Dubbio su forma quadratica e relative canoniche
Buonasera a tutti!
ho qualche dubbio. Come noto, ogni forma quadratica ammette più forme canoniche; Se volessi trovarne una, potrei calcolare autovalori, autospazi relativi, base ortonormale degli autovettori con modulo unitario, ecc...
se ne volessi trovare due o tre, senza fare troppi calcoli, posso considerare nuove basi costituite sempre dagli stessi autovettori di cui però cambio l'ordine? in altre parole, cambiando semplicemente l'ordine degli autovalori ottengo sempre delle forme canoniche della stessa forma quadratica di partenza?
Grazie in anticipo e a presto!
ho qualche dubbio. Come noto, ogni forma quadratica ammette più forme canoniche; Se volessi trovarne una, potrei calcolare autovalori, autospazi relativi, base ortonormale degli autovettori con modulo unitario, ecc...
se ne volessi trovare due o tre, senza fare troppi calcoli, posso considerare nuove basi costituite sempre dagli stessi autovettori di cui però cambio l'ordine? in altre parole, cambiando semplicemente l'ordine degli autovalori ottengo sempre delle forme canoniche della stessa forma quadratica di partenza?
Grazie in anticipo e a presto!
Risposte
ogni forma quadratica ammette più forme canoniche
Cosa intendi per "forma canonica"?
"killing_buddha":ogni forma quadratica ammette più forme canoniche
Cosa intendi per "forma canonica"?
intendo una forma quadratica che si può scrivere in questo modo:
$\alpha_1*x_1^2+alpha_2*x_2^2+....+alpha_n*x_n^2$
Il fatto è questo. Data una forma quadratica [tex]q:V\to \mathbb K[/tex] (dove [tex]k[/tex] è un corpo) -o, equivalentemente, una applicazione bilineare simmetrica [tex]g:V\times V\to \mathbb K[/tex]- la sua azione sui vettori si esprime nel modo matriciale che suppongo tu sappia e che quindi non ripeto.
Ora, la classificazione si ottiene introducendo la relazione di congruenza tra matrici ([tex]G \sim H \iff G=P^tHP[/tex] per qualche [tex]P\in\text{GL}_n(\mathbb K)[/tex]), ed è fortemente dipendente dal corpo di base. Se [tex]\mathbb K = \mathbb C[/tex] (o in generale se [tex]\mathbb K[/tex] è algebricamente chiuso) si può trovare una base ortogonale in cui diagonalizzare [tex]G[/tex], e poi riscalare ogni vettore di tale base dividendolo per [tex]\sqrt{g(v_i,v_i)}[/tex] (che esiste sempre): si ottiene allora una classificazione banale, in quanto l'unico invariante di congruenza è il rango:
[tex]\left(\begin{smallmatrix}
0 & & \\
&\ddots &\\
& & 0
\end{smallamtrix}\right),\,
\left(\begin{smallmatrix}
1 & & &\\
& 0 & &\\
& & \ddots & \\
&&& 0
\end{smallamtrix}\right),\,\dots,\,
\left(\begin{smallmatrix}
1 & & \\
&\ddots &\\
& & 1
\end{smallamtrix}\right)[/tex]
e [tex]\text{GL}_n(\mathbb C)/\sim[/tex] ha solo una classe, quella della matrice identica.
Se invece [tex]\mathbb K = \mathbb R[/tex] le cose si fanno più complicate, dato che si può trovare una base ortogonale che però può essere normalizzata solo a meno del segno. Allora [tex]\text{GL}_n(\mathbb R)/\sim[/tex] ha [tex]n+2[/tex] classi:
[tex]\left(\begin{smallmatrix}
1 & & \\
&\ddots &\\
& & 1
\end{smallamtrix}\right), \,
\left(\begin{smallmatrix}
-1 & \\
& \mathbb{I}_{n-1}
\end{smallamtrix}\right), \,
\left(\begin{smallmatrix}
-\mathbb{I}_{n-r} & \\
& \mathbb{I}_{n-r}
\end{smallamtrix}\right), \,\dots,\,
\left(\begin{smallmatrix}
-1 & & \\
&\ddots &\\
& & -1
\end{smallamtrix}\right)[/tex]
La tua domanda allora va meglio precisata: se per forma canonica intendi una di quelle lassù,ne esiste solo una. Se invece intendi "un elemento nella stessa classe di congruenza", basta prendere una matrice in GL e moltiplicarla nel modo noto per la matrice della forma quadratica.
Già che ci sono aggiungo due altre righe:
Definizione Forma Quadratica). Definiamo come forma quadratica una mappa [tex]q\colon V\longrightarrow \mathbb K[/tex] che sia omogenea di grado due, ossia [tex]q(\alpha v) = \alpha^2 q(v)[/tex] per ogni [tex]v\in V[/tex].
Ogni forma quadratica può essere pensata come la restrizione di una applicazione bilineare [tex]g[/tex], nel senso che [tex]q(v)=g(v,v)[/tex] per una certa [tex]g\in\text{Bil}\,(V\times V,\mathbb K)[/tex]. Viceversa ogni applicazione bilineare resta definita da una certa forma quadratica [tex]q[/tex] nel senso che [tex]g(v,w)=q(v+w)-q(v)-q(w)[/tex].
In generale data [tex]\phi \colon V\times \dots \times V \to\mathbb K[/tex] ([tex]n[/tex] fattori), multilineare e simmetrica, si definisce naturalmente la restituzione di [tex]\phi[/tex] come [tex]\mathfrak{R}\phi(v)=\phi(v,\dots,v)[/tex]. Viceversa, data una [tex]\psi\colon V\to \mathbb K[/tex], omogenea di grado [tex]n[/tex], esiste un unico polinomio omogeneo [tex]\mathfrak{P}\psi[/tex], simmetrico, in [tex]\mathbb K[\lambda_1,\dots,\lambda_n][/tex] di grado [tex]n[/tex] tale che [tex]\psi(\lambda_1 v_1+\dots+\lambda_n v_n)=\mathfrak{P}\psi(\lambda_1,\dots,\lambda_n)[/tex]. Questa operazione prende il nome di polarizzazione di [tex]\psi[/tex]. (verificare che, fatte le opportune identificazioni di spazi vettoriali, [tex]\mathfrak R \circ \mathfrak P = \text{id}_{W}[/tex], dove [tex]W[/tex] è...)
Ora, la classificazione si ottiene introducendo la relazione di congruenza tra matrici ([tex]G \sim H \iff G=P^tHP[/tex] per qualche [tex]P\in\text{GL}_n(\mathbb K)[/tex]), ed è fortemente dipendente dal corpo di base. Se [tex]\mathbb K = \mathbb C[/tex] (o in generale se [tex]\mathbb K[/tex] è algebricamente chiuso) si può trovare una base ortogonale in cui diagonalizzare [tex]G[/tex], e poi riscalare ogni vettore di tale base dividendolo per [tex]\sqrt{g(v_i,v_i)}[/tex] (che esiste sempre): si ottiene allora una classificazione banale, in quanto l'unico invariante di congruenza è il rango:
[tex]\left(\begin{smallmatrix}
0 & & \\
&\ddots &\\
& & 0
\end{smallamtrix}\right),\,
\left(\begin{smallmatrix}
1 & & &\\
& 0 & &\\
& & \ddots & \\
&&& 0
\end{smallamtrix}\right),\,\dots,\,
\left(\begin{smallmatrix}
1 & & \\
&\ddots &\\
& & 1
\end{smallamtrix}\right)[/tex]
e [tex]\text{GL}_n(\mathbb C)/\sim[/tex] ha solo una classe, quella della matrice identica.
Se invece [tex]\mathbb K = \mathbb R[/tex] le cose si fanno più complicate, dato che si può trovare una base ortogonale che però può essere normalizzata solo a meno del segno. Allora [tex]\text{GL}_n(\mathbb R)/\sim[/tex] ha [tex]n+2[/tex] classi:
[tex]\left(\begin{smallmatrix}
1 & & \\
&\ddots &\\
& & 1
\end{smallamtrix}\right), \,
\left(\begin{smallmatrix}
-1 & \\
& \mathbb{I}_{n-1}
\end{smallamtrix}\right), \,
\left(\begin{smallmatrix}
-\mathbb{I}_{n-r} & \\
& \mathbb{I}_{n-r}
\end{smallamtrix}\right), \,\dots,\,
\left(\begin{smallmatrix}
-1 & & \\
&\ddots &\\
& & -1
\end{smallamtrix}\right)[/tex]
La tua domanda allora va meglio precisata: se per forma canonica intendi una di quelle lassù,ne esiste solo una. Se invece intendi "un elemento nella stessa classe di congruenza", basta prendere una matrice in GL e moltiplicarla nel modo noto per la matrice della forma quadratica.
Già che ci sono aggiungo due altre righe:
Definizione Forma Quadratica). Definiamo come forma quadratica una mappa [tex]q\colon V\longrightarrow \mathbb K[/tex] che sia omogenea di grado due, ossia [tex]q(\alpha v) = \alpha^2 q(v)[/tex] per ogni [tex]v\in V[/tex].
Ogni forma quadratica può essere pensata come la restrizione di una applicazione bilineare [tex]g[/tex], nel senso che [tex]q(v)=g(v,v)[/tex] per una certa [tex]g\in\text{Bil}\,(V\times V,\mathbb K)[/tex]. Viceversa ogni applicazione bilineare resta definita da una certa forma quadratica [tex]q[/tex] nel senso che [tex]g(v,w)=q(v+w)-q(v)-q(w)[/tex].
In generale data [tex]\phi \colon V\times \dots \times V \to\mathbb K[/tex] ([tex]n[/tex] fattori), multilineare e simmetrica, si definisce naturalmente la restituzione di [tex]\phi[/tex] come [tex]\mathfrak{R}\phi(v)=\phi(v,\dots,v)[/tex]. Viceversa, data una [tex]\psi\colon V\to \mathbb K[/tex], omogenea di grado [tex]n[/tex], esiste un unico polinomio omogeneo [tex]\mathfrak{P}\psi[/tex], simmetrico, in [tex]\mathbb K[\lambda_1,\dots,\lambda_n][/tex] di grado [tex]n[/tex] tale che [tex]\psi(\lambda_1 v_1+\dots+\lambda_n v_n)=\mathfrak{P}\psi(\lambda_1,\dots,\lambda_n)[/tex]. Questa operazione prende il nome di polarizzazione di [tex]\psi[/tex]. (verificare che, fatte le opportune identificazioni di spazi vettoriali, [tex]\mathfrak R \circ \mathfrak P = \text{id}_{W}[/tex], dove [tex]W[/tex] è...)
provo a risponderti, sperando di aver capito la tua domanda...
la forma canonica, come giustamente detto, è unica... la base ortogonale che diagonalizza la forma quadratica (o la forma bilineare associata) no.
Siccome mi è parso di capire che la tua domanda volesse significare questo:
non è unica perché prendendo un qualsiasi vettore non isotropo si può costruire da esso il suo complemento ortogonale... ammesso che vi siano più vettori non isotropi, scegliendone o uno o l'altro, la base cambia, pur rimanendo sempre ortogonale.
Tra l'altro, data la definizione di base, non credo che $v_1,v_2,v_3$ piuttosto che $v_2,v_1,v_3$ indichino basi diverse!
la forma canonica, come giustamente detto, è unica... la base ortogonale che diagonalizza la forma quadratica (o la forma bilineare associata) no.
Siccome mi è parso di capire che la tua domanda volesse significare questo:
posso considerare nuove basi costituite sempre dagli stessi autovettori di cui però cambio l'ordine?
non è unica perché prendendo un qualsiasi vettore non isotropo si può costruire da esso il suo complemento ortogonale... ammesso che vi siano più vettori non isotropi, scegliendone o uno o l'altro, la base cambia, pur rimanendo sempre ortogonale.
Tra l'altro, data la definizione di base, non credo che $v_1,v_2,v_3$ piuttosto che $v_2,v_1,v_3$ indichino basi diverse!
Cosa intendi per "corpo"? Un "campo"?
Io intendo per forma canonica una forma scritta come sotto, in cui la matrice è diagonale e ha sulla diagonale i coefficienti alfa. La distinguo dalla forma avente invece coefficienti $+1$ o $-1$ , detta "forma normale" che è unica (mi pare sia il teorema di Sylvester).
Ora, noi sappiamo che avendo un endomorfismo simmetrico su uno spazio vettoriale V e dimensione n, dotato di prodotto scalare definito positivo, esisterà una base ortonormale di V fatta di autovettori per l'endomorfismo.
Ottenuta questa base di autovettori, io ne posso cambiare l'ordine ottenendo sempre una base di autovettori di V. Se ne cambio l'ordine però, cambio anche l'ordine degli autovalori nella matrice e di conseguenza nella forma canonica. Domanda: ottengo nuove forme canoniche?
Esempio: se la base è B={$v_1,v_2,.....,v_n$}
$\alpha_1*x_1^2+alpha_2*x_2^2+....+alpha_n*x_n^2$
oppure
se B'= {$v_n, v_1,v_3.....,v_(n-1),v_2$}
$\alpha_n*X_1 ^ 2+alpha_1*X_2 ^ 2+....+alpha_2*X_n ^ 2$
Io intendo per forma canonica una forma scritta come sotto, in cui la matrice è diagonale e ha sulla diagonale i coefficienti alfa. La distinguo dalla forma avente invece coefficienti $+1$ o $-1$ , detta "forma normale" che è unica (mi pare sia il teorema di Sylvester).
Ora, noi sappiamo che avendo un endomorfismo simmetrico su uno spazio vettoriale V e dimensione n, dotato di prodotto scalare definito positivo, esisterà una base ortonormale di V fatta di autovettori per l'endomorfismo.
Ottenuta questa base di autovettori, io ne posso cambiare l'ordine ottenendo sempre una base di autovettori di V. Se ne cambio l'ordine però, cambio anche l'ordine degli autovalori nella matrice e di conseguenza nella forma canonica. Domanda: ottengo nuove forme canoniche?
Esempio: se la base è B={$v_1,v_2,.....,v_n$}
$\alpha_1*x_1^2+alpha_2*x_2^2+....+alpha_n*x_n^2$
oppure
se B'= {$v_n, v_1,v_3.....,v_(n-1),v_2$}
$\alpha_n*X_1 ^ 2+alpha_1*X_2 ^ 2+....+alpha_2*X_n ^ 2$
Un corpo è un anello in cui ogni elemento non nullo ha un inverso moltiplicativo.
Un campo è un corpo commutativo.
E alla tua domanda si risponde: dipende, da quel che intendi con "diverse" forme canoniche. La forma canonica è una, se permetti a qualunque matrice di GL di agire come nella definizione (perchè le permutazioni delle coordinate stanno in GL: se non l'hai mai notato è divertente esplicitare come si immerge [tex]\text{Sym}_n[/tex] in [tex]\text{GL}\,(n,\mathbb K)[/tex]).
Un campo è un corpo commutativo.
E alla tua domanda si risponde: dipende, da quel che intendi con "diverse" forme canoniche. La forma canonica è una, se permetti a qualunque matrice di GL di agire come nella definizione (perchè le permutazioni delle coordinate stanno in GL: se non l'hai mai notato è divertente esplicitare come si immerge [tex]\text{Sym}_n[/tex] in [tex]\text{GL}\,(n,\mathbb K)[/tex]).
Credo che il punto della questione sia proprio la permutazione delle coordinate. In questo caso infatti dovrei avere sempre la stessa forma canonica che posso scrivere in diversi modi, semplicemente cambiando non l'ordine dei coefficienti ma quello delle coordinate.
la spiegazione rigorosa credo sia nelle tue parole:
purtroppo non mi è chiaro proprio il "come si immerge [tex]\text{Sym}_n[/tex] in [tex]\text{GL}\,(n,\mathbb K)[/tex])" e studiando ingegneria non siamo scesi così nel dettaglio. Mi accorgo inoltre dalle risposte che ricevo(e ringrazio soprattutto!) che la mia preparazione è forse "disseminata" da più di un dubbio e per questo motivo ogni tua spiegazione genera nuove domande. Potresti quindi consigliarmi dei testi o dispense sull'argomento precise e puntuali come i tuoi interventi?
la spiegazione rigorosa credo sia nelle tue parole:
"killing_buddha":
La forma canonica è una, se permetti a qualunque matrice di GL di agire come nella definizione (perchè le permutazioni delle coordinate stanno in GL: se non l'hai mai notato è divertente esplicitare come si immerge [tex]\text{Sym}_n[/tex] in [tex]\text{GL}\,(n,\mathbb K)[/tex]).
purtroppo non mi è chiaro proprio il "come si immerge [tex]\text{Sym}_n[/tex] in [tex]\text{GL}\,(n,\mathbb K)[/tex])" e studiando ingegneria non siamo scesi così nel dettaglio. Mi accorgo inoltre dalle risposte che ricevo(e ringrazio soprattutto!) che la mia preparazione è forse "disseminata" da più di un dubbio e per questo motivo ogni tua spiegazione genera nuove domande. Potresti quindi consigliarmi dei testi o dispense sull'argomento precise e puntuali come i tuoi interventi?
Credo che il punto della questione sia proprio la permutazione delle coordinate. In questo caso infatti dovrei avere sempre la stessa forma canonica che posso scrivere in diversi modi, semplicemente cambiando non l'ordine dei coefficienti ma quello delle coordinate.
la spiegazione rigorosa credo sia nelle tue parole:
purtroppo non mi è chiaro proprio il "come si immerge [tex]\text{Sym}_n[/tex] in [tex]\text{GL}\,(n,\mathbb K)[/tex])" e studiando ingegneria non siamo scesi così nel dettaglio. Mi accorgo inoltre dalle risposte che ricevo(e ringrazio soprattutto!) che la mia preparazione è forse "disseminata" da più di un dubbio e per questo motivo ogni tua spiegazione genera nuove domande. Potresti quindi consigliarmi dei testi o dispense sull'argomento precise e puntuali come i tuoi interventi?
la spiegazione rigorosa credo sia nelle tue parole:
"killing_buddha":
La forma canonica è una, se permetti a qualunque matrice di GL di agire come nella definizione (perchè le permutazioni delle coordinate stanno in GL: se non l'hai mai notato è divertente esplicitare come si immerge [tex]\text{Sym}_n[/tex] in [tex]\text{GL}\,(n,\mathbb K)[/tex]).
purtroppo non mi è chiaro proprio il "come si immerge [tex]\text{Sym}_n[/tex] in [tex]\text{GL}\,(n,\mathbb K)[/tex])" e studiando ingegneria non siamo scesi così nel dettaglio. Mi accorgo inoltre dalle risposte che ricevo(e ringrazio soprattutto!) che la mia preparazione è forse "disseminata" da più di un dubbio e per questo motivo ogni tua spiegazione genera nuove domande. Potresti quindi consigliarmi dei testi o dispense sull'argomento precise e puntuali come i tuoi interventi?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo