Matrice identica

[gael90rm]

Di nuovo buongiorno a tutti e buone feste...

Il problema di oggi è:

Determinare la matrice [tex]A \in \mathbb{R}^4^x^4[/tex] tale che

$((0,0,1,0),(1,0,0,0),(0,0,0,1),(0,1,0,0))A=I$


Io ho ragionato in questo modo:

Chiamo la matrice data [tex]B[/tex] e dico che [tex]BA=I[/tex]

Quindi [tex]B^-^1BA=IB^-^1[/tex]
Ne segue che [tex]A=IB^-^1[/tex]

Ora la traspongo e mi viene

[tex]B^-^1=[/tex] $((0,1,0,0),(0,0,0,1),(1,0,0,0),(0,0,1,0))$
A questo punto [tex]A=IB^-^1[/tex] indi
[tex]A=B^-^1[/tex]
E' corretto il procedimento? Perchè i conti tornano, ma non vorrei aver fatto quale precorsata e magari con altre matrici non funge..

[franced]

"gael90rm":Di nuovo buongiorno a tutti e buone feste...

Il problema di oggi è:

Determinare la matrice [tex]A \in \mathbb{R}^4^x^4[/tex] tale che

$((0,0,1,0),(1,0,0,0),(0,0,0,1),(0,1,0,0)) A=I$

E' possibile ragionare in questo modo:

la prima colonna di A deve essere tale che la sua immagine
tramite $B = ((0,0,1,0),(1,0,0,0),(0,0,0,1),(0,1,0,0))$ sia $e_1$:
dal momento che $e_1$ si trova nella terza colonna di $B$,
si vede subito, quindi, che la prima colonna di $A$ è $(0,0,1,0)^T$.

La seconda colonna di $A$ deve essere tale che la sua immagine
tramite $B$ sia $e_2$:
dal momento che $e_2$ si trova nella prima colonna di $B$, la
seconda colonna di $A$ è $(1,0,0,0)^T$.

Si continua così per le altre due colonne.

[gael90rm]

Grazie mille .. Così evito un sacco di calcoli inutili..

[franced]

Prego.

Fai però attenzione al fatto che si tratta di un esercizio molto particolare:
nelle colonne di $B$ ci sono i vettori $e_k$ permutati.

[gael90rm]

Si infatti ci avevo fatto caso all inizio, pero' siccome non ero certo della procedura da te esposta, ho usato quella tradizionale che (credo) sia buona per ogni matrice generica

[franced]

L'esercizio è stato pensato e creato per essere risolto come ti ho fatto vedere io.
In generale si calcola in modo "brutale" l'inversa..

Una curiosità: da dove hai preso l'esercizio?

[gael90rm]

E' un esercizio di un vecchio compito di esame di Algebra Lineare (Facoltà Ing. Telecomunicazioni) di un prof. dell Università di Pisa ( a quanto pare un Suo collega)