Esercizio di geometria.
Salve a tutti! sono uno studente di geometria e sto trovando qualche problema nell'affrontare questo esercizio:
a) dire quali sono gli autovalori e gli autovettori dell’applicazione lineare T che trasforma ogni punto di nel suo simmetrico rispetto al piano di equazione x+2y+3z=0. Scrivere la matrice dell’applicazione T rispetto alla base canonica di $R^3$.
Il fatto è che ho appena iniziato a studiare autovettori e autovalori e non ho ancora capito come collegarli esattamente a una generica trasformazione lineare... nel senso la matrice dell'applicazione T posso ricavarla rispetto a una qualunque base per trovare autovalori e autovettori?
Mi scuso per la banalità dell' esercizio...
a) dire quali sono gli autovalori e gli autovettori dell’applicazione lineare T che trasforma ogni punto di nel suo simmetrico rispetto al piano di equazione x+2y+3z=0. Scrivere la matrice dell’applicazione T rispetto alla base canonica di $R^3$.
Il fatto è che ho appena iniziato a studiare autovettori e autovalori e non ho ancora capito come collegarli esattamente a una generica trasformazione lineare... nel senso la matrice dell'applicazione T posso ricavarla rispetto a una qualunque base per trovare autovalori e autovettori?
Mi scuso per la banalità dell' esercizio...
Risposte
Ciao e benvenuto!
Ho spostato il tuo post qui, visto che era in una sezione "sbagliata".
Buon proseguimento.
Ho spostato il tuo post qui, visto che era in una sezione "sbagliata".
Buon proseguimento.
si va bene una base qualsiasi. gli autovalori sono invarianti rispetto alla scelta di una base, dipendono solo dalla trasformazione lineare, e gli autovettori ovviamente li otterrai in coordinate sulla base scelta.
EDIT: pensandoci meglio si può pure fare a meno di svolgere tutti i conti, infatti se ti visualizzi la trasformazione ti rendi conto che gli autovalori li conosci già, e una base di autovettori te la trovi con poco sforzo.
EDIT: pensandoci meglio si può pure fare a meno di svolgere tutti i conti, infatti se ti visualizzi la trasformazione ti rendi conto che gli autovalori li conosci già, e una base di autovettori te la trovi con poco sforzo.
OK grazie mille.. ma non ho capito bene in che senso li conosco già...
se non mi sbaglio tu parli di una riflessione di $RR^3$ rispetto ad un piano, giusto? allora, prendiamo un vettore del piano. cosa gli succede dopo la riflessione? rimane fisso: quindi è un autovettore di autovalore uno. continuo? se ci sono problemi dimmelo 
Penso che il problema sia nella relazione lineare che rappresenta la simmetria... quello che mi dici è perfetto.. sono io un po' stontonato .. puoi dirmi come è la trasformazione in forma analitica?
c'è una formula ... naturalmente non me la ricordo 
comunque si ricava (è più facile se ti fai un disegnino): del vettore variabile P fai la proiezione ortogonale sul piano: ottieni un vettore, diciamo N; se consideri P ed N come punti, allora il punto riflesso si ottiene traslando P di vettore $2vec {PN}$. puoi vedere http://it.wikipedia.org/wiki/Riflessione_(geometria).
quello che volevo dire prima, comunque, è che tu conosci già una matrice della trasformazione. Se prendi una base (magari ortogonale) del piano, e aggiungi il vettore normale, ottieni una base di $RR^3$. Di questa tu conosci il comportamento rispetto a questa trasformazione: infatti i primi due vettori sono lasciati fissi, e all'ultimo viene scambiato il verso (quindi è un autovettore di autovalore -1). Perciò rispetto a questa base la matrice della trasformazione è $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))$.
comunque si ricava (è più facile se ti fai un disegnino): del vettore variabile P fai la proiezione ortogonale sul piano: ottieni un vettore, diciamo N; se consideri P ed N come punti, allora il punto riflesso si ottiene traslando P di vettore $2vec {PN}$. puoi vedere http://it.wikipedia.org/wiki/Riflessione_(geometria).quello che volevo dire prima, comunque, è che tu conosci già una matrice della trasformazione. Se prendi una base (magari ortogonale) del piano, e aggiungi il vettore normale, ottieni una base di $RR^3$. Di questa tu conosci il comportamento rispetto a questa trasformazione: infatti i primi due vettori sono lasciati fissi, e all'ultimo viene scambiato il verso (quindi è un autovettore di autovalore -1). Perciò rispetto a questa base la matrice della trasformazione è $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))$.
Grazie mille!!! E il caso che mi metta a studiare con più attenzione!!
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