Insieme discreto

[miuemia]

salve a tutti,
da povero ignorante in materia mi chiedevo se qaulcuno di voi conoscesse qualche dispensa libro in cui potessi capire bene il concetto di insieme discreto in un insieme compato mi spiego meglio.
leggo spesso che un insieme discreto in un compatto è finito.
ma cosa vuol dire insieme discreto? e come mai deve essere finito?
grazie a tutti.

[dissonance]

E' piuttosto facile. "Discreto" è uno spazio topologico in cui i singoletti sono aperti; un sottoinsieme di uno spazio topologico si dice "discreto" se la topologia relativa è quella discreta. Quindi dato uno spazio topologico [tex]X[/tex] un sottoinsieme [tex]A[/tex] è discreto se e solo se [tex]\forall\, a \in A\ \exists\, U\ \text{intorno aperto di }a\ :\ U \cap A = \{ a \}[/tex]. In particolare vedi subito che [tex]A[/tex] non può avere punti di accumulazione.

Supponiamo ora che lo spazio topologico [tex]X[/tex] sia compatto. Una proprietà degli spazi compatti è che ogni loro sottoinsieme infinito ha almeno un punto di accumulazione (prova a dimostrarlo, se non ci riesci ne riparliamo). Quindi un sottoinsieme discreto è necessariamente finito.

[miuemia]

grazie mille dissonance! ho dimostrato quello che dicevi tu. ora mi sono chiarito i dubbi. grazie tante.