AIUTO - Esercizio Endomorfismo
Ho un problema con questo esercizio:
f:R3 - R3 l'endomorfismo tale che f(x,y,z)=(3x+z, 3y+3z, 6x+2y+4z)
1) Determinare la dimensione ed una base per il nucleo e l'immagine di f;
2) Dire se f è diagonalizzabile;
3) Calcolare la matrice ortonormale che diagonalizza f.
I primi due punti li ho fatti ma non ho idea di come si faccia il terzo.
Potete aiutarmi?
f:R3 - R3 l'endomorfismo tale che f(x,y,z)=(3x+z, 3y+3z, 6x+2y+4z)
1) Determinare la dimensione ed una base per il nucleo e l'immagine di f;
2) Dire se f è diagonalizzabile;
3) Calcolare la matrice ortonormale che diagonalizza f.
I primi due punti li ho fatti ma non ho idea di come si faccia il terzo.
Potete aiutarmi?
Risposte
ortonormale o ortogonale?
Non sono certo che debba esistere una matrice ortonormale $M$ (detta anche unitaria cioè tale che $MM^T=I$) tale che $M^{-1}AM$ sia diagonale.
Ciò infatti equivale a cercare una base ortonormale (per il prodotto scalare standard su $RR^3$) che sia formata da autovettori di $f$.
Il problema è che nessun teorema ti assicura che una tale base esista, o almeno io non ne conosco.
Se $f$ fosse un endomorfismo simmetrico, allora potresi usare il teorema spettrale, ma il tuo endomorfismo non mi sembra simmetrico.
Se poi calcoli i tre autospazi di $f$ noti che hanno tutti e tre dimensione $1$ e non sono ortogonali fra loro. Quindi non esiste una tale base. Attendiamo conferme da qualche altro utente.
P.S. La prossima volta cerca di usare le formule, così i tuoi post saranno più chiari!
Ciò infatti equivale a cercare una base ortonormale (per il prodotto scalare standard su $RR^3$) che sia formata da autovettori di $f$.
Il problema è che nessun teorema ti assicura che una tale base esista, o almeno io non ne conosco.
Se $f$ fosse un endomorfismo simmetrico, allora potresi usare il teorema spettrale, ma il tuo endomorfismo non mi sembra simmetrico.
Se poi calcoli i tre autospazi di $f$ noti che hanno tutti e tre dimensione $1$ e non sono ortogonali fra loro. Quindi non esiste una tale base. Attendiamo conferme da qualche altro utente.
P.S. La prossima volta cerca di usare le formule, così i tuoi post saranno più chiari!
"Provoq":
Ho un problema con questo esercizio:
f:R3 - R3 l'endomorfismo tale che f(x,y,z)=(3x+z, 3y+3z, 6x+2y+4z)
1) Determinare la dimensione ed una base per il nucleo e l'immagine di f;
2) Dire se f è diagonalizzabile;
Gli autovalori della matrice
[tex]A = \left( \begin{array}{ccc}
3 & 0 & 1 \\
0 & 3 & 3 \\
6 & 2 & 4
\end{array} \right)[/tex]
sono [tex]\lambda_1 = 0, \lambda_2=3, \lambda_3=7[/tex]
la matrice (e quindi l'endomorfismo) è diagonalizzabile.
Il ker è generato dal vettore [tex](1,3,-3)^T[/tex] e l'immagine
è generata dalle prime due colonne di [tex]A[/tex] (non sono proporzionali).
Per quanto riguarda la faccenda della matrice ortogonale basta osservare
che vale il seguente fatto:
una matrice [tex]A \in M_{n,n}(\mathbb{R})[/tex] è simmetrica
se e solo se
esiste una matrice [tex]U \in O(n)[/tex] tale che [tex]U^{-1} A U = D[/tex]
che vale il seguente fatto:
una matrice [tex]A \in M_{n,n}(\mathbb{R})[/tex] è simmetrica
se e solo se
esiste una matrice [tex]U \in O(n)[/tex] tale che [tex]U^{-1} A U = D[/tex]
Giusto! Se esiste $U$ ortogonale tale che $U^{-1}AU$ è diagonale allora $A$ deve essere simmetrica!
Grazie "Franced", era facile ma non ci avevo affatto pensato!
Grazie "Franced", era facile ma non ci avevo affatto pensato!
Quindi questa matrice non esiste poiché $A$ non è simmetrica giusto? Io non la conoscevo proprio questa proposizione!
una curiosità:se ho $3$ autovalori distinti, i relativi autovettori non dovrebbero essere linearmente indipendenti?
una curiosità:se ho $3$ autovalori distinti, i relativi autovettori non dovrebbero essere linearmente indipendenti?
Certo che sono indipendenti (i tre autovalori sono distinti), ma il testo chiede se la matrice del cambio di base è ortogonale.
avrò sbagliato allora i calcoli perchè i $3$ autovettori di cui sopra non mi risultavano indipendenti... eppure gli autovalori sono distinti!
Guarda un autovettore è [tex](1,3,-3)^T[/tex], dato che genera il ker della matrice.
Poi ne devi trovare altri due, uno relativo a [tex]\lambda = 3[/tex] e l'altro relativo a [tex]\lambda = 7[/tex].
Poi ne devi trovare altri due, uno relativo a [tex]\lambda = 3[/tex] e l'altro relativo a [tex]\lambda = 7[/tex].
sisi Franced, solo che essendo $lambda_1,lambda_2,lambda_3$ distinti, i rispettivi autovettori dovrebbero essere linearmente indipendenti, mentre sono ovviamente linearmente dipendenti. Cosa ho sbagliato?
Ascolta mistake, se hai tre autovalori distinti avrai tre autovettori indipendenti.
Hai sbagliato i calcoli!
La matrice
[tex]A = \left( \begin{array}{ccc}
3 & 0 & 1 \\
0 & 3 & 3 \\
6 & 2 & 4
\end{array} \right)[/tex]
è diagonalizzata dalla base seguente:
[tex]\left\{ (1,3,-3)^T \;;\; (1,-3,0)^T \;;\; (1,3,4)^T \right\}[/tex]
infatti puoi controllare che risulta:
[tex]{\left( \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\[1mm]
3 & -3 & 3 \\[1mm]
-3 & 0 & 4
\end{array} \right)}^{-1} \left( \begin{array}{ccc}
3 & 0 & 1 \\
0 & 3 & 3 \\
6 & 2 & 4
\end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\[1mm]
3 & -3 & 3 \\[1mm]
-3 & 0 & 4
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 7
\end{array} \right)[/tex] .
Hai sbagliato i calcoli!
La matrice
[tex]A = \left( \begin{array}{ccc}
3 & 0 & 1 \\
0 & 3 & 3 \\
6 & 2 & 4
\end{array} \right)[/tex]
è diagonalizzata dalla base seguente:
[tex]\left\{ (1,3,-3)^T \;;\; (1,-3,0)^T \;;\; (1,3,4)^T \right\}[/tex]
infatti puoi controllare che risulta:
[tex]{\left( \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\[1mm]
3 & -3 & 3 \\[1mm]
-3 & 0 & 4
\end{array} \right)}^{-1} \left( \begin{array}{ccc}
3 & 0 & 1 \\
0 & 3 & 3 \\
6 & 2 & 4
\end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\[1mm]
3 & -3 & 3 \\[1mm]
-3 & 0 & 4
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 7
\end{array} \right)[/tex] .
miserabili errori di conti...
Grazie mille Franced, ho rifatto i calcoli con più calma ed in effetti erano linearmente indipendenti.
Grazie ancora
Grazie mille Franced, ho rifatto i calcoli con più calma ed in effetti erano linearmente indipendenti.
Grazie ancora
Prego!
"franced":
Per quanto riguarda la faccenda della matrice ortogonale basta osservare
che vale il seguente fatto:
una matrice [tex]A \in M_{n,n}(\mathbb{R})[/tex] è simmetrica
se e solo se
esiste una matrice [tex]U \in O(n)[/tex] tale che [tex]U^{-1} A U = D[/tex]
Franced... ho trovato questa proposizione tra i miei appunti, ma non con la doppia implicazione...
mi potresti mostrare perché vale il viceversa, cioè che se esiste $MinO(n)$ t.c. $M^(-1)AM=D$ allora $A$ è simmetrica
E' molto semplice:
[tex]A = U D U^{-1}[/tex]
poiché [tex]U \in O(n)[/tex] abbiamo [tex]U^{-1} = U^T[/tex]
quindi
[tex]A = U D U^{-1} = U D U^T[/tex]
se considero la trasposta abbiamo:
[tex]A^T = \left( U D U^T \right)^T = \left( U^T \right)^T D^T U^T = U D U^T = A[/tex]
quindi la matrice reale [tex]A[/tex] è simmetrica.
[tex]A = U D U^{-1}[/tex]
poiché [tex]U \in O(n)[/tex] abbiamo [tex]U^{-1} = U^T[/tex]
quindi
[tex]A = U D U^{-1} = U D U^T[/tex]
se considero la trasposta abbiamo:
[tex]A^T = \left( U D U^T \right)^T = \left( U^T \right)^T D^T U^T = U D U^T = A[/tex]
quindi la matrice reale [tex]A[/tex] è simmetrica.
grazie mille!
Prego.
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