Trovare Matrice sapendo Im e Ker

[gael90rm]

Mi sono imbattuto in questo esercizio, e non riesco ad andare avanti.

Si indichi una matrice [tex]A\in R^(4x4)[/tex] tale che

[tex]ker La= Im La =[/tex] $<((2),(2),(3),(3)) , ((1),(4),(4),(1))>$

Io ho pensato: Trovare il nucleo di [tex]La[/tex] vuol dire risolvere il sistema [tex]Ax=0[/tex] utilizzando al posto di [tex]A[/tex] i due vettori dati dall'esercizio.

Ora: che sistema devo fare?
Essendo [tex]A[/tex] una matrice 4x4, avrà 4 colonne indi devo risolvere questo sistema? Se si.. come? O.o

Rinomino per semplicità le colonne di [tex]A[/tex] come [tex]a,b,c,d[/tex]

2a+2b+3c+3d=0
a+4b+4c+d=0

E' errato vero?

Più in generale quello che non ho capitp è:

Se un esercizio mi dice di trovare una matrice ad esempio
Se un esercizio mi chiede di trovare una matrice [tex]H[/tex] che moltiplicata per una matrice ad elementi [tex]a,b,c \in K[/tex] mi diano una matrice [tex]B[/tex], come imposto il sistema??

[franced]

"gael90rm":
Si indichi una matrice [tex]A\in R^(4x4)[/tex] tale che

[tex]ker La= Im La =[/tex] $<((2),(2),(3),(3)) , ((1),(4),(4),(1))>$

L'esercizio può essere affrontato in più modi.
Un metodo è il seguente:

definiamo l'applicazione [tex]L_A[/tex] in questo modo (si osservi che
sto definendo un'applicazione lineare su una base di [tex]\mathbb{R}^4[/tex]):

[tex]L_A : \left( \begin{array}{c}
2 \\
2 \\
3 \\
3
\end{array} \right) \longmapsto \left( \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array} \right)[/tex]

[tex]L_A : \left( \begin{array}{c}
1 \\
4 \\
4 \\
1
\end{array} \right) \longmapsto \left( \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array} \right)[/tex]

[tex]L_A : \left( \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array} \right) \longmapsto \left( \begin{array}{c}
2 \\
2 \\
3 \\
3
\end{array} \right)[/tex]

[tex]L_A : \left( \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array} \right) \longmapsto \left( \begin{array}{c}
1 \\
4 \\
4 \\
1
\end{array} \right)[/tex]

La matrice [tex]A[/tex] si ottiene nel modo seguente:

[tex]\left( \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 3 & 1
\end{array} \right) {\left( \begin{array}{cccc}
2 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 4 & 0 & 1 \\
3 & 4 & 0 & 0 \\
3 & 1 & 0 & 0
\end{array} \right)}^{-1} = \left( \begin{array}{cccc}
2 & 1 & -4/3 & -2/3 \\
2 & 4 & -14/3 & 2/3 \\
3 & 4 & -43/9 & 1/9 \\
3 & 1 & -13/9 & -11/9
\end{array} \right)[/tex]

[gael90rm]

Grazie Professore, ma non ho capito una cosa:

Quando Lei definisce l'applicazione utilizzando una base di R^4, come mai utilizza due volte il vettore nullo?
Cioè' se non mi ricordo male una base non può contenere il vettore nullo...

[franced]

Attenzione:

io ho definito l'applicazione lineare su quattro vettori:

[tex](2,2,3,3)^T , (1,4,4,1)^T , (1,0,0,0)^T , (0,1,0,0)^T[/tex]

questi quattro vettori costituiscono una base di [tex]\mathbb{R}^4[/tex] .

[gael90rm]

Grazie mille!

Comunque in generale, quando devo calcolare una matrice H tale che sia verificata una condizione
ad es:

[tex]H[/tex] $((a),(b),(c))$ = $(((1+i)b-3c), (c), (a+(5-2i)b)) $

con [tex]a,b,c \in C^1^x^5[/tex]

Qual'è il sistema che devo imporre?


Grazie per la sua pazienza.

P.S: Anche Lei insegna a Pisa. Io frequento Ingegnieria a Pisa..[/tex]