Esercizio con topologia
Buongiorno a tutti.
Avrei bisogno (di nuovo) del vostro prezioso aiuto per alcuni esercizi di geometria su topologie.
TESTO
Si consideri l'insieme $X={1,2,3,4,5}$ e la famiglia di sottoinsiemi di $X$:
$\tau= {X,\emptyset,{1}, {3}, {1,3}, {1,4}, {1,3,4}, {1,3,4,5} }$
a) Dimostrare che $\tau$ è una topologia su X e che non è metrizzabile.
Sia $E={2,3}
b) E è aperto? Trovare la parte interna. E è chiuso? Trovare la sua chiusura.
c) E è connesso? E' compatto?
RISOLUZIONE
a) $X, \emptyset in \tau$ per come è definito $\tau$. Quanto a unione e intersezione di aperti, ho verificato che appartengono all'insieme, comunque scelti gli aperti (non sto qui a scrivere tutte le verifiche, ci metterei una vita...)
Ho poi dimostrato che $(X, \tau)$ non è di Hausdorff, quindi non è metrizzabile. Per farlo ho considerato i punti $3,4 in x$.
Come intorni aperti ho considerato invece ${1,3}, {1,4} in \tau$, che contengono rispettivamente l'uno e l'altro punto e hanno intersezione non vuota. Dunque non è vero che punti distinti hanno intorni aperti disgiunti, e lo spazio non è $T2$.
b) E non è aperto con $\tau$ (non è uno dei punti dell'insieme $\tau$ per come esso è definito).
La sua parte interna è ${3}$
Non è nemmeno chiuso perchè non posso scriverlo come differenza insiemistica tra $X$ e uno degli aperti di $\tau$.
La sua chiusura secondo me è $bar E = X - {1,4}= {2,3,5}$
(come va fin qui?)
c) Qui saltano fuori un po' di problemi...
Dunque, io devo capire se E è connesso o meno con $\tau$, giusto? Secondo la definizione un insieme è connesso se gli unici suoi sottoinsiemi sia aperti sia chiusi sono $E, \emptyset $.
Ma $E$ non è nè aperto nè chiuso (perlomeno, a me non sembra tale)...
Aiutino?
Grazie mille e buon pomeriggio
PS Mi sa che il simbolo che ho usato per indicare l'insieme vuoto non sia quello corretto...ma non l'ho trovato.
Sorry
Avrei bisogno (di nuovo) del vostro prezioso aiuto per alcuni esercizi di geometria su topologie.
TESTO
Si consideri l'insieme $X={1,2,3,4,5}$ e la famiglia di sottoinsiemi di $X$:
$\tau= {X,\emptyset,{1}, {3}, {1,3}, {1,4}, {1,3,4}, {1,3,4,5} }$
a) Dimostrare che $\tau$ è una topologia su X e che non è metrizzabile.
Sia $E={2,3}
b) E è aperto? Trovare la parte interna. E è chiuso? Trovare la sua chiusura.
c) E è connesso? E' compatto?
RISOLUZIONE
a) $X, \emptyset in \tau$ per come è definito $\tau$. Quanto a unione e intersezione di aperti, ho verificato che appartengono all'insieme, comunque scelti gli aperti (non sto qui a scrivere tutte le verifiche, ci metterei una vita...)
Ho poi dimostrato che $(X, \tau)$ non è di Hausdorff, quindi non è metrizzabile. Per farlo ho considerato i punti $3,4 in x$.
Come intorni aperti ho considerato invece ${1,3}, {1,4} in \tau$, che contengono rispettivamente l'uno e l'altro punto e hanno intersezione non vuota. Dunque non è vero che punti distinti hanno intorni aperti disgiunti, e lo spazio non è $T2$.
b) E non è aperto con $\tau$ (non è uno dei punti dell'insieme $\tau$ per come esso è definito).
La sua parte interna è ${3}$
Non è nemmeno chiuso perchè non posso scriverlo come differenza insiemistica tra $X$ e uno degli aperti di $\tau$.
La sua chiusura secondo me è $bar E = X - {1,4}= {2,3,5}$
(come va fin qui?)
c) Qui saltano fuori un po' di problemi...
Dunque, io devo capire se E è connesso o meno con $\tau$, giusto? Secondo la definizione un insieme è connesso se gli unici suoi sottoinsiemi sia aperti sia chiusi sono $E, \emptyset $.
Ma $E$ non è nè aperto nè chiuso (perlomeno, a me non sembra tale)...
Aiutino?
Grazie mille e buon pomeriggio
PS Mi sa che il simbolo che ho usato per indicare l'insieme vuoto non sia quello corretto...ma non l'ho trovato.
