Stabilire se f è diagonalizzabile

[sapie1]

salve..ho bisogno di un aiutino. Allora vorrei sapere se questo esercizio è fatto bene. Io l'ho svolto però mi trovo che la molteplicita geometrica =0 ma è possibile? adesso vi scrivo la matrice A= $ ( ( 0 , 1 , 0 , 0 ),( -1 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ) ) $

probabilmente ho sbagliato il determinante del polinomio caratteristico, ma l'ho fatto tante volte e mi trovo sempre allo stesso modo..
per favore qualcuno mi può aiutare?
GRAZIE

[mistake89]

Cos'è la molteplicità geometrica di un autovalore? Se sai rispondere a questa domanda vien da sè che non può essere uguale a $0$

Posta il polinomio caratteristico e vediamo un pò insieme

[sapie1]

la molteplicità geometrica è la dimensione dell autospazio, giusto??

|Pa(t)|= $ (-1-t)((-t)(2-t)(-1-t) -1-t)=(-1-t)((-2t+t^2)(-1-t)-1-t))=(-1-t)(2t-(t^2)+(2t^2)-(t^3)-1-t)=(-1-t)((-t^3)+(t^2)+t-1)=(-1-t)((-t^2)+1)(t-1)=((t+1)^2)((t-1)^2 $



dove ho sbagliato??

[mistake89]

A me viene diverso (sempre che i conti siano giusti, e poi non riesco bene a capire il tuo polinomio ).

Sviluppando lungo la prima colonna ottengo [tex]$-\lambda(2-\lambda)[(-1-\lambda)^2-1]+[(-1-\lambda)^2-1)]=(\lambda^2-2\lambda)(\lambda^2+2\lambda)+(\lambda^2+2\lambda)=(\lambda^2+2\lambda)(\lambda-1)^2=0[/tex]
Da cui l'unico autovalore doppio, da dover verificare è [tex]\lambda=1[/tex]

Verifica e calcoli e controlla cosa succede per quell'autovalore

[sapie1]

"mistake89":A me viene diverso (sempre che i conti siano giusti, e poi non riesco bene a capire il tuo polinomio ).

Sviluppando lungo la prima colonna ottengo [tex]$-\lambda(2-\lambda)[(-1-\lambda)^2-1]+[(-1-\lambda)^2-1)]=(\lambda^2-2\lambda)(\lambda^2+2\lambda)+(\lambda^2+2\lambda)=(\lambda^2+2\lambda)(\lambda-1)^2=0[/tex]
Da cui l'unico autovalore doppio, da dover verificare è [tex]\lambda=1[/tex]

Verifica e calcoli e controlla cosa succede per quell'autovalore

aspetta non ho capito, per come hai fatto tu gli autovalori sono 3, giusto? [tex]t=0 t=-2 t=1[/tex] e le rispettive ma sono ma(0)=1 ma(-2)=1 ma(1)=2
e poi mi calcolo i gli autospazi con i relativa autovalori per vedere la mg...

un altra cosa, forse ho sbagliato a calcolarmi il determinante.. ma tu hai usato laplace sulla primo elemento della prima colanna e poi eliminando la prima righa e la prima colonna ti sei calcolato il det del minore di ordine 3???

[mistake89]

Sì e poi considerato $-1$ sulla seconda riga, prima colonna cambiato di segno...

Ora devi calcolare solamente la molteplicità geometrica dell'autovalore doppio. Se essa è $2$ puoi concludere che la matrice (o equivalentemente l'endomorfismo ad essa associato) è diagonalizzabile

[sapie1]

aaaa okok.. ho capito il mio errore è stato nel determinante avevo solo calcolato il minore e basta per questo non mi trovavo ...
ho sempre sbagliato a calcolarlo
grazie mille

e comunque con t=1 la ma=mg quindi l' endomorfismo è diagonalizzabile...


grazie ancora !

[mistake89]

Non vorrei sbagliare, ma se consideriamo [tex]$\lambda=1[/tex] e lo sostituiamo nella matrice, otteniamo:
[tex]\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\-1&1&0&0\\0&0&-2&1\\0&0&1&-2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}=0[/tex] si ha:

[tex]$\begin{cases} x=y \\ -2z+t=0 \\ z=2t \end{cases}[/tex] da cui [tex]$\begin{cases} x=y \\ t=0 \\ z=0 \end{cases}[/tex]. Quindi [tex]V_{\lambda_1}=\langle (1,1,0,0) \rangle[/tex]. Quindi a me pare che non sia diagonalizzabile. Controlla i miei calcoli però

[sapie1]

è vero la mg=1 poichè il rag=3 oddio oggi non ci sto con la testa...
ancora grazie