Correzione Esercizi...
Ragazzi mi aiutate per favore .. con questi 3 esercizi...è molto importante
I) Si consideri la matrice A =
1 k 1
1 1 3
1 1 2k
dipendente dal parametro k.
a) Per quali valori di k la matrice A è invertibile?
b) Per quali valori di k la terza colonna di A è combinazione lineare delle altre?
c) Per quali valori di k la prima colonna di A è combinazione lineare delle altre?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II) Nel piano sono dati i punti O = (0; 0);A = (3;-4);B = (t; t + 5) dove t è un parametro
reale. Determinare i valori di t per i quali:
a) I punti O; A;B sono allineati.
a) Esiste una circonferenza passante per O; A;B.
b) Esiste una circonferenza di centro O passante per A e B.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III)Dati i punti dello spazio A = (2; 1; 2);B = (1; 1; 2);C = (1; 1; 0);D = (1; 2; 0), sia r la
retta per A e B e s la retta per C e D. Determinare, se esiste:
a) Un piano π1 contenente r e s.
b) Un piano π2 contenente r e parallelo a s.
c) Un piano π3 contenente r e perpendicolare a s.
Grazie in anticipo
I) Si consideri la matrice A =
1 k 1
1 1 3
1 1 2k
dipendente dal parametro k.
a) Per quali valori di k la matrice A è invertibile?
b) Per quali valori di k la terza colonna di A è combinazione lineare delle altre?
c) Per quali valori di k la prima colonna di A è combinazione lineare delle altre?
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II) Nel piano sono dati i punti O = (0; 0);A = (3;-4);B = (t; t + 5) dove t è un parametro
reale. Determinare i valori di t per i quali:
a) I punti O; A;B sono allineati.
a) Esiste una circonferenza passante per O; A;B.
b) Esiste una circonferenza di centro O passante per A e B.
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III)Dati i punti dello spazio A = (2; 1; 2);B = (1; 1; 2);C = (1; 1; 0);D = (1; 2; 0), sia r la
retta per A e B e s la retta per C e D. Determinare, se esiste:
a) Un piano π1 contenente r e s.
b) Un piano π2 contenente r e parallelo a s.
c) Un piano π3 contenente r e perpendicolare a s.
Grazie in anticipo
Risposte
Risolvo il 3) perchè è abbastanza semplice da fare a mente!
$r:\{(y-1=0),(z-2=0):}$ ed $s:\{(z=0),(x=1):}$
a) le rette non sono parallele, in quanto i vettori direttori sono $(1,0,0)$ e $(0,1,0)$ rispettivamente, e si vede subito che i sistemi sono incompatibili.
b) sia $pi$ appartenente al fascio di piani di asse $r$, cioè $lambday+z-lambda-2=0$. Imponiamo il parallelismo con $s$, $al+bm+cn=0$ ed otteniamo $lambda=0$ cioè $pi:z-2=0$
c) un piano è perpendicolare ad una retta se i coefficienti del piano sono gli stessi dei parametri direttori di $s$ pertanto il nostro piano avrà equazione $y+k=0$, a questo punto prendiamo un punto generico su $r$, ed imponiamo il passaggio per $pi$ ottenendo l'equazione $y-1=0$
$r:\{(y-1=0),(z-2=0):}$ ed $s:\{(z=0),(x=1):}$
a) le rette non sono parallele, in quanto i vettori direttori sono $(1,0,0)$ e $(0,1,0)$ rispettivamente, e si vede subito che i sistemi sono incompatibili.
b) sia $pi$ appartenente al fascio di piani di asse $r$, cioè $lambday+z-lambda-2=0$. Imponiamo il parallelismo con $s$, $al+bm+cn=0$ ed otteniamo $lambda=0$ cioè $pi:z-2=0$
c) un piano è perpendicolare ad una retta se i coefficienti del piano sono gli stessi dei parametri direttori di $s$ pertanto il nostro piano avrà equazione $y+k=0$, a questo punto prendiamo un punto generico su $r$, ed imponiamo il passaggio per $pi$ ottenendo l'equazione $y-1=0$
2) i punti sono allineati se i vettori $OA$ e $OB$ sono linearmente dipendenti... perciò considera i vettori, imponi che il determinante sia uguale a $0$ ed ottieni $t=-15/7$.
Se i punti sono allineati, credo proprio non esista una circonferenza passante per questi $3$ punti...
Calcola la distanza di $O$ da $A$ e da $B$ se tale distanza è uguale allora $d(O,A)$ è il raggio e $O$ è il centro, hai tutti gli elementi che ti servono per costruire la circonferenza
Se i punti sono allineati, credo proprio non esista una circonferenza passante per questi $3$ punti...
Calcola la distanza di $O$ da $A$ e da $B$ se tale distanza è uguale allora $d(O,A)$ è il raggio e $O$ è il centro, hai tutti gli elementi che ti servono per costruire la circonferenza
grazie mistake89.. infatti l'ho fatto per controllare le mie soluzioni... e finora vanno bene.. solo, ho un po di problemi con l'esercizio 1.. magari potresti dargli una occhiata.. grzie ancora
Ti dico come farei, ma i calcoli li lascio a te.
a) calcola il determinante ed imponi che sia diverso da $0$
b)e c) si tratta di risolvere un sistema di $3$ equazioni in $3$ incognite in ogni caso.
Consideriamo ad esempio il punto c). Presi due scalari $a,binRR$ dobbiamo avere $(1,1,1)=(ak+b,a+3b,a+2k)$ risolvi il sistema ed ottieni i/il valore di $k$
a) calcola il determinante ed imponi che sia diverso da $0$
b)e c) si tratta di risolvere un sistema di $3$ equazioni in $3$ incognite in ogni caso.
Consideriamo ad esempio il punto c). Presi due scalari $a,binRR$ dobbiamo avere $(1,1,1)=(ak+b,a+3b,a+2k)$ risolvi il sistema ed ottieni i/il valore di $k$
grazie mistake... infatti avevo dei problemi con i punti b e c... adesso ho capito come fare.. e grazie.. ancora
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