Base Ortogonale
Ciao a tutti,
devo sostenere un esame di Algebra Lineare e Geometria per Ingegneri Informatici e mi sono imbattutto in questo esercizio:
Determinare una base di $ RR ^3 $ ortogonale rispetto al prodotto scalare standard, che contiene il vettore $ v=(1,0,-1) $ .
Innanzitutto io ho individuato l'insieme
$ v^_|_ ={(x,y,z) in RR^3 |x-z=0} = (k,0,k) $
Quindi ho individuato un vettore appartenente a questo insieme, per esempio: $ v^_|_=(1,0,1) $ che risulta quindi ortogonale (come ho verificato facendo il prodotto scalare standard $ v xx v^_|_ = 1*1 + 0*0 + 1*(-1) = 0 $
Per però poter formare una base di $ RR^3 $ devo individuare un vettore che sia ortogonale sia a $ v $ che a $ v^_|_ $.
Definito $ w=(a,b,c) $, procedo con il sistema
$ { ( a-c=0 ),( a+c=0 ):};{ ( a=0 ),( c=0 ):} => w=(0,b,0) $
scelgo un valore arbitrario per $ b $ e ottengo quindi che una base ortogonale di $ RR^3 $ è $ B={(1,0,-1),(1,0,1),(0,1,0)} $
Mi chiedo dunque, il mio svolgimento è corretto? e poi, c'è un metodo di verifica che mi permetta di dire che $ B $ è realmente una base di $ RR^3 $?
Molte grazie in anticipo.
Andrea
devo sostenere un esame di Algebra Lineare e Geometria per Ingegneri Informatici e mi sono imbattutto in questo esercizio:
Determinare una base di $ RR ^3 $ ortogonale rispetto al prodotto scalare standard, che contiene il vettore $ v=(1,0,-1) $ .
Innanzitutto io ho individuato l'insieme
$ v^_|_ ={(x,y,z) in RR^3 |x-z=0} = (k,0,k) $
Quindi ho individuato un vettore appartenente a questo insieme, per esempio: $ v^_|_=(1,0,1) $ che risulta quindi ortogonale (come ho verificato facendo il prodotto scalare standard $ v xx v^_|_ = 1*1 + 0*0 + 1*(-1) = 0 $
Per però poter formare una base di $ RR^3 $ devo individuare un vettore che sia ortogonale sia a $ v $ che a $ v^_|_ $.
Definito $ w=(a,b,c) $, procedo con il sistema
$ { ( a-c=0 ),( a+c=0 ):};{ ( a=0 ),( c=0 ):} => w=(0,b,0) $
scelgo un valore arbitrario per $ b $ e ottengo quindi che una base ortogonale di $ RR^3 $ è $ B={(1,0,-1),(1,0,1),(0,1,0)} $
Mi chiedo dunque, il mio svolgimento è corretto? e poi, c'è un metodo di verifica che mi permetta di dire che $ B $ è realmente una base di $ RR^3 $?
Molte grazie in anticipo.
Andrea
Risposte
La base da te trovata è giusta.
Ti faccio però notare che hai sbagliato il calcolo di $v^\bot$.
Infatti, è vero che $v^\bot={(x,y,z)\in RR^3| x-z=0}$.
Ma questo insieme è formato da tutti e soli i vettori nella forma $(k,h,k)$ e pertanto una sua base è formata dai vettori $(1,0,1), (0,1,0)$.
Te ne dovevi accorgere anche perchè, se $n$ è la dimensione dello spazio, se $v$ è un vettore non nullo, $v^bot$ deve avere dimensione $n-1$.
Nel tuo caso ti dovevi aspettare che $v^\bot$ avesse dimensione $2$.
Per quanto riguarda questa domanda
Dati $n$ vettori, se essi sono e due a due ortogonali, allora sono linearmente indipendenti.
Quindi i tre vettori da te trovati, essendo a due a due ortogonali, sono linearmente indipendenti in $RR^3$, dunqe formano una base di $RR^3$.
Ti faccio però notare che hai sbagliato il calcolo di $v^\bot$.
Infatti, è vero che $v^\bot={(x,y,z)\in RR^3| x-z=0}$.
Ma questo insieme è formato da tutti e soli i vettori nella forma $(k,h,k)$ e pertanto una sua base è formata dai vettori $(1,0,1), (0,1,0)$.
Te ne dovevi accorgere anche perchè, se $n$ è la dimensione dello spazio, se $v$ è un vettore non nullo, $v^bot$ deve avere dimensione $n-1$.
Nel tuo caso ti dovevi aspettare che $v^\bot$ avesse dimensione $2$.
Per quanto riguarda questa domanda
"andredami90":
e poi, c'è un metodo di verifica che mi permetta di dire che $ B $ è realmente una base di $ RR^3 $?
Dati $n$ vettori, se essi sono e due a due ortogonali, allora sono linearmente indipendenti.
Quindi i tre vettori da te trovati, essendo a due a due ortogonali, sono linearmente indipendenti in $RR^3$, dunqe formano una base di $RR^3$.
Mille grazie!
Prego!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo