte, se hai una semiretta con l'origine e un intervallo basta prendere i corrispettivi aperti, Se prendi ($-\infty$,a], [c,d], [b,$+\infty)$ con $a

dissonance
quindi tu risolvi "a mano", considerando tutti i possibili tipi di chiusi... e come fai a dire che quelli sono tutti i possibili tipi di chiusi? (penso perché, se gli aperti sono unione di interv. [a,b), allora i chiusi sono intersezione di ($-infty$,a)$U$[b,$infty$) ... giusto?) Ti ringrazio per il suggerimento (io non ci avevo proprio pensato! :-D ) Infatti io stavo cercando di dimostrare che la funzione indicatore $chi$ di un chiuso è continua, ovvero che ogni chiuso è anche aperto (questo implicherebbe che ogni coppia di chiusi disgiunti si può separare con una funzione continua eccetera eccetera...) ma sarà vero? boh...! :lol: Come suggerisci tu è molto più semplice. Grazie e ciao!

Nikilist
Forse non è il massimo della rigorosità, però gli aperti di R(l) sono del tipo (a,b),(-$\infty$,a), [a,b), (a,+$\infty$), [a,+$\infty$) e le loro unioni (almeno mi sembra), allora i chiusi sono tutti e soli le unioni di complementari di tali aperti. Visto che devi prendere i chiusi disgiunti o sono aperti o contengono come aperti sé stessi meno gli eventuali estremi, ed essendo contenuti questi nei chiusi sono per forza disgiunti.

Studente Anonimo
Studente Anonimo
"dissonance":
io stavo cercando di dimostrare che la funzione indicatore $chi$ di un chiuso è continua, ovvero che ogni chiuso è anche aperto


Questo certo non è vero: i punti sono chiusi ma non aperti. :)

Anch'io avevo pensato ad una dimostrazione che descrivesse tutti i casi, ma non mi soddisfa troppo... sono in attesa di trovarne una che mi piaccia.

dissonance
buh a me più che trovare una funzione continua che separi i chiusi non viene in mente niente... pensavo di sfruttare il fatto che se F=[a,b), allora $chi_F$:R(l)$->$[0,1] è continua. certo, non è un granché, infatti poi come fare? O dobbiamo distinguere i vari tipi di chiusi (cioè quello che volevamo evitare), o sennò... mah!

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