Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti.
Mi sto preparando per il mio esame di algebra lineare, e mi sono imbattuto in questi 2 esercizi alquanto strani (almeno per me).
1.
Nello spazio $X = {at+b; a, b in R, t in [0, 1]}$, dotato del prodotto scalare $fg = int_0^1 f(t)g(t)dt$, calcolare la distanza fra $f(t) = 1$ e $g(t) = t$.
Risposta = $1/sqrt(3)$;
2.
Nello spazio euclideo delle funzioni continue su $[0, \pi]$, col prodotto scalare $fg = int_0^\pi f(t)g(t)dt$, calcolare la proiezione di $f = sin(t)$ nella ...
Ho il seguente sistema lineare di matrice completa: $((-t,t-1,1,1),(0,t-1,t,1),(2,0,1,5))$.
Quando vado ad applicare la riduzione di Gauss mi compare per forza il parametro al denominatore. Come posso fare?
Di nuovo buongiorno a tutti e buone feste...
Il problema di oggi è:
Determinare la matrice [tex]A \in \mathbb{R}^4^x^4[/tex] tale che
$((0,0,1,0),(1,0,0,0),(0,0,0,1),(0,1,0,0))A=I$
Io ho ragionato in questo modo:
Chiamo la matrice data [tex]B[/tex] e dico che [tex]BA=I[/tex]
Quindi [tex]B^-^1BA=IB^-^1[/tex]
Ne segue che [tex]A=IB^-^1[/tex]
Ora la traspongo e mi viene
[tex]B^-^1=[/tex] $((0,1,0,0),(0,0,0,1),(1,0,0,0),(0,0,1,0))$
A questo punto [tex]A=IB^-^1[/tex] indi
[tex]A=B^-^1[/tex]
E' corretto il procedimento? ...
Ciao a tutti e buone feste!
Ho un dubbio nella risoluzione di un problema.. o per meglio dire in un tipo di problema.
Ad esempio:
[tex]H[/tex]$((a),(b),(c)) = (((1+i)b-3c),(c),(a+(5-2i)b))$ con [tex]a,b,c \in C^1^x^5[/tex]
Devo determinare la matrice [tex]H[/tex].
Io ho pensato: per prima cosa mi calcolo la matrice associata alla base canonica o è inutile?
In tal caso questa mi verrebbe:
$((0,1+i,-3),(0,0,1),(1,5-2i,0))$
Qual è la procedura generale?
Grazie dell aiuto e ancora buone feste a tutti!
Salve a tutti!
Ho in mano questo esercizietto che credo di semplice risoluzione, ma al momento non capisco come venirne fuori. Forse potete aiutarmi.
"Determinare due matrici quadrate invertibili la cui somma non sia una matrice invertibile".
Utilizzando tutte le conoscenze sulle matrici invertibili il lavoro si complica parecchio, ma questo esercizio fu dato quando abbiamo visto solo la definizione di matrice invertibile $A*A^-1 = A^-1 * A = I$ e le operazioni di moltiplicazione e somma tra ...
Ciao a tutti, avrei bisogno di un'aiutino per questo esercizio:
"data la trasformazione lineare $T: RR^2->(RR^2)$ definita in $T((x,y))=(x-y,-x+3y)$
attraverso la similitudine di matrici, determinare la matrice associata a T rispetto alla base B=((1,2),(2,-2)) di $RR^2$"
Grazie in anticipo per le risposte.
Ciao a tutti... sto preparando l'esame di algebra lineare per la facoltà di ingegneria, ho un problema:
Ho un sottospazio [tex]W[/tex] di [tex]\mathbb{R}^3[/tex] definito come [tex]W=\{w\in\mathbb{R}^3:3x_1-5x_2+x_3=0\}[/tex] devo trovarne una base ortogonale.
Qualcuno ha idea di come fare?
Intanto mi sono trovato la base non ortogonale
[tex]\left(\begin{matrix}5/3 \\ 1 \\0 \end{matrix}\right)[/tex][tex]\left(\begin{matrix}-1/3 \\ 0\\1\end{matrix}\right)[/tex]
sul mio libro ...
Ciao a tutti, facendo esercizi di geometria lineare affine mi sono accorto che ho dei problemi a convertire una varietà lineare affine dalla forma cartesiana a quella vettoriale.
Faccio gli esercizi fino ad un certo punto, e poi mi blocco.
Ad esempio: $\pi : 2x-y+z-1=0$ io risolvo l'equazione come fosse un sistema lineare, tenendo come incognite libere $x$ e $y$.
Dunque una terna $(x,y,z)$ appartiene a $\pi$ se e solo se $(x,y,z)=(a,b,-2a+b+1)$ con ...
Mi sono imbattuto in questo esercizio, e non riesco ad andare avanti.
Si indichi una matrice [tex]A\in R^(4x4)[/tex] tale che
[tex]ker La= Im La =[/tex] $<((2),(2),(3),(3)) , ((1),(4),(4),(1))>$
Io ho pensato: Trovare il nucleo di [tex]La[/tex] vuol dire risolvere il sistema [tex]Ax=0[/tex] utilizzando al posto di [tex]A[/tex] i due vettori dati dall'esercizio.
Ora: che sistema devo fare?
Essendo [tex]A[/tex] una matrice 4x4, avrà 4 colonne indi devo risolvere questo sistema? Se si.. come? O.o
Rinomino ...
Ho un problema con questo esercizio:
f:R3 - R3 l'endomorfismo tale che f(x,y,z)=(3x+z, 3y+3z, 6x+2y+4z)
1) Determinare la dimensione ed una base per il nucleo e l'immagine di f;
2) Dire se f è diagonalizzabile;
3) Calcolare la matrice ortonormale che diagonalizza f.
I primi due punti li ho fatti ma non ho idea di come si faccia il terzo.
Potete aiutarmi?
E' corretto dire che se due spazi topologici $X$ e $Y$ sono omeomorfi e connessi per archi allora i gruppi fondamentali degli spazi puntati associati $pi_1(X,x_0)$ e $pi_1(Y,y_0)$ sono ismorfi tra loro?
(è possibile che sia completamente sbagliato o che ci sia un torema simile che lo afferma ma che non ho ancora fatto, quindi siate clementi)
Ciao a tutti!!! Sono uno studente iscritto alla facoltà di Chimica, e sono alle prese con lo studio di Istituzioni di Matematica 2...
Tra i vari argomenti del corso, ce n'è uno particolarmente ostico, che riguarda la teoria di gruppi...in particolare, questo argomento è trattato parecchio dal punto di vista delle rappresentazioni matriciali di un gruppo, e questo è, per me, un po' un problema in quanto le nozioni acquisite in un precedente corso di Algebra Lineare (di soli 3 crediti) non sono ...
salve a tutti,
da povero ignorante in materia mi chiedevo se qaulcuno di voi conoscesse qualche dispensa libro in cui potessi capire bene il concetto di insieme discreto in un insieme compato mi spiego meglio.
leggo spesso che un insieme discreto in un compatto è finito.
ma cosa vuol dire insieme discreto? e come mai deve essere finito?
grazie a tutti.
Potete aiutarmi a risolvere il seguente esercizio, non riesco bene a capirlo.
Nello spazio vettoriale C^3 (con C insieme dei numeri complessi) si considerino i seguenti sottoinsiemi.
(1)X1= ${[a1, a2, a3]T | a2=0}$
(2)X2= ${[a1, a2, a3]T | a1 + a2 - a3 = 1}$
(3)X3= ${[a1, a2, a3]T | a1 + a2 - a3 = 0}$
(4)X4= ${[a1, a2, a3]T | a1^2 + a2^2 = 0}$
e si dica quali sono sottospazi e quali no.
*T sta per trasposto ma credo si intuisca
Allora io ci ho provato e:
X1 secondo me è un sottospazio perchè se a1=a3=0 la prima "proprietà" è un vettore nullo e ...
Risolvere il sistema lineare di matrice completa: $sigma=((1,2,1,-1,1,|,1),(0,2,4,1,0,|,2),(-2,3,0,0,4,|,1))$.
Il sistema è riconducibile tramite l'algoritmo di Gauss al sistema equivalente $((1,2,1,-1,1,|,1),(0,2,4,1,0,|,2),(0,0,-8,-7,12,|,0))$.
Essendo 3 equazioni in 5 incognite è possibile porre $X_5=0$ e $x_4=0$, ricavando di conseguenza $x_3=0$, $x_2=1$, $x_1=1$.
Sia quindi $s_0=((1),(1),(0),(0),(0))$ una soluzione particolare del sistema.
L'insieme delle soluzioni del sistema è $S_(sigma)={s_o + k:k\inker(sigma)}$.
Come trovo il nucleo ...
Salve,ho questo esercizio
f(1,0,0)=(1,1,0) ; f(0,1,0)=(1,1,0) ; f(1,1,1)=(2,2,0)
Endomorfismo fornito da questi tre vettori e le loro immagini.
Domande
1)Determinare base dell'Imf, con base ortogonale contenente l'Imf
2)f(0,0,1)
3)Si determini associata ad f nel riferimento naturale di R3 e si dica se essa è diagonalizzabile.
4)Base Ker f
5) endomorfismo della matrice nel riferimento naturale e nel riferimento dato dall'esercizio
Come le ho svolte:
1) Per me una base dell'Imf ...
Buonasera a tutti!
ho qualche dubbio. Come noto, ogni forma quadratica ammette più forme canoniche; Se volessi trovarne una, potrei calcolare autovalori, autospazi relativi, base ortonormale degli autovettori con modulo unitario, ecc...
se ne volessi trovare due o tre, senza fare troppi calcoli, posso considerare nuove basi costituite sempre dagli stessi autovettori di cui però cambio l'ordine? in altre parole, cambiando semplicemente l'ordine degli autovalori ottengo sempre delle forme ...
Salve a tutti, volevo proporre il seguenti esercizio:
Sia B={v1,v2,v3} è una base dove v1=[1,-1,0]^T ; v2=[2,1,-1] ^T; v3=[0,0,-1]^T
Sia &={e1,e2,e3,e4,} la base canonica di C4 e si consideri l'applicazione lineare C3-->C4 tale che:
f(v1)=2e1+e2+e4, f(v2)=e2-e3, f(v3)=e1-2e3+e4
1) trovare la matrice B associata a f rispetto alla base canonica su dominio e codominio
2) calcolare il rango di f
3) il vettore [2 -1 0 1]^T appartene all'immagine di f? Se si, si trovi un vettore v che ...
Salve a tutti.
Ho il seguente sistema lineare:
$\{(2x -3y + 5z -t = 1),(x+y - z -2t= 2),(x - 4y+6z+t = -1),(5x-5y+9z-4t=4):}$
per risolverlo basta che verifico che il rango della matrice incompleta sia uaguale a quello della matrice completa (ed è verificato 2 per entrambi).
Essendo un sistema lineare di cramer per trovare le soluzioni basta che uso la formula di liebnitz cramer e calcolo il determinante delle seguenti matrici?
x=$((1,-3,5,-1),(2,1,-1,-2),(-1,-4,6,1),(4,-5,9,-4))$
y=$((2,1,5,-1),(1,2,-1,-2),(1,-1,6,1),(5,4,9,-4))$
z=$((2,-3,1,-1),(1,1,2,-2),(1,-4,-1,1),(5,-5,4,-4))$
t=$((2,-3,5,1),(1,1,-1,2),(1,-4,6,-1),(5,-5,9,4))$
Naturalmente tutti i determinanti ...
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