Matrici ortogonali
Ciao a tutti, ho un dubbio sulle matrici ortogonali, su un libro è riportato che U è ortogonale se U*Ut=I mentre su un'altro è riportato che U è ortogonale se U*Ut=Ut*U=I. In un esercizio in cui mi si dice di trovare i valori del parametro per cui una matrice è ortogonale, posso limitarmi a risolvere il sistema U*Ut=I oppure devo risolvere U*Ut=I e Ut*U=I e dimostrare che il valore dei parametri è lo stesso?
Grazie mille a tutti!
Grazie mille a tutti!
Risposte
Il prodotto matrice-matrice non è commutativo.
è vero cirasa, hai ragione!
è vero cirasa, hai ragione!
"biggest":
Il prodotto matrice-matrice non è commutativo.
E su questo siamo d'accordo.
"biggest":Su questo assolutamente no. Il fatto che il determinante sia $pm 1$ è condizione necessaria ma non sufficiente affinchè la matrice sia ortogonale.
Un metodo per vedere se la matrice è ortogonale è quello di calcolare il determinante: la matrice sarà ortogonale se il determinante è $+-1$
Controesempio:
$U=((1,1),(0,1))$
Il determinante di $U$ è $1$, ma non è affatto vero che $U$ è ortogonale.
Per quanto riguarda la domanda di Cremo (a cui dò il benvenuto in questo forum
), ti basta verificare una sola delle due uguaglianze, per esempio $UU^t=I$ ($I$ è la matrice identica). L'altra seguirà dalla seguente proprietà (che puoi provare a dimostrare se ti va)
se $A, B$ sono due matrici quadrate tali che $AB=I$, allora $BA=I$.
Ciao!
"cirasa":
Controesempio:
$U=((1,1),(0,1))$
Il determinante di $U$ è $1$, ma non è affatto vero che $U$ è ortogonale.
non è ortogonale perchè
$(1,1)*(0,1)!=0$ giusto?
Un appunto. Quanto detto da Cirasa (la proposizione da lui assegnata) vale su anelli commutativi unitari.
Altrimenti cade. (in particolare varrà sui campi su cui lavori tu: le matrici sono ad entrate in un campo)
Cirasa, confermi?
Altrimenti cade. (in particolare varrà sui campi su cui lavori tu: le matrici sono ad entrate in un campo)
Cirasa, confermi?
@Gaal Dornick: confermo che la proposizione è vera per matrici a coefficienti in un anello commutativo unitario.
E la dimostrazione è abbastanza elementare, ovviamente sfrutta le proprietà del determinante.
Ma se non sbaglio, nel caso non commutativo tutta questa bella costruzione crolla. Non so se ci sono altre strade per provare a dimostrarla/confutarla.
A dire la verità non so nemmeno se sia vera, anche se credo di no.
A proposito di detreminante, so che ci sono delle generalizzazioni del concetto di determinante nel caso di matrici a coefficienti in un anello di divisione $D$ (anello unitario tale che tutti i suoi elementi sono invertibili, tranne lo $0_D$), quindi anche nel caso non commutativo.
Per un riferimento bibliografico vedi "Algebra", vol. 3, P. M. Cohn, dovresti guardare il cosiddetto "determinante di Dieudonnè".
Non mi chiedere di più, perchè non so nemmeno come è definito.
[Non so se hai seguito il corso di Istituzioni di Algebra superiore. Quando ho seguito io, ci fece qualche cenno il prof a lezione]
@clever: Per definizione $U$ è ortogonale se $UU^t=I$. Quindi per verificare se $U$ è ortogonale o no, calcoli $UU^t$. Se ottieni la matrice identica $I$, $U$ è ortogonale, altrimenti no.
Però si dimostra che $U$ è ortogonale se e solo se tutte le sue righe (o tutte le sue colonne) sono a due a due ortonormali.
Quindi il fatto che tu abbia verificato che due righe di $U$ non sono ortogonali fra loro ti dice che $U$ non è ortogonale.
E la dimostrazione è abbastanza elementare, ovviamente sfrutta le proprietà del determinante.
Ma se non sbaglio, nel caso non commutativo tutta questa bella costruzione crolla. Non so se ci sono altre strade per provare a dimostrarla/confutarla.
A dire la verità non so nemmeno se sia vera, anche se credo di no.
A proposito di detreminante, so che ci sono delle generalizzazioni del concetto di determinante nel caso di matrici a coefficienti in un anello di divisione $D$ (anello unitario tale che tutti i suoi elementi sono invertibili, tranne lo $0_D$), quindi anche nel caso non commutativo.
Per un riferimento bibliografico vedi "Algebra", vol. 3, P. M. Cohn, dovresti guardare il cosiddetto "determinante di Dieudonnè".
Non mi chiedere di più, perchè non so nemmeno come è definito.
[Non so se hai seguito il corso di Istituzioni di Algebra superiore. Quando ho seguito io, ci fece qualche cenno il prof a lezione]
@clever: Per definizione $U$ è ortogonale se $UU^t=I$. Quindi per verificare se $U$ è ortogonale o no, calcoli $UU^t$. Se ottieni la matrice identica $I$, $U$ è ortogonale, altrimenti no.
Però si dimostra che $U$ è ortogonale se e solo se tutte le sue righe (o tutte le sue colonne) sono a due a due ortonormali.
Quindi il fatto che tu abbia verificato che due righe di $U$ non sono ortogonali fra loro ti dice che $U$ non è ortogonale.
Grazie mille a tutti! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo