Indipendeza lineare

[Raphael1]

non riesco a dimostrare che quattro vettori del tipo $(1,t,t^2,t^3)$ con quattro $d$ diversi sono linearmente indipendenti... qualcuno potrebbe aiutarmi? il fatto è che io scrivo quello che otterrei imponendo una combinazione lineare di essi uguale a zero, ma poi non so come concludere:

$a_1(1,t_1,t_1^2,t_1^3)+a_2(1,t_2,t_2^2,t_2^3)+a_3(1,t_3,t_3^2,t_3^3)+a_4(1,t_4,t_4^2,t_4^3)=0$

quindi avrei le equazioni

$a_1+a_2+a_3+a_4=0$

$a_1t_1+a_2t_2+a_3t_3+a_4t_4=0$


$a_1t_1^2+a_2t_2^2+a_3t_3^2+a_4t_4^2=0$


$a_1t_1^3+a_2t_2^3+a_3t_3^3+a_4t_4^3=0$ e ora? Grazie

[alberto861]

prova a farti il determinante della matrice 4x4 con tali vettori messi per riga e sviluppalo con Laplace secondo la riga degli uno e dopo un po di conti..magia!

[Gabriel6]

Il determinante di Vandermonde è la risposta che ti serve.

[alberto861]

domanda: si potrebbe fare così???: fissato $t$ ho che $(1,t,t^2,t^3)$ non sono indipendenti perchè $1-\frac{1}{t}t+ \frac{1}{t^2}t^2- \frac{1}{t^3}t^3=0$ e la quadrupla di costanti è unica a meno di moltiplicarle tutte per uno scalare(è lo stesso punto nello spazio proiettivo..)ora se metto più di un vettore di questo tipo per riga, con i $t_i$ differenti, ho che le costanti di dipendenza lineare per la prima riga non vanno bene per le altre perchè i $t_i$ sono diversi e quindi la matrice deve avere le colonne indipendenti..potrebbe funzionare?

[dissonance]

non credo sia questo ... all'inizio del thread si parlava di indipendenza lineare di vettori di $K^4$. Quindi per $t$ si intende (penso) un parametro in $K$, non un'indeterminata. Se per "quattro $d$ diversi" leggi "quattro $t$ diversi", allora la risposta (come già detto prima) sta nel determinante di Vandermonde. Secondo me è così

EDIT: per alberto86 - perché le quadruple di costanti dovrebbero essere uniche? non ci arrivo