Diagonalizzare con matrice complessa unitaria...

[Andrea9905]

Vorrei porvi una domanda un po' generica:
Teoricamente so cosa è una matrice complessa unitaria...
In poche parole: una matrice unitaria n × n è una matrice complessa $U$ che soddisfa la condizione:

$U^+ U = UU^+ = I_n$

Tale uguaglianza equivale a dire che una matrice U è unitaria se possiede una inversa
uguale alla sua coniugata trasposta $U^+$.

La mia domanda riguarda la pratica... se ho una matrice hermitiana, ad esempio:

$A=((1,-i),(i,1))$

come fo a diagonalizzarla utilizzando una matrice complessa unitaria?
Non ho capito se devo prenderla a caso purché sia invertibile o devo fare dei calcoli all'interno di quella matrice...

Grazie, Andrea

[misanino]

"Andrea990":Vorrei porvi una domanda un po' generica:
Teoricamente so cosa è una matrice complessa unitaria...
In poche parole: una matrice unitaria n × n è una matrice complessa $U$ che soddisfa la condizione:

$U^+ U = UU^+ = I_n$

Tale uguaglianza equivale a dire che una matrice U è unitaria se possiede una inversa
uguale alla sua coniugata trasposta $U^+$.

La mia domanda riguarda la pratica... se ho una matrice hermitiana, ad esempio:

$A=((1,-i),(i,1))$

come fo a diagonalizzarla utilizzando una matrice complessa unitaria?
Non ho capito se devo prenderla a caso purché sia invertibile o devo fare dei calcoli all'interno di quella matrice...

Grazie, Andrea

Si procede esattamente nello stesso identico modo con cui si ortogonalizza una matrice reale simmetrica attraverso una matrice ortogonale.

[dissonance]

"misanino":Si procede esattamente nello stesso identico modo con cui si ortogonalizza una matrice reale simmetrica attraverso una matrice ortogonale.

...ovvero, ancora più terra-terra, si procede nello stesso modo con cui si diagonalizza una matrice qualsiasi, avendo però cura di applicare l'algoritmo di Gram-Schmidt (che funziona pari pari negli spazi vettoriali a prodotto hermitiano) alle basi di autovettori di ogni singolo autospazio. Siccome gli autospazi di una matrice hermitiana sono a due a due ortogonali, il risultato di questa operazione è una base ortonormale di autovettori.

Questo è tutto, spero di non aver interferito con quanto diceva misanino, credo si riferisse a quanto dico qui però.

[Andrea9905]

credo d'aver trovato la soluzione:

intanto posso vedere che il determinante di quella matrice è 0.

dunque, il rank=1, quindi dimkerA=1

Mi sono ricavato l'autospazio descritto dall'immagine e l'autospazio descritto dal kerA:
$V_0=<((i),(1))>$
$V_2=<((1),(i))>$

Qui ho visto una cosa... non so se è giusta:
i vettori ortogonali a ogni singolo autovettore ho notato che non sono altro che la combinazione lineare di tale...

quindi m'è venuto da dire:

$A=((1,i),(i,1))((2,0),(0,0))((1,i),(i,1))^-1$

E' giusto o è sbagliato?