Sorry
Risposte
Ciao 
"lewis":Qualcosa non torna. Hai trovato due punti ed hai esibito due aperti disgiunti che li separano. Non puoi dedurre da qui che lo spazio non è T2, ti sembra? Per dimostrare che non è T2 quello che devi fare è trovare due punti che non puoi separare con aperti disgiunti.
Ho poi dimostrato che $(X, \tau)$ non è di Hausdorff, quindi non è metrizzabile. Per farlo ho considerato i punti $3,4 in x$.
Come intorni aperti ho considerato invece ${1,3}, {1,4} in \tau$, che contengono rispettivamente l'uno e l'altro punto e hanno intersezione non vuota. Dunque non è vero che punti distinti hanno intorni aperti disgiunti, e lo spazio non è T2.
(come va fin qui?)Bene, a parte la cosa che ti ho detto sopra.
c) Qui saltano fuori un po' di problemi...Per dire che E è connesso devi dimostrare che non puoi scrivere E come unione disgiunta di due aperti non vuoti (rispetto alla topologia di sottospazio).
Dunque, io devo capire se E è connesso o meno con $\tau$, giusto? Secondo la definizione un insieme è connesso se gli unici suoi sottoinsiemi sia aperti sia chiusi sono $E, \varphi$.
Per l'insieme vuoto il codice TeX è \emptyset
Essendo lo spazio topologico a sostegno finito è compatto così come tutti i suoi sottoinsieme poiché finiti anch'essi, quindi [tex]E[/tex] è compatto.
La topologia [tex]\tau_E[/tex] indotta da [tex]\tau[/tex] su [tex]E[/tex] è: [tex]\tau_E=\{E;\emptyset;\{3\}\}[/tex] ed è connesso secondo la tua definizione!
Non mi trovo
, per non essere uno spazio topologico T2 basta trovare 2 punti distinti non separabili alla Hausdorff ovvero che non abbiano intorni disgiunti! Lewis ha trovato [tex]1;4\in X[/tex] che non sono separabili alla Hausdorff per cui [tex](X;\tau)[/tex] non è T2!
Essendo lo spazio topologico a sostegno finito è compatto così come tutti i suoi sottoinsieme poiché finiti anch'essi, quindi [tex]E[/tex] è compatto.
La topologia [tex]\tau_E[/tex] indotta da [tex]\tau[/tex] su [tex]E[/tex] è: [tex]\tau_E=\{E;\emptyset;\{3\}\}[/tex] ed è connesso secondo la tua definizione!
"Martino":
Qualcosa non torna. Hai trovato due punti ed hai esibito due aperti disgiunti che li separano. Non puoi dedurre da qui che lo spazio non è T2, ti sembra? Per dimostrare che non è T2 quello che devi fare è trovare due punti che non puoi separare con aperti disgiunti.
Non mi trovo
, per non essere uno spazio topologico T2 basta trovare 2 punti distinti non separabili alla Hausdorff ovvero che non abbiano intorni disgiunti! Lewis ha trovato [tex]1;4\in X[/tex] che non sono separabili alla Hausdorff per cui [tex](X;\tau)[/tex] non è T2!
Ciao.
Innanzitutto grazie ad entrambi.
Io ho esibito due aperti non disgiunti: ${1,3}$ e ${1,4}$ hanno intersezione non vuota, ${1}$
Quanto alla connessione, vorrei capire entrambi i metodi che mi averte gentilmente proposto.
Vediamo se riesco a capire perchè...
A occhio...perchè se potessi scrivere E come unione disgiunta di due aperti ciascuno dei due sarebbe aperto per definizoone, e chiuso in quanto complementare di un aperto. Dunque avrei dei sottoinsiemi di E aperti e chiusi contemporaneamente, per cui E è sconnesso. Ho capito giusto?
Ok, in pratica io devo considerare la topologia indotta sul sottoinsieme, non sull'insieme...cosa che in effetti non avevo fatto.
Quindi, i sottoinsiemi non banali di E sono ${2}$ e ${3}$.
${2}$ è chiuso ma non è sicuramente aperto, e viceversa ${3}$ è solo aperto. Gli unici sottoinsiemi aperti e chiusi di E sono quelli banali, cioè [tex]\emptyset[/tex] (a proposito, grazue per il codice
) e l'intero E. Dunque, E è connesso.
Devo ragionare in questo modo?
Grazie mille ad entrambi.
Innanzitutto grazie ad entrambi.
"Martino":
Hai trovato due punti ed hai esibito due aperti disgiunti che li separano.
Io ho esibito due aperti non disgiunti: ${1,3}$ e ${1,4}$ hanno intersezione non vuota, ${1}$
Quanto alla connessione, vorrei capire entrambi i metodi che mi averte gentilmente proposto.
"Martino":
Per dire che E è connesso devi dimostrare che non puoi scrivere E come unione disgiunta di due aperti non vuoti (rispetto alla topologia di sottospazio)
Vediamo se riesco a capire perchè...
