Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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here I am again.. ;)
stavolta l'esercizio che devo risolvere è questo: trovare una matrice $ A in RR^(3x3) $ avente autospazi {$ x in RR^3 $ : $ x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 0 $}, $ (: ( {: ( 1 ),( 2 ),( 4 ) :} ) :) $ . si diagonalizzi inoltre A.
allora, io per prima cosa ho trovato il primo autospazio che è $ (: ( {: ( 2 ),( -1 ),( 0 ) :} ) $,$ ( {: ( 0 ),( 2 ),( -1 ) :} ) :) $. dopodiche ho ipotizzato che la matrice A abbia per autovalori $ 1 $ di molteplicità 2 e $ 2 $ di molteplicità 1 (è lecito??). a questo punto come faccio a ...
Ciao ragazzi, ho un esercizio carino da proporvi..
Data una matrice di ordine n A tale che A sia nilpotente dimostrare per induzione su n che A è simile ad una matrice triangolare superiore.
Mh il caso n=1 è banali, il passo dell'induzione mi sta invece dando qualche problema, avete qualche idea? anche un solo suggerimento !
Salve a tutti vorrei dei chiarimenti su come svolgere questa tipologia di esercizi sulla somma e intersezione tra sottospazi:
Siano U e W sottospazi di R^4 cosi definiti:
W={ (x,y,z,t ) ∈ R^4: x+y-z=o, -x+2y+t=0, 3x-2z-t=0}
U= L ((0,2,-1,0),(1,2,0,1)).
Determinare una base di W, U, W+U e W ∩ U
Della prima domanda gia conosco la risposta, " una base di W è ad esempio [(-1,1,0,-3),(1,0,1,1)]", ma vorrei se possibile che qualcuno mi spiegasse il procedimento che porta a questo ...
Salve,
$ EE a,b in RR | k+v ^^ k = 0 $
quale operazione ha la precedenza tra somma e prodotto vettoriale, da sinistra verso destra?
salve a tutti!
devo trovare una base ortogonale di $ RR^3 $ considerando il prodotto scalare $ xx $ associato alla matrice simmetrica A = $ ({: ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) :}) $.
questa è la mia risoluzione:
innanzitutto osservo che il prodotto $ x xx y $ = $ x_2y_2 + x_2y_3 + x_3 y_2 + x_3y_3 $. per tovare una base ortogonale di $ RR^3 $ cerco autovalori e autovettori di A.
det(A - xI) = $ -x^2(x - 2) $. gli autovalori sono dunque $ 0 $ di molteplicità 2 e $ 2 $ di ...
Salve a tutti!
Ho un piccolo dubbio che vorrei assolutamente levarmi su come trovare (se si puo') le equazioni e basi di un sottospazio in questo caso:
se ho ad esempio il sottospazio di $M_2(R)$ i cui vettori sono le 4 colonne della matrice, devo determinare dimensione, base ed equazioni
$((1,-1,2,-2),(0,0,-3,0),(-1,-2,-2,-1),(1,2,-4,-2))$
la dimensione è Proprio 4
Una base potrebbero essere i quattro vettori?
E le equazioni come posso ricavarle se non ci sono parametri liberi?
Grazie a tutti!!
Sto facendo questo esercizio..
Studiare la variare di k su R il rango della matrice
A=$((3,k,1,-k),(2,1,3,k),(2,k,-1,13))$
L'obbiettivo è quindi trovare il rango per ogni valore di k
Sto provando ad usare il metodo degli orlati ma non capisco in base a quale criterio scelgo le righe e colonne da orlare..
Buongiorno a tutti!
Ho un esercizio proporvi...
Trovare tutte le applicazioni R-lineari $f:R^3 rarr R^3$ tali che:
$f((1),(1),(3))=((2),(2),(1))$
$f^2 = \iota$
Allora:
Io sono arrivato a trovato le altre f:
$f((2),(2),(1))=((1),(1),(3))$
Per i fini dell'esercizio ho pensato di inserire un'altra applicazione che convalidasse le condizioni;
ad esempio:
$f((1),(0),(0))=((1),(0),(0))$
A questo punto mi sono un po' fermato...
Mi era venuta l'idea di considerare l'ultima applicazione trovata come combinazione ...
La proprietà è molto semplice e intuitiva; tuttavia, come potrei dimostrarla rigorosamente?
Buongiorno
Ho questo piccolo esercizio e vorrei capire come si procede, vi sarei grata se mi aiutaste a capire:)
Esistono valori di $k in R$ tali che $W={0}$?
$W={(x,y,z) in R^3| 2y+z=0, (k-1)x-2ky+(k-2)z=0, (k^2-1)x-(1-k^2)z=0}$
Grazie!
Vorrei porvi una domanda un po' generica:
Teoricamente so cosa è una matrice complessa unitaria...
In poche parole: una matrice unitaria n × n è una matrice complessa $U$ che soddisfa la condizione:
$U^+ U = UU^+ = I_n$
Tale uguaglianza equivale a dire che una matrice U è unitaria se possiede una inversa
uguale alla sua coniugata trasposta $U^+$.
La mia domanda riguarda la pratica... se ho una matrice hermitiana, ad esempio:
$A=((1,-i),(i,1))$
come fo a ...
salve ragazzi. mi aiutate perfavore con questo esame... magari qualcuno di voi lo controlla e poi mi dica quali sono stati miei errori.. è l'esame di geometria della Sapienza di Roma Ingegneria dei Sistemi Informatici primo anno 08/09
Eserc1) Nel piano sono dati r: 2x - y = 0 e il punto A = (0,3)
a) Determinare l'equazione della circonferenza β di centro A e tangente a r.
b) Cacolare le coordinate del punto di tangenza di r e β.
Soluzione1: allora
a) prima avevo pensato di utilizzare ...
Ciao a tutti ragazzi, sto cercando di arrivare in fondo a qualche esercizio circa matrici simmetrice e loro diagonalizzazione.
Ho la matrice : $ ( ( 2 , -1 , 1 ),( -1 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ) ) $
Ho computato polinomio caratteristico ottenendo gli autovalori 3 e 0.
Ho computato gli autospazi:
$ Aut(3): (h(-1,1,0)+t(1,0,1) h,t in R)$
$Aut (0): (b(-1,-1,1) b in R) $
Ora, i tre vettori (-1,1,0), (1,0,1), (-1,-1,1) sono ortogonali.
Procedo con la normalizzazione per ognuno di questi ottenendo:
$v_1=(-1/sqrt(2);1/sqrt(2);0) v_2=(sqrt(2);0;sqrt(2)) v_3=(-1/sqrt(3);-1/sqrt(3);1/sqrt(3))$
Ma verificando l'ortogonalità ...
Salve a tutti! Solo una di queste è corretta:
Consideriamo lo spazio vettoriale W delle matrici 3x3 a coefficienti in R. Allora:
a) esiste una base di W fatta di matrici diagonali
b) nessun autospazio di W ha dimensione 8
c) esiste una base di W che contiene la matrice identica
Potete poi motivare la scelta e dire perchè le altre due sono false? Grazie a tutti di cuore
posto gli ultimi dubbi prima dell'esame di domani
$f(0,-2,1)=(0,1,0)$
$f(1,2,0)=(0,-2,1)$
$f(1,1,0)=(-1,0,3)$
scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica
siano $B=[v1=(1,0,2) v2=(0,1,1) v3=(1,1,1)]$ e $B'=[v'1=v1-v3; v'2=v2-v3; v'3=(2,3,1)]<br />
siano $x'$ ed $x$ le coordindate di un vettore $v$ appartenente ad $R^3$ rispetto alle basi B' e B<br />
scrivere la formula $x'=Ax$ del cambiamento delle coordinate<br />
determinare le coordinate di $v=(1,1,-1)$ rispetto alle due basi<br />
<br />
<br />
l'ultimo dubbio, abbiamo una matrice associata ad un applicazione lineare<br />
dobbiamo stabilire se un vettore dato ad esempio $(1,2,4)$ appartiente ad $Imf$ o $kerf$<br />
in questo caso poniamo il vettore nella nostra matrice associata ed imponiamo che deve essere dipendente o indipendente???<br />
io credo dipendente, quindi $det=0$
spero che riuscirete a rispondermi entro oggi
Ciao a tutti,
sto provando a fare quest'esercizio di un vecchio esame di matematica discreta, ma non ne esco. Eccovi il testo:
Considerati i vettori u1(2,0,0) u2(1,1,0) u3(1,-1,2) [rispetto alla base canonica C={e1,e2,e3} di R^3], trovare la matrice A associata, rispetto a C, all'endomorfismo f definito da f(ei)=ui e determinare, se esiste, una matrice simile ad A che sia in forma diagonale.
allora provo a risolverlo sin a dove arrivo
e1(1,0,0) u1=f(e1)=(2,0,0)
e2(0,1,0) ...
Sto facendo l'esercizio seguente
Trovare la dimensione del sottospazio U di $R^3$ generato da {u1(2,2,4), U2(2,-3,-1),U3(3,-2,1)}
Stabilire se w(1,1,2) appartiene ad U e in caso alternativo esprimerlo come combinazione lineare di {u1,u2,u3}
Dunque
per trovare la dimensione dello spazio ho ragionato nel modo seguente
Dato che la dimensione dello spazio è data dal numero di elementi della base, trovo una base e ne calcolo la dimensione, che è data dal numero di vettori ...
Ciao a tutti..
Non riesco a cavarne piede neppure da questo esercizio. Vi incollo il testo:
Si considerino i vettori u1(2,0,1), u2(2,-3,-1), u3(3,-2,1) espressi in coordinate rispetto alla base canonica C = {e1,e2,e3 } di R3 . Dopo aver provato che U = {u1,u2,e2} è una base di R3, trovare le coordinate del vettore u3 rispetto alla base ordinata U.
siccome i vettori u1,u2,u3 sono espressi in coordinate rispetto alla base canonica:
e1=(1,0,0) u1=f(e1)=(2,0,1)
e2=(0,1,0) ...
Ragazzi mi aiutate per favore .. con questi 3 esercizi...è molto importante
I) Si consideri la matrice A =
1 k 1
1 1 3
1 1 2k
dipendente dal parametro k.
a) Per quali valori di k la matrice A è invertibile?
b) Per quali valori di k la terza colonna di A è combinazione lineare delle altre?
c) Per quali valori di k la prima colonna di A è combinazione lineare delle ...
La matrice è
4 -2 1
-2 4 1
1 1 0
Non riesco a capire come si calcola.. devo dire se è definita positiva, definita negativa, o indefinita.
Grazie. Laura
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