Esercizio strano nello spazio!
Ciao a tutti.
Mi sto preparando per il mio esame di algebra lineare, e mi sono imbattuto in questi 2 esercizi alquanto strani (almeno per me).
1.
Nello spazio $X = {at+b; a, b in R, t in [0, 1]}$, dotato del prodotto scalare $fg = int_0^1 f(t)g(t)dt$, calcolare la distanza fra $f(t) = 1$ e $g(t) = t$.
Risposta = $1/sqrt(3)$;
2.
Nello spazio euclideo delle funzioni continue su $[0, \pi]$, col prodotto scalare $fg = int_0^\pi f(t)g(t)dt$, calcolare la proiezione di $f = sin(t)$ nella direzione di $g = 1$.
Risposta = $2/\pi$;
Vi prego aiutatemi!
Vorrei capire come comportarmi davanti a problemi del genere!!!
Mi sto preparando per il mio esame di algebra lineare, e mi sono imbattuto in questi 2 esercizi alquanto strani (almeno per me).
1.
Nello spazio $X = {at+b; a, b in R, t in [0, 1]}$, dotato del prodotto scalare $fg = int_0^1 f(t)g(t)dt$, calcolare la distanza fra $f(t) = 1$ e $g(t) = t$.
Risposta = $1/sqrt(3)$;
2.
Nello spazio euclideo delle funzioni continue su $[0, \pi]$, col prodotto scalare $fg = int_0^\pi f(t)g(t)dt$, calcolare la proiezione di $f = sin(t)$ nella direzione di $g = 1$.
Risposta = $2/\pi$;
Vi prego aiutatemi!
Vorrei capire come comportarmi davanti a problemi del genere!!!
Risposte
1. La distanza in uno spazio euclideo [tex]\displaystyle (V,\cdot)[/tex] fra due elementi [tex]\displaystyle v,w\in V[/tex] è definita come [tex]\displaystyle d(v,w)=\|v-w\|[/tex].
Nel tuo caso se [tex]\displaystyle f,g\in X[/tex], la distanza fra [tex]\displaystyle f[/tex] e [tex]\displaystyle g[/tex] è data da:
[tex]\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|=\left((f-g)\cdot(f-g)\right)^{1/2}=\left(\int_0^1f(t)g(t)dt\right)^{1/2}[/tex].
Ora non ti resta che sostituire [tex]\displaystyle f[/tex] e [tex]\displaystyle g[/tex] e fare i conti.
2. Si fa in modo analogo, ricordando che la proiezione di un vettore [tex]\displaystyle v[/tex] lungo [tex]\displaystyle w[/tex] è data da [tex]\displaystyle v\cdot w[/tex]. Ora ti basta sostituire e ottenere il risultato.
Edit: C'è un errore nell'applicazione della definizione di prodotto scalare al punto 1. (v. post successivi). Sorry!
Nel tuo caso se [tex]\displaystyle f,g\in X[/tex], la distanza fra [tex]\displaystyle f[/tex] e [tex]\displaystyle g[/tex] è data da:
[tex]\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|=\left((f-g)\cdot(f-g)\right)^{1/2}=\left(\int_0^1f(t)g(t)dt\right)^{1/2}[/tex].
Ora non ti resta che sostituire [tex]\displaystyle f[/tex] e [tex]\displaystyle g[/tex] e fare i conti.
2. Si fa in modo analogo, ricordando che la proiezione di un vettore [tex]\displaystyle v[/tex] lungo [tex]\displaystyle w[/tex] è data da [tex]\displaystyle v\cdot w[/tex]. Ora ti basta sostituire e ottenere il risultato.
Edit: C'è un errore nell'applicazione della definizione di prodotto scalare al punto 1. (v. post successivi). Sorry!
Grazie sei stato molto gentile!
Solo mi sfugge come hai fatto l'ultimo passaggio:
$((f - g)(f - g))^(1/2) = (int_0^1 f(t)g(t)dt)^(1/2)$
Se potresti spiegarmelo mi faresti un grande favore!
Solo mi sfugge come hai fatto l'ultimo passaggio:
$((f - g)(f - g))^(1/2) = (int_0^1 f(t)g(t)dt)^(1/2)$
Se potresti spiegarmelo mi faresti un grande favore!
Semplicemente...ho sbagliato a ricopiare, scusami! 
Dovrebbe essere:
[tex]\displaystyle \left((f-g)\cdot(f-g)\right)^{1/2}=\left(\int_0^1(f(t)-g(t))(f(t)-g(t))dt\right)^{1/2}[/tex]
Scusa per la distrazione! Ciao
Dovrebbe essere:
[tex]\displaystyle \left((f-g)\cdot(f-g)\right)^{1/2}=\left(\int_0^1(f(t)-g(t))(f(t)-g(t))dt\right)^{1/2}[/tex]
Scusa per la distrazione! Ciao
Ho provato a risolvere come mi hai suggerito tu, ma l'esercizio numero 1 mi torna così:
$(int_0^1 f(t)g(t)dt)^(1/2) = (int_0^1 tdt)^(1/2) = ([(t^2)/2]_0^1)^(1/2) = (sqrt(1/2)) = 1/(sqrt(2))$;
Mentre la soluzione dovrebbe essere $1/(sqrt(3))$;
Dov'è che ho sbagliato?
$(int_0^1 f(t)g(t)dt)^(1/2) = (int_0^1 tdt)^(1/2) = ([(t^2)/2]_0^1)^(1/2) = (sqrt(1/2)) = 1/(sqrt(2))$;
Mentre la soluzione dovrebbe essere $1/(sqrt(3))$;
Dov'è che ho sbagliato?
Ok, ma non capisco da dove è saltato fuori quell'integrale in quel modo...non è che potresti spiegarmelo in "parole povere"?
Io avrei fatto:
$((f - g)(f - g))^(1/2) = ((f(t))^2 + (g(t))^2 -2*int_0^1 f(t)g(t)dt)^(1/2) = (1 + t^2 -2 * 1/2)^(1/2) = t$;
però chiaramente è errato. Perchè?
Io avrei fatto:
$((f - g)(f - g))^(1/2) = ((f(t))^2 + (g(t))^2 -2*int_0^1 f(t)g(t)dt)^(1/2) = (1 + t^2 -2 * 1/2)^(1/2) = t$;
però chiaramente è errato. Perchè?
Ho usato la definizione di prodotto scalare su [tex]\displaystyle X[/tex] dato da
[tex]\displaystyle F\cdot G=\int_0^1F(t)G(t)dt\ \ \ \ \forall F,G\in X[/tex].
Per calcolare [tex]\displaystyle (f-g)\cdot(f-g)[/tex], basta sostituire [tex]\displaystyle F=G=f-g[/tex] ottenendo
[tex]\displaystyle (f-g)\cdot(f-g)=\int_0^1(f(t)-g(t))(f(t)-g(t))dt[/tex].
Poi devi estrarne la radice quadrata per trovare [tex]\displaystyle \|f-g\|[/tex].
[tex]\displaystyle F\cdot G=\int_0^1F(t)G(t)dt\ \ \ \ \forall F,G\in X[/tex].
Per calcolare [tex]\displaystyle (f-g)\cdot(f-g)[/tex], basta sostituire [tex]\displaystyle F=G=f-g[/tex] ottenendo
[tex]\displaystyle (f-g)\cdot(f-g)=\int_0^1(f(t)-g(t))(f(t)-g(t))dt[/tex].
Poi devi estrarne la radice quadrata per trovare [tex]\displaystyle \|f-g\|[/tex].
@Spartan7 : credo tu debba leggerti la teoria su un testo o sugli appunti : non sono concetti immediati e banali.
$ f,g $ sono vettori nello spazio vettoriale delle funzioni continue in un certo intervallo, in questo caso $[0,1]$.
Ricorda anche -e questo è basilare- che dato un vettore $bar v $ il suo modulo o norma si ottiene facendo il prodotto scalare del vettore con se stesso ed estraendo la radice quadrata dal numero positivo( o nullo) così ottenuto, cioè $||bar v||=sqrt(bar v*bar v)$
Applica poi correttamente la definizione di prodotto scalare ricordando che in questo caso hai :
$f(t)=1 $
$g(t)= t $
e quindi identifica il vettore differenza tra i due: $ (f-g)$ ; tu vuoi ottenere la distanza fra i 2 vettori e quindi devi calcolarti la norma del vettore differenza e qui entra in gioco il prodotto scalare etc etc.
$ f,g $ sono vettori nello spazio vettoriale delle funzioni continue in un certo intervallo, in questo caso $[0,1]$.
Ricorda anche -e questo è basilare- che dato un vettore $bar v $ il suo modulo o norma si ottiene facendo il prodotto scalare del vettore con se stesso ed estraendo la radice quadrata dal numero positivo( o nullo) così ottenuto, cioè $||bar v||=sqrt(bar v*bar v)$
Applica poi correttamente la definizione di prodotto scalare ricordando che in questo caso hai :
$f(t)=1 $
$g(t)= t $
e quindi identifica il vettore differenza tra i due: $ (f-g)$ ; tu vuoi ottenere la distanza fra i 2 vettori e quindi devi calcolarti la norma del vettore differenza e qui entra in gioco il prodotto scalare etc etc.
Rispondo con un pò di ritardo.
Non fraintendetemi, la teoria vi assicuro che l'ho studiata, e anche bene, avendo già sostenuto brillantemente un esame di algebra lineare.
Solo che questa volta non riuscivo proprio a capire come impostare l'esercizio, lo so che può sembrare banale per alcuni di voi, ma a tutti capita a volte di avere la soluzione a portata di mano e non vederla!
Vi ringrazio per il vostro aiuto e vi chiedo scusa per il disturbo, se ve ne ho portato!
Non fraintendetemi, la teoria vi assicuro che l'ho studiata, e anche bene, avendo già sostenuto brillantemente un esame di algebra lineare.
Solo che questa volta non riuscivo proprio a capire come impostare l'esercizio, lo so che può sembrare banale per alcuni di voi, ma a tutti capita a volte di avere la soluzione a portata di mano e non vederla!
Vi ringrazio per il vostro aiuto e vi chiedo scusa per il disturbo, se ve ne ho portato!
Nessun disturbo , se hai bisogno chiedi pure ancora.
, se hai bisogno chiedi pure ancora.
Scusate, ma c'è ancora una cosa che non mi torna e ho bisogno di una altro consulto di voi esperti!
Il primo esercizio è ok, l'ho svolto e ho capito come andava impostato, ed effettivamente una volta impostato bene l'esercizio filava benissimo!
Ora il secondo esercizio mi sta dando qualche problemino...
Svolgendolo mi trovo con un risultato pari a $2$, mentre il risultato corretto è $2/pi$;
La proiezione di f nella direzione di g:
$f*g = int_0^pi f(t)g(t)dt = int_0^pi sin(t)dt = [-cos(t)]_0^pi = 2$;
Dov'è che sbaglio? ho provato anche la formula $((f*g)/(|g|^2))*g$, con lo stesso risultato!
Il primo esercizio è ok, l'ho svolto e ho capito come andava impostato, ed effettivamente una volta impostato bene l'esercizio filava benissimo!
Ora il secondo esercizio mi sta dando qualche problemino...
Svolgendolo mi trovo con un risultato pari a $2$, mentre il risultato corretto è $2/pi$;
La proiezione di f nella direzione di g:
$f*g = int_0^pi f(t)g(t)dt = int_0^pi sin(t)dt = [-cos(t)]_0^pi = 2$;
Dov'è che sbaglio? ho provato anche la formula $((f*g)/(|g|^2))*g$, con lo stesso risultato!
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