Correzione Esame
salve ragazzi. mi aiutate perfavore con questo esame... magari qualcuno di voi lo controlla e poi mi dica quali sono stati miei errori.. è l'esame di geometria della Sapienza di Roma Ingegneria dei Sistemi Informatici primo anno 08/09
Eserc1) Nel piano sono dati r: 2x - y = 0 e il punto A = (0,3)
a) Determinare l'equazione della circonferenza β di centro A e tangente a r.
b) Cacolare le coordinate del punto di tangenza di r e β.
Soluzione1: allora
a) prima avevo pensato di utilizzare la formula della distanza da un punto a una retta.. .pero leggendo la seconda domanda ho deciso di fare la proiezione ortogonale, cosi risparmio un po di tempoo...
quindi ho trovato l'equazione parametrica di r. $ { ( x = t ),( y = 2t):} $ m per poi trovare il piano ortogonale a r... il piano ortogonale a r, ha come equazione generica x + 2y + k = 0, imponendo il passaggio per A abbiamo x + 2y - 6 = 0... addesso passiamo a trovare H , che viene fuori dalla intersezione di r e il suo piano ortogonale... mi vengono i punti H = (6/5; 12/5).
ora che abbiamo trovato H, passiamo a cacolare la distanza da A (che è il centro della circonferenza) a H.... la distanza sarebbe il raggio di questa circonferenza.. la distanza è $ 3 sqrt(5) // 5 $ . Adesso abbiamo tutti gli elementi per determinare la nostra equazione della circonferenza...
l'equazione della cironferenza è $ 9 // 5 = (x)^(2) + (y - 3)^(2) $.
b) il punto di intersezione fra la retta e la circonferenza sarebbe H trovato in A cioè, (6/5; 12/5)
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Eserc2)
a) Calcolare il rango della matrice A = $ ( ( 1 , 3 , 3 , 1 ),( 2 , 4 , 4 , 1 ),( 1 , -1 , -1 , -1 ) ) $
b) determinare i valori del prametro k per i quali il sistema lineare $ { (3x + 3y + 3z + w = 1 ),( 2x + 4y + 4z + w = k ),( x - y - z - w = k ):} $
è risolubile.
a) il rango di questa matrice è 2.
b) per il teorema di Reoche-capelli è compatibile se e solo se la matrice di coefficiente e la matrice completa hanno lo stesso rango ... quindi abbiamo visto che il rango della matrice dei coefficienti è 2, quindi pure la matrice completa dovrà avere Rango 2... Avrà Rango 2 se K = 3, avrà Rango 3 se K $ K != 3 $
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Eserc3) Sia V uno spazio vettoriale e B = (v1,....,vn) una sua base.
a) Definire le coordinate di un vettore v rispetto alla base B
b) dimostrare che le coordinate di un vettore sono uniche.
c) Sia ora V = $ (R)^(3) $ [x] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2. determinare le coordinate del vettore 1 + 2x rispetto alla base B = ( 1 - x, $ (x)^(2) $ , 1 + $ (x)^(2) $).
Non svolto magari me lo potreste spiegare ....
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Eserc4) Nello spazio dati i punti A = (1, 0, 0), B = (0, -2, 3) e il piano π : 2x + y + z = 0. sia r la retta passante per A e B.
a) Determinare le coordinate del punto P, intersezione della retta r.
b) determinare l'equazione del piano passante per P e ortogonale alla retta r.
c) l'equazione della sfera di raggio minimo passante per A e B.
