Esercizio di algebra lineare (Urgente)

[Suppish]

Salve,ho questo esercizio
f(1,0,0)=(1,1,0) ; f(0,1,0)=(1,1,0) ; f(1,1,1)=(2,2,0)

Endomorfismo fornito da questi tre vettori e le loro immagini.

Domande
1)Determinare base dell'Imf, con base ortogonale contenente l'Imf
2)f(0,0,1)
3)Si determini associata ad f nel riferimento naturale di R3 e si dica se essa è diagonalizzabile.
4)Base Ker f
5) endomorfismo della matrice nel riferimento naturale e nel riferimento dato dall'esercizio

Come le ho svolte:
1) Per me una base dell'Imf è W=L(1,1,0), mentre per quanto riguarda una base ortogonale di R3 contenente usandla o i prodotti scalari rintraccio i 2 vettori ortoganali tra loro e ortogonali al vettore dell'Imf;
2) La f(0,0,1) lo determino vedendo come dipende (0,0,1) dal riferimento B((1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)) e gli stessi coefficienti li sfrutto per verificare la linearità quindi f(0,0,1) = h1(1,0,0)+h2(0,1,0)+h3(1,1,1);
3)la matrice associata a posteriori l'ho determinata pensando al fatto che il sottospazio generato dalle colonne da l'Imf e sua relativa dimensione, inoltre supponendo che dim kerf =2, ho diagonalizzato la matrice $((1,1,2),(1,1,2),(0,0,0))$ , trovandomi quindi 2 dei tre autovalori 0 e quindi avendo conferma sul mio precedente ragionamento. So però che questo è un ragionamento non molto corretto che ne esiste uno migliore anche se nella foga del compito non sono riuscito a trovarlo...non è che potreste illuminarmi?
4) una base del ker f dovrebbe coincidere con la base dell'autospazio di autovalore 0.
5) questo mi ha mandato in panico, per piacere non mi ci fate ragionare

C'erano altre domande ma posto queste che erano quelle cardine da cui dipendono le altre.
Fatemi sapere al più presto e ditemi se ho commesso qualche errore nell'usare le formule (sono ancora alle prime armi nel forum )
Grazie mille in anticipo per la disponibilità e l'attenzione che dedicherete al mio post.

Suppish

[Fioravante Patrone1]

[mod="Fioravante Patrone"]Da moderatore ti dico solo, riguardo al titolo del post, che qui di "urgente" non c'è niente
Non tarderanno comunque ad arrivare risposte alle tue domande.[/mod]

Buon forum

[franced]

"Suppish":
f(1,0,0)=(1,1,0) ; f(0,1,0)=(1,1,0) ; f(1,1,1)=(2,2,0)

Endomorfismo fornito da questi tre vettori e le loro immagini.

Io mi scriverei subito le immagini dei vettori della base canonica:

$f (1,0,0) = (1,1,0)$

$f (0,1,0) = (1,1,0)$

$f (0,0,1) = f (1,1,1) - f (1,0,0) - f (0,1,0) = (2,2,0) - (1,1,0) - (1,1,0) = (0,0,0)$

la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica in partenza e in arrivo
è la seguente:

$A = ((1,1,0),(1,1,0),(0,0,0))$

[Suppish]

Scusate il ritardo nella risposta ma ho avuto seri problemi di connessione.
In ogni caso si mi trovo, ho fatto la matrice associata all'endomorfismo nel riferimento costituito dai tre vettori e non in quello naturale, da li poi i conti vengono semplici...purtroppo il panico gioca brutti scherzi.
Grazie per le risposte

[franced]

Prego!