Spazi topologici: esercizio
Sia X un insieme non vuoto, Y uno spazio topologico con topologia $\tau_Y$ e $f: X rarr Y$ una funzione.
a) Verificare che la famiglia di sottoinsiemi di X così definita è una topologia su X:
$\tau_f = {f^(-1) ( U) : U in \tau_Y}$
b) Consideriamo l'applicazione $f: RR^2 rarr RR$ così definita: $f(x,y)= x + y$.
Prendiamo su $RR$ la topologia discreta $D$. Sia $\tau_f$ la topologia indotta come definita in a).
- $\tau_f$ è confrontabile con la topologia euclidea $\epsilon^2$ su $RR^2$?
(Poi ci sarebbero altri punti, ma meglio cominciare da qui
)
a) Io l'ho verificato, però vorrei una conferma...
Dunque perchè $\tau_f$ sia topologia, devono appartenergli $X, \emptyset$ e unione arbitraria e intersezione di aperti.
Per $X, \emptyset$ non ci sono particolari problemi, per come è definita $tau_f$
Unione:
Devo verificare che $uuu (f^(-1) A_i) in \tau_f$ con $A_i in \tau_Y$
Per definizione di controimmagine
$uuu (f^(-1) (A_i)) = {x in X : f(x) in A_1}uu{x in X : f(x) in A_2}uu...uu{x in X : f(x) in A_n} = {x in X : f(x) in A_1 vv f(x) in A_2 vv ...vv f(x) in A_n} = { x in X : f(x) in uuuA_i}$ ma $uuuA_i in \tau_Y $ perchè $\tau_Y$ topologia,e cioè $uuuA_i è un aperto di Y, perciò la sua controimmagine è aperto in X.
Discorso analogo per l'intersezione.Ma non mi convince una cosa nella catena di uguaglianze: appunto il fatto che siano uguaglianze.
Non dovrebbero essere "contenimenti" al posto di uguaglianze?
Nel senso...non sono convinta al $100%$ del fatto che l'unione di controimmagini sia uguale alla controimmagine delle unioni...
b) Qua i problemi aumentano...
Dunque, se non ho capito male, $X= RR^2$, $Y=RR$ e gli spazi topologici sarebbero
$(RR^2, \tau_f)$ e $(RR, D)$.
Per capire se $(RR^2, \tau_f)$ è confrontabile con $(RR^2, \epsilon^2)$ (cioè se lo sono le due topologie) devo capire come sono fatti gli aperti di $\tau_f$ usando f, giusto?
Ma come faccio? E poi come faccio a sapere come sono fatti gli aperti della topologia euclidea in $RR^2$?
Help
Grazie in anticipo.
Ciao!
a) Verificare che la famiglia di sottoinsiemi di X così definita è una topologia su X:
$\tau_f = {f^(-1) ( U) : U in \tau_Y}$
b) Consideriamo l'applicazione $f: RR^2 rarr RR$ così definita: $f(x,y)= x + y$.
Prendiamo su $RR$ la topologia discreta $D$. Sia $\tau_f$ la topologia indotta come definita in a).
- $\tau_f$ è confrontabile con la topologia euclidea $\epsilon^2$ su $RR^2$?
(Poi ci sarebbero altri punti, ma meglio cominciare da qui
)a) Io l'ho verificato, però vorrei una conferma...
Dunque perchè $\tau_f$ sia topologia, devono appartenergli $X, \emptyset$ e unione arbitraria e intersezione di aperti.
Per $X, \emptyset$ non ci sono particolari problemi, per come è definita $tau_f$
Unione:
Devo verificare che $uuu (f^(-1) A_i) in \tau_f$ con $A_i in \tau_Y$
Per definizione di controimmagine
$uuu (f^(-1) (A_i)) = {x in X : f(x) in A_1}uu{x in X : f(x) in A_2}uu...uu{x in X : f(x) in A_n} = {x in X : f(x) in A_1 vv f(x) in A_2 vv ...vv f(x) in A_n} = { x in X : f(x) in uuuA_i}$ ma $uuuA_i in \tau_Y $ perchè $\tau_Y$ topologia,e cioè $uuuA_i è un aperto di Y, perciò la sua controimmagine è aperto in X.
Discorso analogo per l'intersezione.Ma non mi convince una cosa nella catena di uguaglianze: appunto il fatto che siano uguaglianze.
Non dovrebbero essere "contenimenti" al posto di uguaglianze?
Nel senso...non sono convinta al $100%$ del fatto che l'unione di controimmagini sia uguale alla controimmagine delle unioni...
b) Qua i problemi aumentano...
Dunque, se non ho capito male, $X= RR^2$, $Y=RR$ e gli spazi topologici sarebbero
$(RR^2, \tau_f)$ e $(RR, D)$.
Per capire se $(RR^2, \tau_f)$ è confrontabile con $(RR^2, \epsilon^2)$ (cioè se lo sono le due topologie) devo capire come sono fatti gli aperti di $\tau_f$ usando f, giusto?
Ma come faccio? E poi come faccio a sapere come sono fatti gli aperti della topologia euclidea in $RR^2$?
Help
Grazie in anticipo.
Ciao!
Risposte
Rettifico che una topologia [tex]$\tau$[/tex] su un insieme [tex]$S$[/tex] contiene sì l'insieme vuoto [tex]$\emptyset$[/tex] ed [tex]$S$[/tex] ma è stabile per intersezione finita ed unione (non solo finita) di parti di [tex]$S$[/tex].
Da quanto ho capito devi dimostrare preliminarmente che l'insieme anti-immagine di una unione d'insiemi mediante una funzione [tex]$f$[/tex] tra insiemi non vuoti [tex]$S$[/tex] e [tex]$T$[/tex] è l'unione delle anti-immagini: [tex]$f^{-1}(\cup_{i\in I}(A_i))=\cup_{i\in I}f^{-1}(A_i)$[/tex]; con gli [tex]$A_i$[/tex] sottoinsiemi di [tex]$T$[/tex]. Per far ciò devi utilizzare la tecnica della doppia inclusione insiemistica, ovvero:
sia [tex]$x\in f^{-1}(\cup_{i\in I}(A_i))\iff\exists y\in\cup_{i\in I}(A_i)\mid f(x)=y\Rightarrow\exists\overline i\in I\mid f(x)=y\in A_{\overline i}\iff x\in f^{-1}(A_{\overline i})\Rightarrow x\in \cup_{i\in I}f^{-1}(A_i)$[/tex] ciò dimostra che [tex]$f^{-1}(\cup_{i\in I}(A_i))\subseteq\cup_{i\in I}f^{-1}(A_i)$[/tex]; prova a dimostrare l'altra inclusione!
Analogo discorso per l'intersezione e per cronaca per la differenza insiemistica tra 2 insiemi.
Dopo aver fatto il punto primo potremmo discutere il secondo punto.
Da quanto ho capito devi dimostrare preliminarmente che l'insieme anti-immagine di una unione d'insiemi mediante una funzione [tex]$f$[/tex] tra insiemi non vuoti [tex]$S$[/tex] e [tex]$T$[/tex] è l'unione delle anti-immagini: [tex]$f^{-1}(\cup_{i\in I}(A_i))=\cup_{i\in I}f^{-1}(A_i)$[/tex]; con gli [tex]$A_i$[/tex] sottoinsiemi di [tex]$T$[/tex]. Per far ciò devi utilizzare la tecnica della doppia inclusione insiemistica, ovvero:
sia [tex]$x\in f^{-1}(\cup_{i\in I}(A_i))\iff\exists y\in\cup_{i\in I}(A_i)\mid f(x)=y\Rightarrow\exists\overline i\in I\mid f(x)=y\in A_{\overline i}\iff x\in f^{-1}(A_{\overline i})\Rightarrow x\in \cup_{i\in I}f^{-1}(A_i)$[/tex] ciò dimostra che [tex]$f^{-1}(\cup_{i\in I}(A_i))\subseteq\cup_{i\in I}f^{-1}(A_i)$[/tex]; prova a dimostrare l'altra inclusione!
Analogo discorso per l'intersezione e per cronaca per la differenza insiemistica tra 2 insiemi.
Dopo aver fatto il punto primo potremmo discutere il secondo punto.
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