Soluzione:
a) troviamo l'equazione della retta r passante per A e B: $ { ( x = 1 - t ),( y = -2t ),( z = 3t ):} $
dal sistema tra l'equaione del piano e della retta troviamo P (-1, -4 ,6)
b) se il piano e ortogonale alla retta r, significa che i parametri direttori r saranno proporzionali ai parametri di giacitura dell'equazione del piano, quindi avremo l'equazione generale del piano ortogonale a r : -x - 2y + 3z + k = 0... imponiamo il passaggio per P, e viene, -x -2y + 3z - 27 = 0
c) il centro della sfera si trova fra A e B, quindi dobbiamo trovare il punto medio fra questi punti.. che è C (1/2; -1; 3/2)..ora che abbiamo il centro passiamo a trovare il raggio, che sarà la distanza da C ad A.. calcolando la distanza fra questi due punti mi viene $ sqrt(14)//4 $
ora che abbiamo il raggio e il centro possiamo determinare l'equazione della sfera, che sarebbe 7/8 = $ (x-1//2)^(2) + (y+1)^(2) + (z-3//2)^(2) $
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Eserc5) In $ (x)^(4) $ sono dati il sottospazio U, generato dai vettori $ ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ), ( ( 1 ),( 1 ),( -1 ),( 1 ) ), ( ( -1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $ , e il sottospazio W, insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo $ { ( x + y + z = 0 ),( y - w = 0 ):} $
a) trovare basi di U e W
b) trovare una base di $ U nn W $
c) Trovare una base ortonormale di U
Soluzione:
a) una base di U sarebbero i due primi vettori, quindi di dimensione 2, e calcolando W vengono $ ( ( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ); ( ( -1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ di dimnsione 2
b) la dimensione di E + F = 3, quindi per li teorema di grassman la dim di $ E nn F $ = 1
c) applicando gram-schmitd U1 = $ ( (0),(1),( 0 ),( 1 ) ) * 1//sqrt(2) $ U2= $ ( (1),(0),(-1),( 0 ) ) * 1//sqrt(2) $ u3 = $ ( (-1),(0),(1),( 0 ) ) * 1//sqrt(2) $
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eserci6) Si consideri l'endomorfismo F: $ (R)^(3) -> (R)^(3) $ rappresentata dalla matrice A = $ ( ( 1 , 1 , -1 ),( k , k , -k ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ rispetto alla sua base canonica.
a) determinare dimKerF al variare k.
b) determinare tutti i valori di k per i quali f è diagonalizzabile
Soluzione:
a) il rango di quella matrice è sempre 1 per tutti i valori di k ... quindi la dimensione dell'immagine sarà 1... e quella del Ker sara 2
b) per che una matrice sia diagonalizzabile il suo determinante deve essere diverso da zero.. e questa matrice non avrà mai determinante diverso da zero..
Grazie in anticipo..
Eserc1) Nel piano sono dati r: 2x - y = 0 e il punto A = (0,3)
a) Determinare l'equazione della circonferenza β di centro A e tangente a r.
b) Cacolare le coordinate del punto di tangenza di r e β.
Soluzione1: allora
a) prima avevo pensato di utilizzare la formula della distanza da un punto a una retta.. .pero leggendo la seconda domanda ho deciso di fare la proiezione ortogonale, cosi risparmio un po di tempoo...
quindi ho trovato l'equazione parametrica di r. $ { ( x = t ),( y = 2t):} $ m per poi trovare il piano ortogonale a r... il piano ortogonale a r, ha come equazione generica x + 2y + k = 0, imponendo il passaggio per A abbiamo x + 2y - 6 = 0... addesso passiamo a trovare H , che viene fuori dalla intersezione di r e il suo piano ortogonale... mi vengono i punti H = (6/5; 12/5).
ora che abbiamo trovato H, passiamo a cacolare la distanza da A (che è il centro della circonferenza) a H.... la distanza sarebbe il raggio di questa circonferenza.. la distanza è $ 3 sqrt(5) // 5 $ . Adesso abbiamo tutti gli elementi per determinare la nostra equazione della circonferenza...
l'equazione della cironferenza è $ 9 // 5 = (x)^(2) + (y - 3)^(2) $.
b) il punto di intersezione fra la retta e la circonferenza sarebbe H trovato in A cioè, (6/5; 12/5)
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Eserc2)
a) Calcolare il rango della matrice A = $ ( ( 1 , 3 , 3 , 1 ),( 2 , 4 , 4 , 1 ),( 1 , -1 , -1 , -1 ) ) $
b) determinare i valori del prametro k per i quali il sistema lineare $ { (3x + 3y + 3z + w = 1 ),( 2x + 4y + 4z + w = k ),( x - y - z - w = k ):} $
è risolubile.
a) il rango di questa matrice è 2.
b) per il teorema di Reoche-capelli è compatibile se e solo se la matrice di coefficiente e la matrice completa hanno lo stesso rango ... quindi abbiamo visto che il rango della matrice dei coefficienti è 2, quindi pure la matrice completa dovrà avere Rango 2... Avrà Rango 2 se K = 3, avrà Rango 3 se K $ K != 3 $
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Eserc3) Sia V uno spazio vettoriale e B = (v1,....,vn) una sua base.
a) Definire le coordinate di un vettore v rispetto alla base B
b) dimostrare che le coordinate di un vettore sono uniche.
c) Sia ora V = $ (R)^(3) $ [x] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2. determinare le coordinate del vettore 1 + 2x rispetto alla base B = ( 1 - x, $ (x)^(2) $ , 1 + $ (x)^(2) $).