A occhio...perchè se potessi scrivere E come unione disgiunta di due aperti ciascuno dei due sarebbe aperto per definizoone, e chiuso in quanto complementare di un aperto. Dunque avrei dei sottoinsiemi di E aperti e chiusi contemporaneamente, per cui E è sconnesso. Ho capito giusto?
"j18eos":
La topologia [tex]\tau_E[/tex] indotta da [tex]\tau[/tex] su E è: [tex]\tau_E=\{E;\emptyset;\{3\}\}[/tex] ed è connesso secondo la tua definizione!
Ok, in pratica io devo considerare la topologia indotta sul sottoinsieme, non sull'insieme...cosa che in effetti non avevo fatto.
Quindi, i sottoinsiemi non banali di E sono ${2}$ e ${3}$.
${2}$ è chiuso ma non è sicuramente aperto, e viceversa ${3}$ è solo aperto. Gli unici sottoinsiemi aperti e chiusi di E sono quelli banali, cioè [tex]\emptyset[/tex] (a proposito, grazue per il codice
) e l'intero E. Dunque, E è connesso.Devo ragionare in questo modo?
Grazie mille ad entrambi.
"lewis":Io ho esibito due aperti non disgiunti: ${1,3}$ e ${1,4}$ hanno intersezione non vuota, ${1}$[/quote]Sì scusa, ma cosa mi è venuto in mente
[quote="Martino"]Hai trovato due punti ed hai esibito due aperti disgiunti che li separano.
Il fatto è che 3 e 4 sono separabili da aperti disgiunti, prendi per esempio {3} e {1,4}. Devi trovare due punti non separabili da aperti disgiunti.
Le altre cose che hai detto nell'ultimo intervento sono giuste.
Lewis ti ricordo che la compattezza e la connessione sono 2 concetti distinti e separati!
"j18eos":
Lewis ti ricordo che la compattezza e la connessione sono 2 concetti distinti e separati!
Sì, sì certo, ovviamente hai ragione. Era una svista, correggo subito
Chiedo scusa per l'imprecisione 
In effetti ho postato l'intero esercizio ma ho lasciato da parte un attimo la compattezza per ferrarmi sulla connessione.
@Martino
Per quanto riguarda il punto precedente: ci ho pensato, in effetti la negazione corretta è quella che proponi tu: esistono almeno due punti che hanno intorni disgiunti. L'esistenza in questione è di punti, non di intorni.
Quindi, per la scelta dei punti direi che uno dei due debba essere 5 (che compare in un unico aperto), e l'altro o 1 o 3 o 4.
Comunque si scelgano gli aperti contenenti, per esempio, 1, essi, intersecati con l'aperto contenente 5 da comunque interezione non vuota.
Ora va meglio?
Grazie per la pazienza
"lewis":Certo.
Ora va meglio?
Osserva che si poteva anche osservare che 2 non appartiene a nessun aperto proprio, quindi non può essere separato da nessun altro punto.
Lewis non era un richiamo ma una nota 
Per quanto riguarda l'esercizio si poteva fare anche prima notando che tale spazio topologico non è T1 in quanto l'unico punto costituente un chiuso è 2!
Per quanto riguarda l'esercizio si poteva fare anche prima notando che tale spazio topologico non è T1 in quanto l'unico punto costituente un chiuso è 2!
Ok grazie di nuovo.
Ecco, non mandatemi al diavolo...
L'ultimo punto dell'esercizio (non so perchè prima l'avevo bellamente ignorato) dice:
Sia ora $Y={a,b}$ con topologia $S={$ [tex]\emptyset[/tex]$, {a,b}, {a}}$.
Sia f l'applicazione $f:X rarr Y$ così definita:
$f(1) = f(3) = f(4) = f(5)= a$ e $f(2) = b$
Stabilire se $f: (X, \tau) rarr (Y, S)$ è continua.
Infine, sia $D$ la topologia discreta su Y. Stabilire se $f: (X, \tau) rarr (Y, D)$ è continua.
Io avevo pensato di usare la proposizione che dice che una funzione è continua se e solo se la controimmagine di aperti è aperta, ma non sono convinta che sia la strada giusta: 2, 4 e 5 non sono aperti di X, (e a voler ben vedere 4 e 5 non sono nemmeno chiusi...) quindi non me ne faccio granchè...
Suggerimenti?
Grazie, e buona giornata.
Ecco, non mandatemi al diavolo...
L'ultimo punto dell'esercizio (non so perchè prima l'avevo bellamente ignorato) dice:
Sia ora $Y={a,b}$ con topologia $S={$ [tex]\emptyset[/tex]$, {a,b}, {a}}$.
Sia f l'applicazione $f:X rarr Y$ così definita:
$f(1) = f(3) = f(4) = f(5)= a$ e $f(2) = b$
Stabilire se $f: (X, \tau) rarr (Y, S)$ è continua.
Infine, sia $D$ la topologia discreta su Y. Stabilire se $f: (X, \tau) rarr (Y, D)$ è continua.
Io avevo pensato di usare la proposizione che dice che una funzione è continua se e solo se la controimmagine di aperti è aperta, ma non sono convinta che sia la strada giusta: 2, 4 e 5 non sono aperti di X, (e a voler ben vedere 4 e 5 non sono nemmeno chiusi...) quindi non me ne faccio granchè...
Suggerimenti?
Grazie, e buona giornata.
"lewis":Non ho capito il ragionamento.
Io avevo pensato di usare la proposizione che dice che una funzione è continua se e solo se la controimmagine di aperti è aperta, ma non sono convinta che sia la strada giusta: 2, 4 e 5 non sono aperti di X, (e a voler ben vedere 4 e 5 non sono nemmeno chiusi...) quindi non me ne faccio granchè...
Dici bene, devi verificare che l'antiimmagine di ogni aperto di Y sia un aperto di X.
In Y ci sono tre aperti: l'insieme vuoto, {a} e {a,b}. Calcola le loro controimmagini.
Una volta calcolate le controimmagini, guarda se sono tutte aperte. In questo caso la funzione è continua, in caso contrario (cioè se almeno una controimmagine non è aperta) no.
Poi fai lo stesso con la topologia discreta su Y.
Ok, allora:
$f^(-1) (a) = {x in X : f(x) = a} = {1, 3, 4,5}$ e questo è un aperto di X
Poi, per quanto riguarda la controimmagine di [tex]\emptyset[/tex]dovrei valutare se esistono $x in X$ tali che $f(x)$ non esiste? Perciò la controimmagine sarebbe ancora [tex]\emptyset[/tex], che è ovviamente aperto di X.
Infine
$f^(-1) ({a,b}) = {x in X : f(x) = {a,b}) = {1, 3, 4, 5, 2}$ Questo insieme è X stesso, perciò è un aperto di X.
Quindi la funzione è continua.
E' giusto? Mi sembra strano...
Grazie per la millesima volta, mi state davvero aiutando molto.
$f^(-1) (a) = {x in X : f(x) = a} = {1, 3, 4,5}$ e questo è un aperto di X
Poi, per quanto riguarda la controimmagine di [tex]\emptyset[/tex]dovrei valutare se esistono $x in X$ tali che $f(x)$ non esiste? Perciò la controimmagine sarebbe ancora [tex]\emptyset[/tex], che è ovviamente aperto di X.
Infine
$f^(-1) ({a,b}) = {x in X : f(x) = {a,b}) = {1, 3, 4, 5, 2}$ Questo insieme è X stesso, perciò è un aperto di X.
Quindi la funzione è continua.
E' giusto? Mi sembra strano...
Grazie per la millesima volta, mi state davvero aiutando molto.
"lewis":Giusto. Non c'è niente di strano.
E' giusto? Mi sembra strano...
Ora prova a fare lo stesso quando su Y c'è la topologia discreta.
[mod="Alexp"]
@"lewis",
ti ho corretto nel primo post, tutti i $\varphi$ con $\emptyset$, altrimenti risultava poco chiaro.
Ciao
[/mod]
@"lewis",
ti ho corretto nel primo post, tutti i $\varphi$ con $\emptyset$, altrimenti risultava poco chiaro.
Ciao
[/mod]
@ Alexp
Scusa, hai ragione, avrei dovuto correggerli. Grazie.
Quanto all'esercizio:
La topologia discreta su Y è$D= P(Y)$ dove $P(Y)$ sta per l'insieme delle parti di Y.
Cioè:
$D= {{a}, {b}, {a,b}, \emptyset}$
Ora,
$f^(-1) ( a) = {1, 3, 4, 5}$ che, come visto prima è un aperto di $(X, \tau)$
$f^(-1) (b) = {x in X : f(x) = b} = {2}$ ma ${2}$ non è un aperto di $(X;\tau)$.
Quindi $f: (X, \tau) rarr (Y, D)$ non è continua.
Scusa, hai ragione, avrei dovuto correggerli. Grazie.
Quanto all'esercizio:
La topologia discreta su Y è$D= P(Y)$ dove $P(Y)$ sta per l'insieme delle parti di Y.
Cioè:
$D= {{a}, {b}, {a,b}, \emptyset}$
Ora,
$f^(-1) ( a) = {1, 3, 4, 5}$ che, come visto prima è un aperto di $(X, \tau)$
$f^(-1) (b) = {x in X : f(x) = b} = {2}$ ma ${2}$ non è un aperto di $(X;\tau)$.
Quindi $f: (X, \tau) rarr (Y, D)$ non è continua.
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