Trovare una base ortogonale di un sottospazio di R^3
Ciao a tutti... sto preparando l'esame di algebra lineare per la facoltà di ingegneria, ho un problema:
Ho un sottospazio [tex]W[/tex] di [tex]\mathbb{R}^3[/tex] definito come [tex]W=\{w\in\mathbb{R}^3:3x_1-5x_2+x_3=0\}[/tex] devo trovarne una base ortogonale.
Qualcuno ha idea di come fare?
Intanto mi sono trovato la base non ortogonale
[tex]\left(\begin{matrix}5/3 \\ 1 \\0 \end{matrix}\right)[/tex][tex]\left(\begin{matrix}-1/3 \\ 0\\1\end{matrix}\right)[/tex]
sul mio libro dice di seguire una procedura iterativa,
mi dice di prendere un vettore [tex]v_1\in W[/tex] con autoprodotto non nullo (per "prodotto" intendo il prodotto scalare canonico)
e notare che
[tex]W=\oplus^\perp[/tex]
se [tex]v\bullet v=0[/tex] [tex]\forall v\in^\perp[/tex]
allora scelta una qualunque base di [tex]^\perp[/tex]
[tex](v_2,v_3...v_n)[/tex]
ho che [tex](v_1,v_2,v_3...v_n)[/tex]è una base ortogonale di W.
Altrimenti si prenda [tex]v_2 \in^\perp[/tex] con autoprodotto nullo e si noti che
[tex]W=\oplus^\perp[/tex] e si ripete il ragionamento.
io ho già difficoltà a trovare una base di [tex]^\perp[/tex] come faccio?Dovrebbe essere [tex]^\perp=\{x \in W : x \bullet v_1=0\}[/tex]
Ho un sottospazio [tex]W[/tex] di [tex]\mathbb{R}^3[/tex] definito come [tex]W=\{w\in\mathbb{R}^3:3x_1-5x_2+x_3=0\}[/tex] devo trovarne una base ortogonale.
Qualcuno ha idea di come fare?
Intanto mi sono trovato la base non ortogonale
[tex]\left(\begin{matrix}5/3 \\ 1 \\0 \end{matrix}\right)[/tex][tex]\left(\begin{matrix}-1/3 \\ 0\\1\end{matrix}\right)[/tex]
sul mio libro dice di seguire una procedura iterativa,
mi dice di prendere un vettore [tex]v_1\in W[/tex] con autoprodotto non nullo (per "prodotto" intendo il prodotto scalare canonico)
e notare che
[tex]W=
se [tex]v\bullet v=0[/tex] [tex]\forall v\in
allora scelta una qualunque base di [tex]
[tex](v_2,v_3...v_n)[/tex]
ho che [tex](v_1,v_2,v_3...v_n)[/tex]è una base ortogonale di W.
Altrimenti si prenda [tex]v_2 \in
[tex]W=
io ho già difficoltà a trovare una base di [tex]
Risposte
Sei sulla buona strada. Per trovare una base di [tex]^\perp=\{x \in W : x \cdot v_1=0\}[/tex].
Se $x=((x_1),(x_2),(x_3))\in W$, si ha che [tex]x \cdot v_1=0[/tex] se e solo se [tex]\frac{5}{3}x_1+x_2=0[/tex]. Quindi
[tex]^\perp=\{x \in W : \frac{5}{3}x_1+x_2=0\}[/tex]
Da cui ti puoi trovare una base di [tex]^\perp[/tex].
Poi devi iterare il procedimento. Prendi un vettore [tex]v_2\in^\perp[/tex] "con autoprodotto non nullo" (non avevo mai sentito questa espressione 
) e prosegui calcolando una base di [tex]^\perp[/tex] in modo analogo. Facci sapere se riesci a concludere. Ciao!
Se $x=((x_1),(x_2),(x_3))\in W$, si ha che [tex]x \cdot v_1=0[/tex] se e solo se [tex]\frac{5}{3}x_1+x_2=0[/tex]. Quindi
[tex]
Da cui ti puoi trovare una base di [tex]
Poi devi iterare il procedimento. Prendi un vettore [tex]v_2\in
) e prosegui calcolando una base di [tex]
Modifica al messaggio precedente:
Sarà che le feste si avvicinano e il mio cervello si mette in vacanza, ma dovrei essere più preciso nella risposta.
Faccio notare che l'ortogonale di $$ dovrebbe essere fatto in $W$. Mi spiego meglio.
$W$ è un sottospazio di $RR^3$ e ammette una base $(w_1,w_2)$.
Scelgo in $W$ un vettore non nullo (questo è sufficiente per dire che il suo autoprodotto è non nullo). Per esempio scelgo $v_1=w_1=((5/3),(1),(0))$
Sto usando i tuoi stessi vettori, ma ti faccio notare che moltiplicando per $3$ sarebbe ancora una base e non mi porterei dietro le frazioni.
Allora si ha che
$W=\oplus ^\bot$,
dove $^\bot=\{x\in W: x\cdot v_1=0\}$ è calcolato come nel post precedente.
Quindi se trovo una base $(v_2)$ ortogonale di $^\bot$ ho finito, in quanto $(v_1,v_2)$ è base ortogonale di $W$.
In generale se $W$ fosse un sottospazio di dimensione $k$ di $RR^n$, dovrei prendere una base $(w_1,...w_k)$ di $W$, prendere $v_1=w_1$, trovare una base di $^\bot={x\in W: x\cdot v_1=0}$ (di dimensione $k-1$) e iterare il procedimento...Prendo $v_2="primo vettore della base di "^\bot$, trovare una base di $^\bot={x\in W: x\cdot v_1=0, x\cdot v_2=0}$ e proseguire....
Spero di non aver fatto troppa confusione e che sia più chiaro ora...
Sarà che le feste si avvicinano e il mio cervello si mette in vacanza, ma dovrei essere più preciso nella risposta.
Faccio notare che l'ortogonale di $
$W$ è un sottospazio di $RR^3$ e ammette una base $(w_1,w_2)$.
Scelgo in $W$ un vettore non nullo (questo è sufficiente per dire che il suo autoprodotto è non nullo). Per esempio scelgo $v_1=w_1=((5/3),(1),(0))$
Sto usando i tuoi stessi vettori, ma ti faccio notare che moltiplicando per $3$ sarebbe ancora una base e non mi porterei dietro le frazioni.
Allora si ha che
$W=
dove $
Quindi se trovo una base $(v_2)$ ortogonale di $
In generale se $W$ fosse un sottospazio di dimensione $k$ di $RR^n$, dovrei prendere una base $(w_1,...w_k)$ di $W$, prendere $v_1=w_1$, trovare una base di $
Spero di non aver fatto troppa confusione e che sia più chiaro ora...
Ciao... grazie mille per la prontezza della risposta e per la preoccupazione di essere il più chiaro possibile.
In teoria credo di aver capito la procedura... ti posso chiedere se quando hai un attimo di tempo mi fai vedere in pratica come calcolarmi una base di
[tex]<\left(\begin{matrix} 5 \\ 3\\0 \end{matrix}\right)^\perp>[/tex] (ho accolto il tuo consiglio di utilizzare una base senza frazioni )
e un'altra domanda, se in un altro esercizio avessi trovato che
[tex]^\perp=[/tex] poi avrei dovuto controllare che
[tex]y_1\bullet y_2=0[/tex]
[tex]y_1\bullet y_3=0[/tex]
[tex]y_2\bullet y_3=0[/tex]
In teoria credo di aver capito la procedura... ti posso chiedere se quando hai un attimo di tempo mi fai vedere in pratica come calcolarmi una base di
[tex]<\left(\begin{matrix} 5 \\ 3\\0 \end{matrix}\right)^\perp>[/tex] (ho accolto il tuo consiglio di utilizzare una base senza frazioni
)e un'altra domanda, se in un altro esercizio avessi trovato che
[tex]
[tex]y_1\bullet y_2=0[/tex]
[tex]y_1\bullet y_3=0[/tex]
[tex]y_2\bullet y_3=0[/tex]
che rabbia, ho premuto "invia" invece di "anteprima" 
comunque volevo chiederti se è giusto che in quel caso la procedura si arresta se
[tex]y_1 \bullet y_2=0[/tex]
[tex]y_1 \bullet y_3=0[/tex]
[tex]y_2 \bullet y_3=0[/tex]
invece se non fosse così dovrei prendere un vettore non isotropo [tex]v_2 \in^\perp[/tex] , e ripetere la procedura per [tex][/tex]
giusto?
Ancora grazie
comunque volevo chiederti se è giusto che in quel caso la procedura si arresta se
[tex]y_1 \bullet y_2=0[/tex]
[tex]y_1 \bullet y_3=0[/tex]
[tex]y_2 \bullet y_3=0[/tex]
invece se non fosse così dovrei prendere un vettore non isotropo [tex]v_2 \in
giusto?
Ancora grazie
Risolvo il tuo esercizio iniziale:
[tex]W=\{w\in\mathbb{R}^3:3x_1-5x_2+x_3=0\}[/tex] ha base
[tex]w_1=\left(\begin{matrix}5 \\ 3 \\0 \end{matrix}\right)[/tex], [tex]w_2=\left(\begin{matrix}-1 \\ 0\\3\end{matrix}\right)[/tex].
Scelgo [tex]\displaymath v_1=w_1[/tex]. Calcolo
[tex]^\perp=\{x \in W : x \cdot v_1=0\}[/tex]
Sia
[tex]\displaymath v=\left(\begin{matrix}5x-y \\ 3x \\3y \end{matrix}\right)[/tex] (*)
un vettore (generico) di [tex]\displaymath W[/tex]. Allora [tex]\displaymath v\cdot v_1=0[/tex] se e solo se
[tex]\displaymath (5x-y)5+3x\cdot 3+3y\cdot 0=0[/tex]
[tex]\displaymath 34x-5y=0[/tex]
[tex]\displaymath y=\frac{34}{5}x[/tex] (controlla i conti che io sono una frana!)
Ora sostituisci in (*) e ottieni il generico vettore di [tex]\displaymath^\perp=\{v\in W:\,v\cdot v_1=0\}[/tex] da cui poi ti ricavi una base.
A proposito della seconda domanda, la risposta è sì, dovrebbe essere giusto.
P.S. Non vi è stato spiegato il metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt?
[tex]W=\{w\in\mathbb{R}^3:3x_1-5x_2+x_3=0\}[/tex] ha base
[tex]w_1=\left(\begin{matrix}5 \\ 3 \\0 \end{matrix}\right)[/tex], [tex]w_2=\left(\begin{matrix}-1 \\ 0\\3\end{matrix}\right)[/tex].
Scelgo [tex]\displaymath v_1=w_1[/tex]. Calcolo
[tex]
Sia
[tex]\displaymath v=\left(\begin{matrix}5x-y \\ 3x \\3y \end{matrix}\right)[/tex] (*)
un vettore (generico) di [tex]\displaymath W[/tex]. Allora [tex]\displaymath v\cdot v_1=0[/tex] se e solo se
[tex]\displaymath (5x-y)5+3x\cdot 3+3y\cdot 0=0[/tex]
[tex]\displaymath 34x-5y=0[/tex]
[tex]\displaymath y=\frac{34}{5}x[/tex] (controlla i conti che io sono una frana!)
Ora sostituisci in (*) e ottieni il generico vettore di [tex]\displaymath
A proposito della seconda domanda, la risposta è sì, dovrebbe essere giusto.
P.S. Non vi è stato spiegato il metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt?
Cirasa.. Rispondo anche io "per lui" in quanto siamo colleghi
Comunque no, non l'ha spiegato perchè il prof ha detto che non è fondamentale saperlo per il corso
Comunque no, non l'ha spiegato perchè il prof ha detto che non è fondamentale saperlo per il corso
quel metodo di ortogonalizzazione non ci è stato spiegato, il professore ha detto che chi voleva poteva leggerselo sulle dispense ma espone a un quantitativo di conti maggiore... io sinceramente non l'ho guardato forse lo farò se mi avanza un po' di tempo.
Grazie mille ora ho tutto chiaro (spero )... ti faccio gli auguri di buone feste 
Grazie mille ora ho tutto chiaro (spero
)... ti faccio gli auguri di buone feste
Grazie! Buone feste anche a te!
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