Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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salve a tutti, ho un problema con questo quesito:
si considerano le appl. lineari $f$:$RR^{2,2}$$\to$ $RR_2$[x], così definita:
f $(((a,b),(c,d)))$ = $a-d+(a+b)x+(c+d)x^2$
e $g$:$RR_2$[x] $\to$ $RR^{2,2}$ così definita:
$g(a+bx+cx^2)$=$((c-a,b),(b,a+b))$
adesso detta $\epsilon$ =$(1,x,x^2)$, base di $RR_2$[x] ed $\zeta$ la base standard di ...
Nello spazio euclideo reale in cui è fissato un sistema di riferimento cartesiano , si considerino le rette:
a: $\{(x - 1= 0),(y + z= 0):}$ b: $\{(x = 0),(z = 1):}$ c: $\{(x + ky= 0),(2x + 2y + z = k + 1):}$
dove k è un parametro reale.
1. Determinare al variare di k la mutua posizione delle tre rette....
Inanzitutto le riscrivo in forma parametrica per vedere se i parametri direttori sono proporzionali, allora le rette saranno parallele. Se questi non lo sono allora calcolo il determinante dell ...
Nello spazio euclideo reale $E_3$(R) in cui è fissato un sistema di riferimento cartesiano, si considerino la retta
r: $\{(x - 1 = 0),(z = 0):}$ e i punti A=(1, 1 , 2) e B=(1, -1, 0).
1. Determinare una rappresentazione cartesiana della circonferenza con centro sulla retta r e passante per A e B.
2. Determinare un'equazione cartesiana del luogo dei punti delle rette che proiettano la cirsconferenza dal punto P=(0;
0;1).
Sinceramente penso di aver capito come si scrive ...
Ciao a tutti mi chiamo Alessandro e sono nuovo, per cui scusatemi se sbaglierò sicuramente qualcosa. Veniamo al dunque: oggi tra poche ore avrò l'esame e volevo il vostro aiuto su 3 esercizi che non mi vengono. Spero in un miracolo. Allore gli es sono:
1) Dato l’endomorfismo fk di R2 definito da fk(x, y) = (3x − 3y, 2x + ky) con k parametro reale
(a) per ogni valore del parametro k si determinino Kerfk e Imfk e se ne trovino base e dimensione ;
(b) posto k = −2, si determini (se esiste) un ...
Allora devo calcolare il gruppo fondamentale di alcuni insiemi e trovare quali sono tra loro omeomorfi:
$A={zinCC : 1<|z|<2}$
$A/ZZ_2$
$S^1XRR$
$P^2(RR)$
Allora corregetemi perchè molto probabilmente sbaglio
$pi_1(A)=ZZ$
$pi_1(A/ZZ_2=?)$
$pi_1(S^1XRR)=ZZ$
$pi_1(P^2(RR))=ZZ_2$
Allora per quanto riguarda la corona circolare ho pensato che la circonferenza fosse un retratto di deformazione forte...per questo ho pensato che ha lo stesso gruppo fondamentale.... ...
Ciao a tutti, sono alla presa dello studio della geometria differenziale e delle basi duali locali che è possibile associare a delle superfici regolari. Sapreste consigliarmi qualche buon link per studiare ed approfondire tali concetti?
Grazie
Carissimi,
è il mio primo messaggio su questo forum. Stavo studiando geometria, spazi geodetici e cose simili. Quando mi sono posta la seguente domanda, quali sono i sottoinsiemi convessi di una spazio geodetico che sono anche semplicemente connessi? Qualcuno di voi conosce qualche condizione necessaria e/o sufficiente che li caratterizzi? Vi ringrazio anticipatamente, anche per eventuali consigli su libri sui quali leggere qualcosa a riguardo.
Devo dire se esiste su $RR^2$ un sottoinsieme chiuso e limitato non compatto.
Allora se ho quella topologia ogni punto è chiuso, il fatto che sia limitato mi dice solo che è dentro un intorno sferico di raggio finito. I compatti con questa topologia sono in generale sottoinsiemi finiti. Ogni insieme infinito è nn compatto. Dunque esistono su $RR^2$ sottoinsiemi chiusi e limitati non compatti.Ad esempio tutti i dischi in $RR^2$ sono chiusi limitati ma formati da ...
Ho problemi nel dare un senso alla soluzione di questo esercizio
Sia $R^3$ il solito $R$ spazio vettoriale.
sia $f$ l'enomorfismo rappresentato dalla matrice
$((0,0,1),(1,1,-1),(-1,0,-2))$
Trovare un piano invariante
Svolgimento
Calcoliamo il polinomio caratteristico
$P_{f} (x)=(1-x)(1+x)^2$
Quindi per hamilton Cayley
$P_{f} (f)=0$
Per il teorema di decomposizione primaria abbiamo
$R^3=ker(id-f) \oplus ker(id+f)^2$
Quindi troviamo
$id-f=((1,0,-1),(-1,0,1),(1,0,3)) => e_2 \in ker(id-f)$
Dunque ...
Devo dire se i seguenti insiemi sono connessi e trovare il gruppo fondamentale:
$RR^3-${punto} conesso con grupppo fondamentale banale
$RR^3-${retta} connesso con gruppo fondamentale $ZZ$
$RR^3-${piano} sconesso con gruppo fondamentale formato da due punti
P.s
il primo caso come giustifico che è banale?
data la seguente matrice, ne dovrei calcolare gli autovalori.
$((0,1,1,1),(3,-2,1,1),(-3,-1,-4,-1),(-6,-2,-2,-5))$
potrei pensare di fare il calcolo di $(A-\lambda I)=0$ e poi calcolare il determinante e trovarmi le radici...
volevo chiedervi se esiste un procedimento meno orenoso per il calcolo degli autovalori e autovettori
ad esempio triangolarizzare la matrice? oppure come? grazie mille a tutti.
Qualcosa mi sfugge nel passaggio di una dimostrazione: in $RR^3$ abbiamo una base ortonormale formata dai vettori ${T, N, B}$.
I moduli dei tre vettori sono unitari.
Sappiamo da un lemma che $N'$ è ortogonale ad $N$ in quanto $N$ ha modulo costante, quindi $N'$ deve essere combinazione lineare di $T$ e $B$ (perchè??? perchè essendo $N'$ ortogonale ad $N$ risulta ...
Dato il punto $A(2,2,1)$ e la retta $\r={(4x + y - z = 2),(3x - z -3 = 0):}$ cioè data come intersezione di due piani:
- trovare la proiezione ortogonale $M$ di $A$ su $r$;
- trovare il simmetrico $A'$ di $A$ su $r$;
- trovare la distanza fra il punto $A$ e la retta $r$.
ho fatto un esercizio analogo con un piano al posto della retta e non ho avuto problemi. Con la retta non riesco bene a ...
Salve a tutti.
Ho un problema con un esercizio. Data la matrice A (molto semplice)
3 -3
2 k
mi viene chiesto, ponendo k= -2 di determinare, se esiste, un vettore $v$ non appartenente a $Im(f)$.
Ora, con k=-2:
- $rg(A)=1$;
- $det(A)=0$.
Se non sbaglio, l'esistenza del vettore $v$ è legato al $det(A)$. Però non so altro. Potete aiutarmi?
Grazie mille in anticipo
Ciao a tutti....ho due dubbi da chiedervi....1)innanzitutto quando in un problema di algebra mi viene richiesto di "studiare l'endomorfismo f al variare di h determinando in ciascun caso Im f e Ker f", riesco a studiarlo l'endomorfismo ma nn capisco come si trova l'Img f, qualcuno me lo può spiegare in maniera chiara???grazie mille.....
2)L'altro mio problema è una matrice di cui il rango non mi è chiaro: la matrice è
1 1 0 0
1 1 1 0
0 0 0 0
1 1 1 3 in un esercizio svolto mi dice ...
salve a tutti, ho trovato questo esercizio in un tema d'esame:
Nello spazio $RR^4$, reso euclideo col prodotto scalare standard, sono dati il sottospazio $U$ $=$ ${(x1; x2; x3; x4)$ $in$
$RR^4$$|x_1 + x_2 = x_3 - x_4 = 0$$}$ e il vettore $v$ $= (0; 1; 0; 2)$. Determinare il vettore $u$ del sottospazio $U$ che ha da $v$
distanza minima (cioè tale che ...
Avrei da proporvi un esercizio sugli autovalori:
$v$ e $w$ sono due vettori non nulli e ortogonali
$T:V rarr V$ definita da $T(x)=(x*v)w$
T ammette autovalori? Se sì quali e quanti?
Un autovettore corrisponde sempre ad un unico autovalore; ad un autovalore corrispondono infiniti autovettori.
Io ho un numero dato dal prodotto scalare moltiplicato per il vettore w. Quindi hw. Secondo me l'autovalore è zero. Può essere? Non ne sono sicuro. Qualcuno può ...
esercizio:
sia w un versore e sia $T:V rarr V$ con $T(x)=(x*w)w$.
Rispondere alle domande:
1)T è lineare? (secondo me si applicando la definizione di linearità)
2)T è iniettiva? (non sono riuscito a trovare due vettori che abbiamo immagine uguale quindi si è iniettiva)
3)esiste qualche x tale che $T(T(x))!=T(x)$?
chi mi aiuta con la 3)? le prime due sono corrette?
Ho un problema con un esercizi che dice "trovare la retta t passante per P(1,1,1) e ortogonale ad r(x=0,y=0)...come fare???grazie...
inoltre se potete vi sarei grato se mi spiegaste anche come si trova il punto improprio di una retta ad esempio la retta s(x=1,z=0)..
ciao a tutti, sono nuovo [:)]
vorrei chiedervi una cosa:
come si fa a diagonalizzare una matrice, ovviamente una volta appurato che la matrice sia diagonalizzabile? qualcuno potrebbe indicarmi con precisone qual è il procedimento da seguire?
grazie!
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