Da equazinone cartesiana a vettoriale
Ciao a tutti, facendo esercizi di geometria lineare affine mi sono accorto che ho dei problemi a convertire una varietà lineare affine dalla forma cartesiana a quella vettoriale.
Faccio gli esercizi fino ad un certo punto, e poi mi blocco.
Ad esempio: $\pi : 2x-y+z-1=0$ io risolvo l'equazione come fosse un sistema lineare, tenendo come incognite libere $x$ e $y$.
Dunque una terna $(x,y,z)$ appartiene a $\pi$ se e solo se $(x,y,z)=(a,b,-2a+b+1)$ con $a$ e $b$ che variano in $RR$.
Ora però non so più come andare avanti, qualcuno riuscirebbe ad aiutarmi per favore?
Faccio gli esercizi fino ad un certo punto, e poi mi blocco.
Ad esempio: $\pi : 2x-y+z-1=0$ io risolvo l'equazione come fosse un sistema lineare, tenendo come incognite libere $x$ e $y$.
Dunque una terna $(x,y,z)$ appartiene a $\pi$ se e solo se $(x,y,z)=(a,b,-2a+b+1)$ con $a$ e $b$ che variano in $RR$.
Ora però non so più come andare avanti, qualcuno riuscirebbe ad aiutarmi per favore?
Risposte
"Equazione vettoriale" significa...?
Non conosco un'altro nome da poterle dare, al mio corso l'abbiamo sempre chiamata così.
Provo a spiegarmi. Volendo rappresentare una retta nello spazio affine reale di dimensione 2 posso farlo in molti modi. L'equazione vettoriale è quando scriviamo la retta in una forma del tipo:
$(x,y)=(a,b)+ \lambda(c,d)$
Dove $(x,y)$ è il generico punto della retta,$(a,b)$ un punto per cui passa la retta, $(c,d)$ è la giacitura della retta, e $\lambda$ è uno scalare che varia in $RR$
Ad esempio la retta che in forma cartesiana si esprime con l'equazione $r: x-y=0$ si può scrivere in forma vettoriale in infiniti modi equivalenti, ad esempio:
$(x,y)=\lambda (1,1)$
$(x,y)=(-1,-1)+ \lambda(1,1)$
$(x,y)=(-1,-1)+ \lambda(2,2)$
Spero di essermi fatto capire, ma come la chiamate voi in genere?
Provo a spiegarmi. Volendo rappresentare una retta nello spazio affine reale di dimensione 2 posso farlo in molti modi. L'equazione vettoriale è quando scriviamo la retta in una forma del tipo:
$(x,y)=(a,b)+ \lambda(c,d)$
Dove $(x,y)$ è il generico punto della retta,$(a,b)$ un punto per cui passa la retta, $(c,d)$ è la giacitura della retta, e $\lambda$ è uno scalare che varia in $RR$
Ad esempio la retta che in forma cartesiana si esprime con l'equazione $r: x-y=0$ si può scrivere in forma vettoriale in infiniti modi equivalenti, ad esempio:
$(x,y)=\lambda (1,1)$
$(x,y)=(-1,-1)+ \lambda(1,1)$
$(x,y)=(-1,-1)+ \lambda(2,2)$
Spero di essermi fatto capire, ma come la chiamate voi in genere?
Ma sicuramente sarà un modo di dire standard, è solo che io non lo conoscevo. Comunque ho capito cosa intendi. Ti consiglio di scrivere l'equazione parametrica che hai trovato isolando la parte lineare e la traslazione, così:
$(x, y, z)=(a, b, -2a+b)+(0,0,1)$
Quando $a, b$ variano in $RR$, $(a, b, -2a+b)$ descrive un sottospazio vettoriale di $RR^3$ (la giacitura del piano): ciò che ti serve è un sistema di generatori di questo sottospazio. Per ottenerlo, osserviamo che l'applicazione $\phi(a, b)=(a, b, -2a+b)$ è lineare da $RR^2$ in $RR^3$ e che il sottospazio vettoriale in questione ne è esattamente l'immagine. Scelto quindi un sistema ${e_1, e_2}$ di generatori di $RR^2$, l'insieme ${phi(e_1), phi(e_2)}$ è un sistema di generatori dell'immagine di $phi$. Chiaramente la scelta più semplice è $e_1=(1, 0), e_2=(0, 1)$.
Concretamente, quindi, basta porre prima $(a, b)=(1, 0)$ e poi $(a, b)=(0, 1)$ nella parte lineare per ottenere un [edit][size=75]qui c'era scritto "base", ho corretto in "sistema di generatori"[/size][/edit] sistema di generatori della giacitura. Ogni altro vettore della giacitura sarà combinazione lineare di questi due. Il piano sarà ottenuto poi traslando opportunamente il punto $(0, 0, 1)$, così:
$lambda(1,0 ,-2)+ mu(0, 1,1)+(0,0,1)$
Sono stato molto prolisso, spero di essere almeno stato chiaro! Nella pratica uno non si fa tutti questi patemi, va a sostituire e basta. Qui mi sono dilungato sull'aspetto teorico.
$(x, y, z)=(a, b, -2a+b)+(0,0,1)$
Quando $a, b$ variano in $RR$, $(a, b, -2a+b)$ descrive un sottospazio vettoriale di $RR^3$ (la giacitura del piano): ciò che ti serve è un sistema di generatori di questo sottospazio. Per ottenerlo, osserviamo che l'applicazione $\phi(a, b)=(a, b, -2a+b)$ è lineare da $RR^2$ in $RR^3$ e che il sottospazio vettoriale in questione ne è esattamente l'immagine. Scelto quindi un sistema ${e_1, e_2}$ di generatori di $RR^2$, l'insieme ${phi(e_1), phi(e_2)}$ è un sistema di generatori dell'immagine di $phi$. Chiaramente la scelta più semplice è $e_1=(1, 0), e_2=(0, 1)$.
Concretamente, quindi, basta porre prima $(a, b)=(1, 0)$ e poi $(a, b)=(0, 1)$ nella parte lineare per ottenere un [edit][size=75]qui c'era scritto "base", ho corretto in "sistema di generatori"[/size][/edit] sistema di generatori della giacitura. Ogni altro vettore della giacitura sarà combinazione lineare di questi due. Il piano sarà ottenuto poi traslando opportunamente il punto $(0, 0, 1)$, così:
$lambda(1,0 ,-2)+ mu(0, 1,1)+(0,0,1)$
Sono stato molto prolisso, spero di essere almeno stato chiaro! Nella pratica uno non si fa tutti questi patemi, va a sostituire e basta. Qui mi sono dilungato sull'aspetto teorico.
Mi dispiace ma non mi è molto chiaro 
Quando provo a fare questi esercizi da solo tendo a confondermi, dal momento una varietà lineare affine può avere infinite equazioni vettoriali tutte diverse che la descrivono.
In questo caso ad esempio il vettore secondo cui viene traslata la giacitura (tu hai scelto $(0,0,1)$) avrebbe potuto essere determinato in $\infty^2$ modi, cioè avrebbe potuto essere uno qualunque dei punti del piano $\pi$.
In pratica secondo il mio ragionamento avrei potuto dare ad $a$ ed a $b$ valori a piacere (purchè in $RR$), che sostituiti in $(a,b,-2a+b+1)$ mi avrebbero dato tutti valido vettore di traslazione.
Tu hai fatto la scelta più furba ed hai subito posto $a=b=0$, ma la scelata credo non sia obbligata, ho ragione?
A questo punto però mi blocco, perchè ${(a,b,-2a+b+1)|a,b in RR}$ essendo soluzione di un sistema lineare non omogeneo, non è un sottospazio vettoriale di $RR^3$ (tra l'altro il vettore nullo non appartiene all'insieme). Quindi non posso cercare un suo sistema di generatori
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Quando provo a fare questi esercizi da solo tendo a confondermi, dal momento una varietà lineare affine può avere infinite equazioni vettoriali tutte diverse che la descrivono.
In questo caso ad esempio il vettore secondo cui viene traslata la giacitura (tu hai scelto $(0,0,1)$) avrebbe potuto essere determinato in $\infty^2$ modi, cioè avrebbe potuto essere uno qualunque dei punti del piano $\pi$.
In pratica secondo il mio ragionamento avrei potuto dare ad $a$ ed a $b$ valori a piacere (purchè in $RR$), che sostituiti in $(a,b,-2a+b+1)$ mi avrebbero dato tutti valido vettore di traslazione.
Tu hai fatto la scelta più furba ed hai subito posto $a=b=0$, ma la scelata credo non sia obbligata, ho ragione?
A questo punto però mi blocco, perchè ${(a,b,-2a+b+1)|a,b in RR}$ essendo soluzione di un sistema lineare non omogeneo, non è un sottospazio vettoriale di $RR^3$ (tra l'altro il vettore nullo non appartiene all'insieme). Quindi non posso cercare un suo sistema di generatori
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"anonymous_ed8f11":Certo che hai ragione.
In pratica secondo il mio ragionamento avrei potuto dare ad $a$ ed a $b$ valori a piacere (purchè in $RR$), che sostituiti in $(a,b,-2a+b+1)$ mi avrebbero dato tutti valido vettore di traslazione.
Tu hai fatto la scelta più furba ed hai subito posto $a=b=0$, ma la scelata credo non sia obbligata, ho ragione?
A questo punto però mi blocco, perchè ${(a,b,-2a+b+1)|a,b in RR}$ essendo soluzione di un sistema lineare non omogeneo, non è un sottospazio vettoriale di $RR^3$ (tra l'altro il vettore nullo non appartiene all'insieme). Quindi non posso cercare un suo sistema di generatoriMa infatti non devi fare questo. Prima devi scrivere la tua varietà nella forma $P + W$, dove $P$ è un punto e $W$ un sottospazio vettoriale di $RR^3$. Questo lo puoi fare in molti modi -come hai già osservato- ma te ne basta uno. Poi devi trovare un sistema di generatori di $W$. Sottolineo: sistema di generatori di $W$, non di $P + W$.
Ho capito!
- In partica se $r: (x,y,z)=(a,b,c)+ \lambda (d,e,f) + \mu (g,h,i)$
vale anche l'equazione equivalente $r: (x,y,z) - (a,b,c)= \lambda (d,e,f) + \mu (g,h,i)$ (1)
Dunque si osserva che $ \lambda (d,e,f) + \mu (g,h,i)$ è per definizione un sottospazio vettoriale (giacitura) e che i vettori $(d,e,f)$ e $(g,h,i)$ sono due suoi generatori. Ma $(x,y,z) - (a,b,c)$ per la (1) è lo stesso sottospazio (scritto in un modo diverso). Quindi dei generatori di $(x,y,z) - (a,b,c)$ o, scritto più propriamente, dell insieme ${(x,y,z) - (a,b,c)|x,y,z in RR}$ sono anche generatori di ${ \lambda (d,e,f) + \mu (g,h,i)| \lambda , \mu in RR}$. Sopratutto però è possibile affermare che $(d,e,f) e (g,h,i) in {(x,y,z) - (a,b,c)|x,y,z in RR}$ in quanto suoi generatori.
Dovendo essere per definizione $"deg"((d,e,f),(g,h,i))=2$ tra i vari generatori sarà necessario sceglierne due linearmente indipendenti, cioè una base.[/list:u:1c8apfxw]
Nel caso dell'esercizio ad esempio $(x,y,z)=(a,b,-2a+b+1)$
Scelgo arbitrariamente un punto appartenente alla varietà, esempio $(0,0,1)$
$(x,y,z) - (a,b,c)= (a,b,-2a+b+1)-(0,0,1)=(a,b,-2a+b)$
${(a,b,-2a+b)|a,b in RR)}={ \lambda (d,e,f) + \mu (g,h,i)| \lambda , \mu in RR}$ dove $(d,e,f)=(a',b',-2a'+b)$, $(g,h,i)=(a'',b'',-2a''+b'')$, e vale che $"deg"((a',b',-2a'+b),(a'',b'',-2a''+b''))=2$
Scelgo arbitrariamente $a'=1$, $b'=0$, $a''=0$, $b''=1$ e verifico che le condizioni di sopra rispettate.
L'equazione trovata è $r: (x,y,z)=(0,0,1)+\lambda(1,0,-2)+ \mu (0,1,1)$
Così finalmente il procedimento mi combacia tutto! Ti ringrazio ancora dissonance per la disponibilità, da solo non avrei mai capito come ci si arrivava
Il risultato che ottieni è giusto e credo che tu abbia capito anche il procedimento, però questo è un errore:
"anonymous_ed8f11":Il primo dei due insiemi è tutto lo spazio. Si tratta infatti del punto $(-a, -b, -c)$ traslato in tutti i modi possibili ($(x, y, z) + (-a. -b, -c), x,y,z\in RR$).
${(x,y,z) - (a,b,c)|x,y,z in RR}$ sono anche generatori di ${ \lambda (d,e,f) + \mu (g,h,i)| \lambda , \mu in RR}$.
Hai ragione, ${(x,y,z) - (a,b,c)|x,y,z in RR}={ \lambda (d,e,f) + \mu (g,h,i)| \lambda , \mu in RR}$ e vera solo per qualche terna $(x,y,z)$.
Se invece al posto di $(x,y,z)$ metto il generico vettore soluzoine dell'equazione in forma cartesiana (nell'esercizio era $(a,b,-2a+b+1)$ allora l'equazione è sempre verificata.
Se invece al posto di $(x,y,z)$ metto il generico vettore soluzoine dell'equazione in forma cartesiana (nell'esercizio era $(a,b,-2a+b+1)$ allora l'equazione è sempre verificata.
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