Problema di Topologia
Vorrei chiedere una mano per risolvere il seguente problema:
" Si dimostri che [tex]\mathbb P^2[/tex] è una superficie topologica. Cioè ogni punto di [tex]\mathbb P^2[/tex] ha un intorno omeomorfo ad un aperto di [tex]\mathbb R^2[/tex]. Si provi inoltre che è compatto e connesso."
Prima di iniziare ho una domanda: è indifferente la scelta di [tex]\mathbb P^2( \mathbb{R})[/tex] piuttosto che [tex]\mathbb P^2( \mathbb{C})[/tex] ? Per ora vado avanti senza pormi il problema...
Io definisco una superficie topologica come una varietà topologica di dimensione [tex]2[/tex]. ( Giusto? )
Introduco lo spazio proiettivo come lo spazio quoziente [tex]\mathbb R^3-{(0,0,0)}/\sim[/tex], dove la relazione di equivalenza identifica tra loro le terne che differiscono per una costante di proporzionalità. Ora devo trovare un omeomorfismo tra [tex]\mathbb P^2[/tex] e una varietà topologica di dimensione [tex]2[/tex].
Considero innanzitutto una applicazione [tex]g: \mathbb S^2 \rightarrow\mathbb S^2/\ \pm 1\[/tex] cioè l'identificazione dei punti antipodali della sfera.
Considero ora la funzione: [tex]f: \mathbb R^3-(0,0,0) \rightarrow\mathbb S^2/\ \pm 1\[/tex] che manda il punto [tex](x,y,z)[/tex] in [tex]g\frac{ (x,y,z)}{ (|x,y,z|)}[/tex]
Dovrebbe trattarsi di una applicazione continua e suriettiva ( me lo confermate? )
Quozientando [tex]\mathbb R^2[/tex] rispetto alla relazione di equivalenza prima introdotta [tex]\sim[/tex] dovrei ottenere una applicazione [tex]h: \mathbb P^2 \rightarrow\mathbb S^2/\ \pm 1\[/tex] che è ancora continua ed è biettiva poiché indotta da una applicazione suriettiva nel passaggio al quoziente ( questo per rendere commutativo il famoso diagramma...). Si ha che anche l'inversa di [tex]h[/tex] è [tex]h^{-1}: \mathbb S^2/\ \pm 1\ \rightarrow \mathbb P^2[/tex] è continua. Si ha dunque che [tex]h[/tex] è una funzione continua e biettiva quindi è un omeomorfismo.
In questo modo penso di aver verificato che [tex]\mathbb P^2 \simeq \mathbb S^2/\ \pm 1[/tex] cioè c'è un omeomorfismo tra i punti di [tex]\mathbb P^2[/tex] e quelli di una sfera in cui i punti antipodali si identificano.
Ammesso che le mie osservazioni precedenti siano corrette, il mio problema è ancora questo: io ho ragionato su dei punti, mentre il testo del problema parla esplicitamente di intorni e di aperti, è per questo che temo di avere impostato male la dimostrazione.
Qualcuno mi può aiutare? Grazie!
" Si dimostri che [tex]\mathbb P^2[/tex] è una superficie topologica. Cioè ogni punto di [tex]\mathbb P^2[/tex] ha un intorno omeomorfo ad un aperto di [tex]\mathbb R^2[/tex]. Si provi inoltre che è compatto e connesso."
Prima di iniziare ho una domanda: è indifferente la scelta di [tex]\mathbb P^2( \mathbb{R})[/tex] piuttosto che [tex]\mathbb P^2( \mathbb{C})[/tex] ? Per ora vado avanti senza pormi il problema...
Io definisco una superficie topologica come una varietà topologica di dimensione [tex]2[/tex]. ( Giusto? )
Introduco lo spazio proiettivo come lo spazio quoziente [tex]\mathbb R^3-{(0,0,0)}/\sim[/tex], dove la relazione di equivalenza identifica tra loro le terne che differiscono per una costante di proporzionalità. Ora devo trovare un omeomorfismo tra [tex]\mathbb P^2[/tex] e una varietà topologica di dimensione [tex]2[/tex].
Considero innanzitutto una applicazione [tex]g: \mathbb S^2 \rightarrow\mathbb S^2/\ \pm 1\[/tex] cioè l'identificazione dei punti antipodali della sfera.
Considero ora la funzione: [tex]f: \mathbb R^3-(0,0,0) \rightarrow\mathbb S^2/\ \pm 1\[/tex] che manda il punto [tex](x,y,z)[/tex] in [tex]g\frac{ (x,y,z)}{ (|x,y,z|)}[/tex]
Dovrebbe trattarsi di una applicazione continua e suriettiva ( me lo confermate? )
Quozientando [tex]\mathbb R^2[/tex] rispetto alla relazione di equivalenza prima introdotta [tex]\sim[/tex] dovrei ottenere una applicazione [tex]h: \mathbb P^2 \rightarrow\mathbb S^2/\ \pm 1\[/tex] che è ancora continua ed è biettiva poiché indotta da una applicazione suriettiva nel passaggio al quoziente ( questo per rendere commutativo il famoso diagramma...). Si ha che anche l'inversa di [tex]h[/tex] è [tex]h^{-1}: \mathbb S^2/\ \pm 1\ \rightarrow \mathbb P^2[/tex] è continua. Si ha dunque che [tex]h[/tex] è una funzione continua e biettiva quindi è un omeomorfismo.
In questo modo penso di aver verificato che [tex]\mathbb P^2 \simeq \mathbb S^2/\ \pm 1[/tex] cioè c'è un omeomorfismo tra i punti di [tex]\mathbb P^2[/tex] e quelli di una sfera in cui i punti antipodali si identificano.
Ammesso che le mie osservazioni precedenti siano corrette, il mio problema è ancora questo: io ho ragionato su dei punti, mentre il testo del problema parla esplicitamente di intorni e di aperti, è per questo che temo di avere impostato male la dimostrazione.
Qualcuno mi può aiutare? Grazie!
Risposte
Ma non hai mostrato che [tex]\mathbb{P}[/tex] è una varietà topologica, mi pare. Almeno, da quanto scrivi io capisco che [tex]\mathbb{P}[/tex] è omeomorfo a [tex]\mathbb{S}^2 / \pm 1[/tex] e in particolare è compatto e connesso, e su questo siamo d'accordo. Ma dovresti convincermi del fatto che [tex]\mathbb{S}^2 / \pm 1[/tex] è una varietà topologica, che non mi pare ovvio (tieni però presente che non sono un esperto di questo campo).
Per mostrare che il piano proiettivo è una varietà topologica la dimostrazione che conosco io passa dal fatto che, detti [tex]\mathbb{H}_i,\ i=1, 2, 3[/tex] gli iperpiani coordinati (ovvero [tex]\mathbb{H}_i=\{ [X^0\ X^1\ X^2]\ \mid\ X^i = 0 \}[/tex]), risulta che [tex]\mathbb{P}-\mathbb{H}_i[/tex] è omeomorfo a [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. (Ovvero, togliendo un iperpiano coordinato, che considereremo "iperpiano all'infinito", ciò che rimane "è" [tex]\mathbb{R}^2[/tex]). Giocando su questo si mostra che lo spazio è di Hausdorff e localmente omeomorfo a [tex]\mathbb{R}^2[/tex].
Per mostrare che il piano proiettivo è una varietà topologica la dimostrazione che conosco io passa dal fatto che, detti [tex]\mathbb{H}_i,\ i=1, 2, 3[/tex] gli iperpiani coordinati (ovvero [tex]\mathbb{H}_i=\{ [X^0\ X^1\ X^2]\ \mid\ X^i = 0 \}[/tex]), risulta che [tex]\mathbb{P}-\mathbb{H}_i[/tex] è omeomorfo a [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. (Ovvero, togliendo un iperpiano coordinato, che considereremo "iperpiano all'infinito", ciò che rimane "è" [tex]\mathbb{R}^2[/tex]). Giocando su questo si mostra che lo spazio è di Hausdorff e localmente omeomorfo a [tex]\mathbb{R}^2[/tex].
"dissonance":
Ma non hai mostrato che [tex]\mathbb{P}[/tex] è una varietà topologica, mi pare. Almeno, da quanto scrivi io capisco che [tex]\mathbb{P}[/tex] è omeomorfo a [tex]\mathbb{S}^2 / \pm 1[/tex] e in particolare è compatto e connesso, e su questo siamo d'accordo. Ma dovresti convincermi del fatto che [tex]\mathbb{S}^2 / \pm 1[/tex] è una varietà topologica, che non mi pare ovvio (tieni però presente che non sono un esperto di questo campo).
Per mostrare che il piano proiettivo è una varietà topologica la dimostrazione che conosco io passa dal fatto che, detti [tex]\mathbb{H}_i,\ i=1, 2, 3[/tex] gli iperpiani coordinati (ovvero [tex]\mathbb{H}_i=\{ [X^0\ X^1\ X^2]\ \mid\ X^i = 0 \}[/tex]), risulta che [tex]\mathbb{P}-\mathbb{H}_i[/tex] è omeomorfo a [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. (Ovvero, togliendo un iperpiano coordinato, che considereremo "iperpiano all'infinito", ciò che rimane "è" [tex]\mathbb{R}^2[/tex]). Giocando su questo si mostra che lo spazio è di Hausdorff e localmente omeomorfo a [tex]\mathbb{R}^2[/tex].
Ti ringrazio per le osservazioni..il problema è che non sono sicura di dover dimostrare che si tratti di una varietà. il termine "varietà" l'ho introdotto io ( cioè non c'era nel testo del problema ) per provare a far chiarezza ma ho sollevato un ulteriore interrogativo.
Quello che devi mostrare è scritto qui:
Se vuoi puoi provare a seguire questa traccia di dimostrazione, ma ce ne saranno altre, magari qualcuno più esperto di me ha qualcosa da dire.
"Clorinda":Cosa sia una "varietà" è un altro discorso (la definizione di varietà cambia a seconda dell'autore, quindi io la lascerei fuori da questo esercizio, almeno per adesso). Per mostrare questo risultato io userei le coordinate omogenee nella maniera che dicevo, ovvero: sia [tex][p^0\ p^1\ p^2][/tex] un punto proiettivo. Necessariamente una delle tre coordinate deve essere non nulla, supponiamo che sia [tex]p^0 \ne 0[/tex], ovvero [tex][p^0\ p^1\ p^2] \in \mathbb{P}^2-\mathbb{H}_0[/tex]. Poi dimostriamo che questo insieme è aperto e che l'applicazione [tex]\varphi \colon \mathbb{P}^2-\mathbb{H}_0\to \mathbb{R}^2[/tex], [tex]\varphi([X^0\ X^1\ X^2])=(\frac{X^1}{X^0}, \frac{X^2}{X^0})[/tex] è un omeomorfismo.
" Si dimostri che [tex]\mathbb P^2[/tex] è una superficie topologica. Cioè ogni punto di [tex]\mathbb P^2[/tex] ha un intorno omeomorfo ad un aperto di [tex]\mathbb R^2[/tex]
Se vuoi puoi provare a seguire questa traccia di dimostrazione, ma ce ne saranno altre, magari qualcuno più esperto di me ha qualcosa da dire.
Ok, provo a lavorare su questa traccia che mi hai dato! Grazie per i consigli!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo