Spazio vettoriale isomorfo a $CC$
Sia V spazio vettoriale di dimensione 2 e sia $*:VxV->V$ compatibile con il prodotto per scalari e che rende V un campo.
Allora V e' isomorfo a $CC$.
Dimostrazione:
Sia $u_0\inV$ l'elemento neutro per il prodotto, cioe' $u_0v=vu_0=v$ $AAv\inV$.
Basta dimostrare che esiste $v_o\inV$ tale che $v_0^2=-u_0$ quindi sono indipendenti e $V=$
Perche' da $v_0^2=-u_0$ segue che sono indipendenti?
Allora V e' isomorfo a $CC$.
Dimostrazione:
Sia $u_0\inV$ l'elemento neutro per il prodotto, cioe' $u_0v=vu_0=v$ $AAv\inV$.
Basta dimostrare che esiste $v_o\inV$ tale che $v_0^2=-u_0$ quindi sono indipendenti e $V=
Perche' da $v_0^2=-u_0$ segue che sono indipendenti?
Risposte
prendi una combinazione lineare di $v_0$ e $u_0$, che dia $0$
$a*v_0+b*u_0=0$ moltiplichi per $v_0$ che è diverso da $0$ e ottieni $-a*u_0+b*v_0=0$
da cui ${(a*u_0=b*v_0),(a*v_0=b*u_0):}$
a questo punto o $a=b=0$ e abbiamo finito, o $a!=0$ e quindi ${(u_0=b/a*v_0),(v_0=b/a*u_0):}$
e quindi... come concludi?
$a*v_0+b*u_0=0$ moltiplichi per $v_0$ che è diverso da $0$ e ottieni $-a*u_0+b*v_0=0$
da cui ${(a*u_0=b*v_0),(a*v_0=b*u_0):}$
a questo punto o $a=b=0$ e abbiamo finito, o $a!=0$ e quindi ${(u_0=b/a*v_0),(v_0=b/a*u_0):}$
e quindi... come concludi?
Sia $w\inV$ tale che $V=$, $w^2=au_0+bw$.
Sia $v=w+xu_0$, esiste un valore di $x$ per cui $v^2=cu_0$.
$v^2=(w+xu_0)^2=au_0+bw+2xw+x^2u_0=(a+x^2)u_0+(b+2x)w$.
A questo punto si dice di scegliere $a=-b/2$ per mostrare che $ =V$, perchè?
Sia $v=w+xu_0$, esiste un valore di $x$ per cui $v^2=cu_0$.
$v^2=(w+xu_0)^2=au_0+bw+2xw+x^2u_0=(a+x^2)u_0+(b+2x)w$.
A questo punto si dice di scegliere $a=-b/2$ per mostrare che $
sinceramente non capisco bene i tuoi passaggi.
non capisco dove vuoi arrivare, nè come ci arrivi.
io nel mio post mostravo solo che se esiste un $v_0$ tale che $v_0^2=-u_0$ allora $u_0$ e $v_0$ sono indipendenti.
che è la domanda che hai fatto nel primo messaggio.
ah ok credo di aver capito:
dovrebbe essere $x=-b/2$ e $a=-5/4b^2$
così funziona.
non capisco dove vuoi arrivare, nè come ci arrivi.
io nel mio post mostravo solo che se esiste un $v_0$ tale che $v_0^2=-u_0$ allora $u_0$ e $v_0$ sono indipendenti.
che è la domanda che hai fatto nel primo messaggio.
ah ok credo di aver capito:
dovrebbe essere $x=-b/2$ e $a=-5/4b^2$
così funziona.
ok ci sono.
prendiamo $w$ che abbia le seguenti proprietà:
$$$=V$ e $w^2=-5/4u_0+w$ (sembrano numeri a caso, la giustificazione è nei tuoi passaggi)
adesso definiamo $v=w-1/2u_0$
allora si nota facendo i calcoli che $v^2=-u_0$
e inoltre è semplice verificare che $v$ e $u_0$ sono linearmente indipendenti, e quindi generano il nostro spazio, che ha dimensione $2$
ok?
prendiamo $w$ che abbia le seguenti proprietà:
$
adesso definiamo $v=w-1/2u_0$
allora si nota facendo i calcoli che $v^2=-u_0$
e inoltre è semplice verificare che $v$ e $u_0$ sono linearmente indipendenti, e quindi generano il nostro spazio, che ha dimensione $2$
ok?
Ok, grazie.
Ultimo passaggio...
se fosse $v^2=cu_0$ con $c>=0$, $(v-sqrt(c)u_0)(v+sqrt(c)u_0)=0$, il che è assurdo perchè V è un campo. Non mi è chiaro il perchè dell'assurdo.
Infine si pone $v_0=1/sqrt(|c|)v$ e si ha che $V=$ e $v_0^2=-u_0$.
Ultimo passaggio...
se fosse $v^2=cu_0$ con $c>=0$, $(v-sqrt(c)u_0)(v+sqrt(c)u_0)=0$, il che è assurdo perchè V è un campo. Non mi è chiaro il perchè dell'assurdo.
Infine si pone $v_0=1/sqrt(|c|)v$ e si ha che $V=
quest'ultima cosa non capisco cosa c'entri con la dimostrazione, che mi pare finita con quello che abbiamo detto prima.
un campo è un dominio di integrità, quindi $a*b=0$ implica $a=0 vv b=0$ da cui l'assurdo in ciò che hai scritto.
un campo è un dominio di integrità, quindi $a*b=0$ implica $a=0 vv b=0$ da cui l'assurdo in ciò che hai scritto.
Beh si deve mostrare che $v_0^2=-u_0$ e per farlo si sceglie $v_0=1/sqrt(|c|)v$ ma manca da mostrare che c è negativo, giusto?
EDIT: capito. Essendo V un campo non può essere nullo il prodotto di due fattori non nulli, quindi c<0, come ho descritto nel post precedente.
Grazie mille blackbishop!
EDIT: capito. Essendo V un campo non può essere nullo il prodotto di due fattori non nulli, quindi c<0, come ho descritto nel post precedente.
Grazie mille blackbishop!
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