Non svolto magari me lo potreste spiegare ....
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Eserc4) Nello spazio dati i punti A = (1, 0, 0), B = (0, -2, 3) e il piano π : 2x + y + z = 0. sia r la retta passante per A e B.
a) Determinare le coordinate del punto P, intersezione della retta r.
b) determinare l'equazione del piano passante per P e ortogonale alla retta r.
c) l'equazione della sfera di raggio minimo passante per A e B.
Soluzione:
a) troviamo l'equazione della retta r passante per A e B: $ { ( x = 1 - t ),( y = -2t ),( z = 3t ):} $
dal sistema tra l'equaione del piano e della retta troviamo P (-1, -4 ,6)
b) se il piano e ortogonale alla retta r, significa che i parametri direttori r saranno proporzionali ai parametri di giacitura dell'equazione del piano, quindi avremo l'equazione generale del piano ortogonale a r : -x - 2y + 3z + k = 0... imponiamo il passaggio per P, e viene, -x -2y + 3z - 27 = 0
c) il centro della sfera si trova fra A e B, quindi dobbiamo trovare il punto medio fra questi punti.. che è C (1/2; -1; 3/2)..ora che abbiamo il centro passiamo a trovare il raggio, che sarà la distanza da C ad A.. calcolando la distanza fra questi due punti mi viene $ sqrt(14)//4 $
ora che abbiamo il raggio e il centro possiamo determinare l'equazione della sfera, che sarebbe 7/8 = $ (x-1//2)^(2) + (y+1)^(2) + (z-3//2)^(2) $
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Eserc5) In $ (x)^(4) $ sono dati il sottospazio U, generato dai vettori $ ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ), ( ( 1 ),( 1 ),( -1 ),( 1 ) ), ( ( -1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $ , e il sottospazio W, insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo $ { ( x + y + z = 0 ),( y - w = 0 ):} $
a) trovare basi di U e W
b) trovare una base di $ U nn W $
c) Trovare una base ortonormale di U
Soluzione:
a) una base di U sarebbero i due primi vettori, quindi di dimensione 2, e calcolando W vengono $ ( ( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ); ( ( -1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ di dimnsione 2
b) la dimensione di E + F = 3, quindi per li teorema di grassman la dim di $ E nn F $ = 1
c) applicando gram-schmitd U1 = $ ( (0),(1),( 0 ),( 1 ) ) * 1//sqrt(2) $ U2= $ ( (1),(0),(-1),( 0 ) ) * 1//sqrt(2) $ u3 = $ ( (-1),(0),(1),( 0 ) ) * 1//sqrt(2) $
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eserci6) Si consideri l'endomorfismo F: $ (R)^(3) -> (R)^(3) $ rappresentata dalla matrice A = $ ( ( 1 , 1 , -1 ),( k , k , -k ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ rispetto alla sua base canonica.
a) determinare dimKerF al variare k.
b) determinare tutti i valori di k per i quali f è diagonalizzabile
Soluzione:
a) il rango di quella matrice è sempre 1 per tutti i valori di k ... quindi la dimensione dell'immagine sarà 1... e quella del Ker sara 2
b) per che una matrice sia diagonalizzabile il suo determinante deve essere diverso da zero.. e questa matrice non avrà mai determinante diverso da zero..
Grazie in anticipo..
Risposte
Esercizio 1 ) ok
esercizio 4 ) ok a parte l'equazione della sfera che viene : come hai scritto tu = $7/2$ invece che $ 7/8 $.
Gli altri non li ho guardati.
esercizio 4 ) ok a parte l'equazione della sfera che viene : come hai scritto tu = $7/2$ invece che $ 7/8 $.
Gli altri non li ho guardati.
grazie camillo, si in effetti c'e un errore di calcolo.. magari potresti dare una controllata agli altri quando hai un po di tempo, o magari qualcun altro .... 
Esercizio 5 )
Se è chiesta una base ortonormale di $U $ allora questa è data da $ ((0),(1),(0),(1)) *1/sqrt(2) ; ((1),(1),(-1),(1)) *1/2 $
Inoltre il generico vettore di $U nn W $ è dato da $(x,0,-x,0 ) $ e quindi una base è data da $(1,0,-1,0)$.
Se è chiesta una base ortonormale di $U $ allora questa è data da $ ((0),(1),(0),(1)) *1/sqrt(2) ; ((1),(1),(-1),(1)) *1/2 $
Inoltre il generico vettore di $U nn W $ è dato da $(x,0,-x,0 ) $ e quindi una base è data da $(1,0,-1,0)$.
scusami se ti rompo camillo, pero non capisco perche hai preso solo i primi 2 vettori, per trovare una base ortonormale di U, e poi li hai divisi solo con la norma,
ma per trovare una base orotnormale non dobbiamo applicare Gram-Schmitd??? e poi...non dobbiamo prendere tutti i 3 i vettori?? grazie.
ma per trovare una base orotnormale non dobbiamo applicare Gram-Schmitd??? e poi...non dobbiamo prendere tutti i 3 i vettori?? grazie.
3) .c ... se non erro devi scrivere la matrice associata all'applicazione, invertirla e moltiplicarla per le coordinate del tuo vettore ottenendo il vettore (0,-1,2) che sarebbe -x+x^2
Avevo considerato W e non U come sottospazio per cui trovare una base ortonormale ( e poi avevo dimenticato di normalizzarli ).
Ora $ Dim U = 2 $ quindi ogni base è formata da $2$ vettori e anche ogni base ortonormale sarà formata da $2 $ vettori.
La base scelta per U è $[ u_1=(0,1,0,1) ;u_2=(1,1,-1,1)] $.
Uso il metodo di Gram-Schmidt e considero la generica combinazione lineare tra $u_1, u_2 $ data da $u_1+a u_2 =(a,1+a,-a,1+a)$.
Impongo che questo vettore sia ortogonale a $u_1 $ ed ottengo :$1+a+1+a=0 ; a=-1 $ e quindi i vettori tra loro ortogonali sono ( li chiamo ancora con lo stesso nome $u_1 =( 0,1,0,1) ; u_2=( -1,0,1,0)$.
Adesso li devo normalizzare e si ha alla fine la base ortonormale data da $[ (0,1,0,1)1/sqrt(2) ; (-1,0,1,0 ) 1/sqrt(2) ]$.
).Ora $ Dim U = 2 $ quindi ogni base è formata da $2$ vettori e anche ogni base ortonormale sarà formata da $2 $ vettori.
La base scelta per U è $[ u_1=(0,1,0,1) ;u_2=(1,1,-1,1)] $.
Uso il metodo di Gram-Schmidt e considero la generica combinazione lineare tra $u_1, u_2 $ data da $u_1+a u_2 =(a,1+a,-a,1+a)$.
Impongo che questo vettore sia ortogonale a $u_1 $ ed ottengo :$1+a+1+a=0 ; a=-1 $ e quindi i vettori tra loro ortogonali sono ( li chiamo ancora con lo stesso nome $u_1 =( 0,1,0,1) ; u_2=( -1,0,1,0)$.
Adesso li devo normalizzare e si ha alla fine la base ortonormale data da $[ (0,1,0,1)1/sqrt(2) ; (-1,0,1,0 ) 1/sqrt(2) ]$.
eh! infatti ... adesso si va bene... iniziavo a preoccuparmi... e poi si hai ragione, i vettori sono l.d... eh vabbe.. n'altro piccolo errore... adesso mancano l'esercizio 2 e l'esercizio 6... magari potresti dargli un'occhiata... Grazie
@loweherz: grazie per il tuo intervento.. magari pure te potresti controllare gli esercizi 2 e 6 con il 3 ho perso le speranze..
@loweherz: grazie per il tuo intervento.. magari pure te potresti controllare gli esercizi 2 e 6 con il 3 ho perso le speranze..
Per verificare che ha rango due si puo' procedere così:
Innanzi tutto ti accorgi che ci sono 2 colonne identiche, pertanto ti riduci a studiare una matrice 3 per 3 formata dalla prima, seconda, quarta, colonna. Calcoli il determinante e ti accorgi che fa 0, dunque il rango fa due perche trovi una matrice 2x2 con determinante diverso da 0.
Sperando di aver chiarito, Saluto.
Innanzi tutto ti accorgi che ci sono 2 colonne identiche, pertanto ti riduci a studiare una matrice 3 per 3 formata dalla prima, seconda, quarta, colonna. Calcoli il determinante e ti accorgi che fa 0, dunque il rango fa due perche trovi una matrice 2x2 con determinante diverso da 0.
Sperando di aver chiarito, Saluto.
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