ALGEBRA - Lineare di X e sua dimensione

[ansioso]

Salve a tutti sono nuovo!
Sto preparando l'esame di algebra all'uni e mi ritrovo davanti un esercizio del tipo

"Nello spazio vettoriale R^3 fissa la base canonica B, siano dati i vettori u=(1,0,1) v=(1,1,0) w=(-1,2,0), sia X={u,v,w}
Trovare L(X) e la sua dimensione"

Dalla teoria la dimensione di uno spazio vettoriale è pari alla cardinalità di una sua base se V!={0} quindi in questo caso dim L(X)=3 xkè la base canonica (e1,e2,e3) ha tre elementi?
Il suo lineare da teoria leggo che è l'insieme dei vettori che possono esprimersi come combinaizone lineare di un numero finito di vettori di S... ovvero sarebbe??


grazie a tutti per l'attenzione

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

[mod="Martino"]Benvenuto nel forum.
Attenzione alla sezione. Sposto in algebra lineare.[/mod]

[ansioso]

Pensavo fosse quella giusta grazie...

[mistake89]

$L$ suppongo sia un'applicazione lineare. Com'è definita? Come opera?
Il tuo messaggio non è molto chiaro.

[dissonance]

Mistake, sicuramente con $L$ ansioso intende il sottospazio lineare generato da $X$.

[mistake89]

Hai ragione Dissonance, ho letto velocemente e non ci avevo proprio pensato, anche perché io utilizzo altra notazione.

Beh ansioso, sei uno spazio vettoriale reale di dimensione $3$, quindi un suo sottospazio può avere al più dimensione $3$, ed in tal caso coinciderà con $RR^3$. Poichè il nostro spazio $X$ è generato da 3 vettori io partirei col verificare se questi sono o no linearmente indipendenti. Se lo sono hai finito $L(X)=RR^3$.

Cosa invece non ti è chiaro degli spazi vettoriali?

[ansioso]

è un po in generale che ho confusione... praticamente in quell'esercizio R^3 è lo spazio vettoriale, X è il suo sottospazio e per calcolare L cosa si intende? Diciamo che ho studiato la teoria ma o xkè sono fuso o xkè non mi è chiaro qualcosa faccio confusione e nn riesco a capire gli esercizi...
In questo altro esempio correggetemi se sbaglio

"Nello spazio vettoriale R^3 fissa la base canonica B, siano dati i vettori u=(1,0,1) v=(1,1,0) sia X={u,v}
Trovare L(X) e la sua dimensione"

essendo u e v linearmente indipendenti sia ha che la dimensione del sottospazio X è 2!
Ma quando dice trovare L(X)...che cosa vuole?

[mistake89]

Se ho capito bene la notazione, dovrebbe essere lo spazio generato da X

X è un insieme. Quando consideri $ =L(X)$ consideri lo spazio generato da $X$, cioè il più piccolo sottospazio che contiene $X$, cioè, intuitivamente, il più piccolo spazio vettoriale nel quale puoi operare le combinazioni lineari dei vettori di $X$

[ansioso]

Ah ecco quindi col lineare di X si intende l'insieme dei vettori che generano lo spazio vettoriale (R^3) ?
Dunque se è così, la dim L(X), equivale alla cardinalità di X(# vettori di X), che risulterà essere un sistema indipendente massimale dello spazio vettoriale R^3?

E come risposta alle domande dell'esercizio sarà
Trovare L(X) con X={u,v} essendo u e v indipendenti
L(X)=L(u,v) giusto così o devo scrivere a cosa corrisponde?
e la dim L(X)=2

mentre Trovare L(X)=L(u,v,w)
L(X)=L(u,v,w) essendo u,v,w indipendenti
e la dim L(X)=3

All right?

[mistake89]

"ansioso":Ah ecco quindi col lineare di X si intende l'insieme dei vettori che generano lo spazio vettoriale (R^3) ?
Dunque se è così, la dim L(X), equivale alla cardinalità di X(# vettori di X), che risulterà essere un sistema indipendente massimale dello spazio vettoriale R^3?

Si intende lo spazio vettoriale generato da $X$. In questo caso poichè $X$ ha 3 vettori, se essi sono linearmente indipendenti $ = RR^3$, ma in generale lo spazio generato da $X$ avrà dimensione pari alla cardinalità di una sua base
Non è vero infatti che dim$L(X)$ è pari al numero dei vettori che lo generano. Pensa a questo esempio: sia [tex]$X=\{(1,0),(2,0),(3,0)\}[/tex]; allora [tex]$ = <(1,0),(2,0),(3,0)> .[/tex]

Qual è una base di $L(X)$? Ti pare che possa mai avere dimensione 3 (ciò pari al numero di vettori di $X$)?

E come risposta alle domande dell'esercizio sarà
Trovare L(X) con X={u,v} essendo u e v indipendenti
L(X)=L(u,v) giusto così o devo scrivere a cosa corrisponde?
e la dim L(X)=2

mentre Trovare L(X)=L(u,v,w)
L(X)=L(u,v,w) essendo u,v,w indipendenti
e la dim L(X)=3

All right?

Ecco questo è giusto. Ma perchè in più hai lineare indipendenza che ti assicura che quei vettori sono "indispensabili"

[ansioso]

Si intende lo spazio vettoriale generato da X. In questo caso poichè X ha 3 vettori, se essi sono linearmente indipendenti =ℝ3, ma in generale lo spazio generato da X avrà dimensione pari alla cardinalità di una sua base Wink
Non è vero infatti che dimL(X) è pari al numero dei vettori che lo generano. Pensa a questo esempio: sia $X=\{(1,0),(2,0),(3,0)\}; allora $ = <(1,0),(2,0),(3,0)> .

in questo caso il vettore (3,0) è dipendente, in quanto è pari alla somma dei primi e due!Quindi il L(X) dovrebbe corrispondere a L((1,0),(2,0)) e la sua dimensione è 2 giusto?

anzi no anche il vettore 2 è dipendente essendo il doppio del primo (1,0) quindi ha dimensione 1 e L(X)=L((1,0))...
ha sensato ricorrere al calcolo del rango per determinare la dimensione?

[mistake89]

Esatto. Ha dimensione 1, quello spazio sarebbe [tex]$\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | y=0 \}[/tex], quindi una sua base è proprio $(1,0)$. Sì il rango di un insieme è esattamente il massimo numero di vettori linearmente indipendenti quindi direi proprio che ha senso

[ansioso]

Ah vedi che bello quando c'è qualcuno che ti aiuta e ti chiarisce i concetti?? Non come quella grandissima Zoooooa della prof, che è un anno che chiedo di ricevermi ma ha sempre altro da fare e settimana scorsa dopo che glielo ho richiesto mi dice "Eh io non ci sono vado in vacanza,torno prima dell'esame! Ma avete avuto un anno per venire a ricevimento e chiarire i vostri dubbi" -.-

Cmq mistake89 GRAZIE davvero ^_^

Ne approfitto per chiarire altri concetti...

Sia V uno spazio vettoriale di dim n

Sia S[v1,v2,vn] un sistema di generatori di V di dim n!
Una base di S è data da B=[e1,e2,en]

Sia S'[v1,v2,vn,vm] con m>n; Essendo di cardinalità m>n tale sistema sicuramente non sarà un sistema di generatori di V, infatti risulterà che vm è dipendente dal resto di S'...
Una base di S' è data da B'=[e1,e2,en]

Sia S''[v1,v2,vb] con b Una base di S'' è data da B''=[e1,e2,eb]
Al massimo S'' si può definire come sistema indipendente massimale per S, ovvero S=[S'',vn]!

Quindi è corretto dire che ogni sistema di generatori, corrisponde a una base?(Si, solo se tale sistema è indipendente e di cardinalità pari alla dimensione dello spazio vettoriale che genera)
Può esistere un sistema di generatori di V che sia composto anche da vettori dipendenti? No

Queste sono alcune convinzioni che ho in testa... sono corrette o se le spiego alla prof mi boccia all'esame? XD

[mistake89]

"ansioso":Ah vedi che bello quando c'è qualcuno che ti aiuta e ti chiarisce i concetti?? Non come quella grandissima Zoooooa della prof, che è un anno che chiedo di ricevermi ma ha sempre altro da fare e settimana scorsa dopo che glielo ho richiesto mi dice "Eh io non ci sono vado in vacanza,torno prima dell'esame! Ma avete avuto un anno per venire a ricevimento e chiarire i vostri dubbi" -.-

Cmq mistake89 GRAZIE davvero ^_^

Son contento di esserti stato utile, però io non posso sostituire la tua professoressa, primo perchè non ne ho le competenze e secondo perchè alla fine è il suo ruolo

Anyway

Ne approfitto per chiarire altri concetti...

Sia V uno spazio vettoriale di dim n

Sia S[v1,v2,vn] un sistema di generatori di V di dim n!
Una base di S è data da B=[e1,e2,en]

Credo che tu non abbia ben distinti i concetti di sistema di generatori e di base di uno spazio vettoriale, che puoi trovare descritta bene qui.

Una base è un "particolare" sistema di generatori, ovvero il più piccolo che tu possa trovare che contenga il massimo numero di vettori linearmente indipendenti. Se hai uno spazio $S$ generato da $n$ vettori linearmente indipendenti $v_1,...,v_n$ questi sono anche una base e di conseguenza la dimensione di $S$ sarà $n$.

Sia S'[v1,v2,vn,vm] con m>n; Essendo di cardinalità m>n tale sistema sicuramente non sarà un sistema di generatori di V, infatti risulterà che vm è dipendente dal resto di S'...
Una base di S' è data da B'=[e1,e2,en]

Ecco qui quello che dicevo sopra. Se hai che $S'$ è generato da $m$ vettori, i generatori saranno ovviamente gli $m$ vettori. Poi, essendo $m>n$ sicuramente quella non sarà una base, che sarà invece data dagli $r$ con $1<=r<=n$ vettori linearmente indipendenti. Questi ultimi formeranno una base di $S'$ che avrà pertanto dimensione $r$.
Non è detto a priori che $r=n$. Prendi l'esempio che ti avevo fatto qualche post a dietro. Lì $X$ era generato da $3$ vettori, in uno spazio di dimensione 2, quindi sicuramente $dimX<=2$. Abbiamo poi provato che la sua dimensione era $1$. Quindi non è detto che $m>n$ allora automaticamente la sua dimensione deve essere $n$. Non so se son stato chiaro.

Sia S''[v1,v2,vb] con b Una base di S'' è data da B''=[e1,e2,eb]
Al massimo S'' si può definire come sistema indipendente massimale per S, ovvero S=[S'',vn]!

Anche qui vale la cosa cui sopra. L'unica cosa in più che puoi dire è che sicuramente $S'' ne V$ in quanto la dimensione può essere al più $b$. Ma nulla ci assicura che sia proprio $b$. Anche qui bisogna estrarre dai $b$ vettori quelli che sono linearmente indipendenti per determinare la reale dimensione di $S''$, ovvero la cardinalità di una sua base.
Una volta determinata la dimensione di $S''$ puoi completarlo ad una base di $V$, per ottenere uno spazio di dimensione $n$, cioè pari alla dimensione di $V$, ma questo è un altro discorso che magari facciamo in un secondo momento quando tutto ti è più chiaro.

Quindi è corretto dire che ogni sistema di generatori, corrisponde a una base?(Si, solo se tale sistema è indipendente e di cardinalità pari alla dimensione dello spazio vettoriale che genera)

No, è falso. Il sistema di generatori è una cosa e la base un'altra. Vero che possono coincidere, ma questo se e solo se gli $n$ generatori sono linearmente
indipendenti.

Può esistere un sistema di generatori di V che sia composto anche da vettori dipendenti? No

Certo che sì, invece. Fai riferimento al mio esempio con $X$. Lì avevamo addirittura tutti i generatori linearmente indipendenti. Sicuramente però quella non rappresenta una base per $$.

Queste sono alcune convinzioni che ho in testa... sono corrette o se le spiego alla prof mi boccia all'esame? XD

Ti consiglio di rivedere un pò la nozione di spazio vettoriale generato da un insieme e di base, perchè fai un pò di confusione e in bocca al lupo per i tuoi studi

[ansioso]

è un mese e mezzo ke c sto sopra e mi viene lo sconforto...

mi rivedo un po di cose...grazie del link credo sia utile leggere in altri termini le stesse cose (anche xkè sul libro non è molto chiaro)

[ansioso]

vediamo se adesso le cose mi sono più chiare...

Un sistema di generatori di V, S=[v1...vn] è un insieme di vettori che generano lo spazio vettoriale tramite combinazione lineare degli elementi v per n scalari non tutti nulli!
Ciò significa che può esserci nel sistema S, il vettore v3=2v1! Anche se dipendente da v1, questo vettore v3 genera una base di V!Non è essenziale alla generazione dello spazio vettoriale, xkè se v5=2v3 si può scrivere v5=4v1
Nel caso in cui il sistema di generatori è indipendente minimale, (ovvero è composto dal numero minimo di vettori che consentono di generare tutto V) esso può esser base di V!

Una base è sempre composta da vettori indipendenti, quindi se dato un sistema di generatori di V, per trovare una base di V, correggetemi se sbaglio, attraverso il rango posso determinare i vettori indipendenti e la loro cardinalità!
Quindi
se S è composto da n vettori indipendenti allora ok può esser composto da vettori che formano una base con dimensione n
se S è composto da m>n vettori, è possibile estrarre una base attraverso l'individuazione di vettori indipendenti tramite rango
se S è composto da b

Ovviamente un sottospazio U di V, può avere una base di cardinalità <= alla cardinalità di V
E ogni base di V ha gli stessi elementi... cioè non può esistere una base di V con dim!=n (visto che stavo parlando di V dim n)

mistake89 ho detto meno fesserie questa volta?

[mistake89]

"ansioso":vediamo se adesso le cose mi sono più chiare...

Un sistema di generatori di V, S=[v1...vn] è un insieme di vettori che generano lo spazio vettoriale tramite combinazione lineare degli elementi v per n scalari non tutti nulli!
Ciò significa che può esserci nel sistema S, il vettore v3=2v1! Anche se dipendente da v1, questo vettore v3 genera una base di V!Non è essenziale alla generazione dello spazio vettoriale, xkè se v5=2v3 si può scrivere v5=4v1
Nel caso in cui il sistema di generatori è indipendente minimale, (ovvero è composto dal numero minimo di vettori che consentono di generare tutto V) esso può esser base di V!

Questa parte è molto confusa. Non riesco a capire se hai le idee giuste ma le esprimi male oppure hai ancora un pò di confusione.

Una base è sempre composta da vettori indipendenti, quindi se dato un sistema di generatori di V, per trovare una base di V, correggetemi se sbaglio, attraverso il rango posso determinare i vettori indipendenti e la loro cardinalità!

Attento a come ti esprimi. Se hai un insieme di generatori, da essi puoi estrarre una base, che corrisponderà al massimo numero di vettori tra questi linearmente indipendenti. Puoi calcolare il rango, o altre tecniche, ma il concetto è quello: scartare (se ci sono) i vettori linearmente dipendenti tra i generatori ed avrai avanti a te una base.

Quindi
se S è composto da n vettori indipendenti allora ok può esser composto da vettori che formano una base con dimensione n

se S è generato da $n$ vettori indipendenti allora dimS=n. (perciò questi n vettori formano una base!)

se S è composto da m>n vettori, è possibile estrarre una base attraverso l'individuazione di vettori indipendenti tramite rango

Sì, ma sai che sicuramente ve ne sono di dipendenti (in quanto m>n).

se S è composto da b
Ma questa nozione non è essenziale per ciò di cui stavamo parlando.
Se hai $b$ vettori che generano lo spazio $S$, avrai che $dimS<=b$, dove l'uguaglianza vale quando i $b$ vettori sono linearmente indipendenti. Fine.
Poi il teorema citato ti dice che puoi trovare $n-s$, ove $s=dimS$ vettori di $V$ che completati ad $S$ ci diano una base di $V$, ma ripeto non è essenziale al discorso della dimensione.

Ovviamente un sottospazio U di V, può avere una base di cardinalità <= alla cardinalità di V
E ogni base di V ha gli stessi elementi... cioè non può esistere una base di V con dim!=n (visto che stavo parlando di V dim n)

mistake89 ho detto meno fesserie questa volta?

Un sottospazio di uno spazio $V$ deve avere dimensione minore uguale a quella di $V$, altrimenti si avrebbe che $U$ contiene più vettori linearmente indipendenti di quanti ne contiene $V$, il che è ovviamente assurdo.
L'altra cosa invece è vera,ed è chiamato teorema della dimensione di uno spazio vettoriale, afferma che la dimensione di una sua base non dipende dalla particolare base scelta!

[ansioso]

capito... si sono io che mi esprimo male...è una cosa che mi caratterizza molto e che mi fa prendere brutti voti durante gli esami...

A...
A ri grazie ^_^

altri dubbi e perplessità li posterò in altri tred anche se questo è bello e infangato! XD

[mistake89]

Mi fa piacere che tu abbia capito.
Buono studio e alla prossima