Base ortogonale di $ RR^3 $
salve a tutti!
devo trovare una base ortogonale di $ RR^3 $ considerando il prodotto scalare $ xx $ associato alla matrice simmetrica A = $ ({: ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) :}) $.
questa è la mia risoluzione:
innanzitutto osservo che il prodotto $ x xx y $ = $ x_2y_2 + x_2y_3 + x_3 y_2 + x_3y_3 $. per tovare una base ortogonale di $ RR^3 $ cerco autovalori e autovettori di A.
det(A - xI) = $ -x^2(x - 2) $. gli autovalori sono dunque $ 0 $ di molteplicità 2 e $ 2 $ di molteplicità 1. per trovare la base dell'autospazio $ V_0 $, che per inciso sarebbe il Ker(A), non devo fare altro che risolvere il sistema Ax = 0 e trovo come soluzione $ (: ( {: ( 1 ),( 0 ),( 0 ) :} ) $ , $ ({: ( 0 ),( 1 ),( -1 ) :}) :) $. l'autovettore che genera l'autospazio $ V_2 $ sarà invece dato da (A - 2I)x = 0 e cioè $ (: ( {: ( 0 ),( 1),( 1 ) :} ) :) $
essendo i tre vettori ortogonali tra di loro (basta usare la definizione), la base ortogonale che cercavo è dunque $ (: ( {: ( 1 ),( 0 ),( 0 ) :} ) $ , $ ({: ( 0 ),( 1 ),( -1 ) :}) $ , $ ({: ( 0 ),( 1 ),( 1 ) :}) :) $ (?????)
sperando di non aver detto grosse cavolate, vi ringrazio in anticipo per la risposta..
devo trovare una base ortogonale di $ RR^3 $ considerando il prodotto scalare $ xx $ associato alla matrice simmetrica A = $ ({: ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) :}) $.
questa è la mia risoluzione:
innanzitutto osservo che il prodotto $ x xx y $ = $ x_2y_2 + x_2y_3 + x_3 y_2 + x_3y_3 $. per tovare una base ortogonale di $ RR^3 $ cerco autovalori e autovettori di A.
det(A - xI) = $ -x^2(x - 2) $. gli autovalori sono dunque $ 0 $ di molteplicità 2 e $ 2 $ di molteplicità 1. per trovare la base dell'autospazio $ V_0 $, che per inciso sarebbe il Ker(A), non devo fare altro che risolvere il sistema Ax = 0 e trovo come soluzione $ (: ( {: ( 1 ),( 0 ),( 0 ) :} ) $ , $ ({: ( 0 ),( 1 ),( -1 ) :}) :) $. l'autovettore che genera l'autospazio $ V_2 $ sarà invece dato da (A - 2I)x = 0 e cioè $ (: ( {: ( 0 ),( 1),( 1 ) :} ) :) $
essendo i tre vettori ortogonali tra di loro (basta usare la definizione), la base ortogonale che cercavo è dunque $ (: ( {: ( 1 ),( 0 ),( 0 ) :} ) $ , $ ({: ( 0 ),( 1 ),( -1 ) :}) $ , $ ({: ( 0 ),( 1 ),( 1 ) :}) :) $ (?????)
sperando di non aver detto grosse cavolate, vi ringrazio in anticipo per la risposta..
Risposte
Il NOSTRO prof di Algebra non vuole che si passi tramite gli autovalori, ma occorre utilizzar ela procedura da lui "imposta".
Ciao
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