Spazio topologico localmente connesso
Non mi dilungo molto sulle parti che mi sono chiare, vorrei solo un parere sulla locale connessione.
Detta [tex]\mathcal{A}_n[/tex] la topologia natruale su [tex]\mathbb{R}[/tex], sia [tex]\mathcal{A}:=\{A \cap \mathbb{R}_+\ |\ A \in \mathcal{A}_n \} \cup \{\mathbb{R}\}[/tex]. Ho provato che questa è una topologia su [tex]\mathbb{R}[/tex] e vorrei provare che lo spazio [tex](\mathbb{R},\mathcal{A})[/tex] è localmente connesso (ho già dimostrato che è connesso). Fisso dunque [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] e provo che tale punto ha un sistema fondamentale di intorni connessi. Se [tex]x \in \mathbb{R}_-^*[/tex] l'unico intorno di [tex]x[/tex] è tutto [tex]\mathbb{R}[/tex], in quanto gli aperti diversi da tutto lo spazio devono essere contenuti in [tex]\mathbb{R}_+[/tex], quindi [tex]\{\mathbb{R}\}[/tex] è un sistema fondamentale di intorni connessi (lo spazio è connesso). Se [tex]x \in \mathbb{R}_+[/tex], provo che un sistema fondamentale di intorni connessi è dato da [tex]\{]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\ \cap\ \mathbb{R}_+\}_{\varepsilon > 0}[/tex]. Ho provato che è un sistema fondamentale di intorni. Provo che [tex]\forall \varepsilon >0:\ ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\ \cap\ \mathbb{R}_+[/tex] è connesso. Ho cercato di cavarmela in questo modo: la topologia di sottospazio indotta su questi intorni è la seguente:[tex]\{A\ \cap\ ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\ \cap\ \mathbb{R}_+\ |\ A \in \mathcal{A}\}=[/tex][tex]= \{A\ \cap \mathbb{R}_+\ \cap\ ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\ \cap\ \mathbb{R}_+\ |\ A \in \mathcal{A}_n\}\cup\{\mathbb{R}\ \cap\ ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\ \cap\ \mathbb{R}_+\}=[/tex][tex]\{A\ \cap\ ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\ \cap\ \mathbb{R}_+\ |\ A \in \mathcal{A}_n\}[/tex], cioè è la topologia di sottospazio indotta dalla topologia naturale. Ora, se [tex]x-\varepsilon \leq 0[/tex], si ha che [tex]]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\ \cap\ \mathbb{R}_+ = [0,x+\varepsilon[[/tex], che è connesso come sottospazio di [tex](\mathbb{R},\mathcal{A}_n)[/tex]; se [tex]x-\varepsilon > 0[/tex], si ha che [tex]]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\ \cap\ \mathbb{R}_+ = ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[[/tex], che è ancora connesso come sottospazio di [tex](\mathbb{R},\mathcal{A}_n)[/tex].
E' OK?
Detta [tex]\mathcal{A}_n[/tex] la topologia natruale su [tex]\mathbb{R}[/tex], sia [tex]\mathcal{A}:=\{A \cap \mathbb{R}_+\ |\ A \in \mathcal{A}_n \} \cup \{\mathbb{R}\}[/tex]. Ho provato che questa è una topologia su [tex]\mathbb{R}[/tex] e vorrei provare che lo spazio [tex](\mathbb{R},\mathcal{A})[/tex] è localmente connesso (ho già dimostrato che è connesso). Fisso dunque [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] e provo che tale punto ha un sistema fondamentale di intorni connessi. Se [tex]x \in \mathbb{R}_-^*[/tex] l'unico intorno di [tex]x[/tex] è tutto [tex]\mathbb{R}[/tex], in quanto gli aperti diversi da tutto lo spazio devono essere contenuti in [tex]\mathbb{R}_+[/tex], quindi [tex]\{\mathbb{R}\}[/tex] è un sistema fondamentale di intorni connessi (lo spazio è connesso). Se [tex]x \in \mathbb{R}_+[/tex], provo che un sistema fondamentale di intorni connessi è dato da [tex]\{]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\ \cap\ \mathbb{R}_+\}_{\varepsilon > 0}[/tex]. Ho provato che è un sistema fondamentale di intorni. Provo che [tex]\forall \varepsilon >0:\ ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\ \cap\ \mathbb{R}_+[/tex] è connesso. Ho cercato di cavarmela in questo modo: la topologia di sottospazio indotta su questi intorni è la seguente:[tex]\{A\ \cap\ ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\ \cap\ \mathbb{R}_+\ |\ A \in \mathcal{A}\}=[/tex][tex]= \{A\ \cap \mathbb{R}_+\ \cap\ ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\ \cap\ \mathbb{R}_+\ |\ A \in \mathcal{A}_n\}\cup\{\mathbb{R}\ \cap\ ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\ \cap\ \mathbb{R}_+\}=[/tex][tex]\{A\ \cap\ ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\ \cap\ \mathbb{R}_+\ |\ A \in \mathcal{A}_n\}[/tex], cioè è la topologia di sottospazio indotta dalla topologia naturale. Ora, se [tex]x-\varepsilon \leq 0[/tex], si ha che [tex]]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\ \cap\ \mathbb{R}_+ = [0,x+\varepsilon[[/tex], che è connesso come sottospazio di [tex](\mathbb{R},\mathcal{A}_n)[/tex]; se [tex]x-\varepsilon > 0[/tex], si ha che [tex]]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\ \cap\ \mathbb{R}_+ = ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[[/tex], che è ancora connesso come sottospazio di [tex](\mathbb{R},\mathcal{A}_n)[/tex].
E' OK?
Risposte
Sei stata ripetitiva nel calcolo ma mi trovo con te!
In breve, per [tex]$\varepsilon$[/tex] piccolo (in particolare per ogni [tex]$\varepsilon \in ]0,x[$[/tex]) si ha [tex]$]x-\varepsilon, x+\varepsilon[ \subseteq \mathbb{R}^+$[/tex] ed, essendo [tex]$]x-\varepsilon, x+\varepsilon[ \in \mathcal{A}_n$[/tex], si ha [tex]$]x-\varepsilon, x+\varepsilon[ =]x-\varepsilon, x+\varepsilon[ \cap \mathbb{R}^+ \in \mathcal{A}$[/tex]; quindi la famiglia [tex]$\{ ]x-\varepsilon, x+\varepsilon[ \}_{\varepsilon \in ]0,x[}$[/tex] è un sistema fondamentale d'intorni connessi di [tex]$x$[/tex].
P.S.: Gli intorni [tex]$]x-\varepsilon, x+\varepsilon[$[/tex] sono connessi anche in [tex]$\mathcal{A}$[/tex], giacché essi sono connessi in [tex]$\mathcal{A}_n$[/tex] ed [tex]$\mathcal{A}$[/tex] è meno fine di [tex]$\mathcal{A}_n$[/tex].
P.S.: Gli intorni [tex]$]x-\varepsilon, x+\varepsilon[$[/tex] sono connessi anche in [tex]$\mathcal{A}$[/tex], giacché essi sono connessi in [tex]$\mathcal{A}_n$[/tex] ed [tex]$\mathcal{A}$[/tex] è meno fine di [tex]$\mathcal{A}_n$[/tex].
"gugo82":
[tex]$\mathcal{A}$[/tex] è meno fine di [tex]$\mathcal{A}_n$[/tex].
Le due topologie non sono confrontabili. Ad esempio [tex][0,1[[/tex] è un aperto di [tex](\mathbb{R},\mathcal{A})[/tex] ma non è un aperto di [tex](\mathbb{R},\mathcal{A}_n)[/tex], mentre [tex]]-1,0[[/tex] è un aperto di [tex](\mathbb{R},\mathcal{A}_n)[/tex] ma non di [tex](\mathbb{R},\mathcal{A})[/tex] (gli aperti di [tex](\mathbb{R},\mathcal{A})[/tex] devono necessariamente essere contenuti in [tex]\mathbb{R}_+[/tex]). Forse intendi che la topologia indotta da [tex]\mathcal{A}[/tex] su [tex]\mathbb{R}_+[/tex] è meno fine di quella indotta da [tex]\mathcal{A}_n[/tex] su [tex]\mathbb{R}_+[/tex]? Però la tua discussione esclude lo 0, per me [tex]\mathbb{R}_+=[0,\rightarrow[[/tex] (avrei dovuto specificarlo all'inizio). In quel caso un sistema fondamentale di intorni connessi è [tex]\{[0,\varepsilon[\}_{\varepsilon>0}[/tex].
"j18eos":
Sei stata ripetitiva nel calcolo ma mi trovo con te!
Cosa ti fa pensare che sia donna?
Vabbè... Ho commesso un errore di valutazione (si vede che non faccio esercizietti del genere da un po' 
).
Anche se la via era sbagliata, l'idea che avevo in mente era quella di sfruttare la connessione degli [tex]$]x-\varepsilon ,x+\varepsilon[$[/tex] in [tex]$\mathcal{A}_n$[/tex] per provare che essi sono connessi anche in [tex]$\mathcal{A}$[/tex].
Mettila così: la topologia indotta da [tex]$\mathcal{A}$[/tex] su [tex]$\mathbb{R}^+$[/tex] è proprio quella naturale, quindi ogni connesso di [tex]$(\mathbb{R}, \mathcal{A}_n)$[/tex] che sia contenuto in [tex]$\mathbb{R}^+$[/tex] è connesso anche in [tex]$(\mathbb{R} ,\mathcal{A})$[/tex]; in particolare sono connessi tutti gli [tex]$]x-\varepsilon ,x+\varepsilon[$[/tex] con [tex]$\varepsilon$[/tex] abbastanza piccolo. Che dici, funziona?
).Anche se la via era sbagliata, l'idea che avevo in mente era quella di sfruttare la connessione degli [tex]$]x-\varepsilon ,x+\varepsilon[$[/tex] in [tex]$\mathcal{A}_n$[/tex] per provare che essi sono connessi anche in [tex]$\mathcal{A}$[/tex].
Mettila così: la topologia indotta da [tex]$\mathcal{A}$[/tex] su [tex]$\mathbb{R}^+$[/tex] è proprio quella naturale, quindi ogni connesso di [tex]$(\mathbb{R}, \mathcal{A}_n)$[/tex] che sia contenuto in [tex]$\mathbb{R}^+$[/tex] è connesso anche in [tex]$(\mathbb{R} ,\mathcal{A})$[/tex]; in particolare sono connessi tutti gli [tex]$]x-\varepsilon ,x+\varepsilon[$[/tex] con [tex]$\varepsilon$[/tex] abbastanza piccolo. Che dici, funziona?
"gugo82":
ogni connesso di [tex]$(\mathbb{R}, \mathcal{A}_n)$[/tex] che sia contenuto in [tex]$\mathbb{R}^+$[/tex] è connesso anche in [tex]$(\mathbb{R} ,\mathcal{A})$[/tex]
Essì, praticamente è quello che ho scritto io, solo che io ho fatto una discussione lunghissima che potevo evitare effettivamente
Grazie!
Lo stile me l'ha fatto pensare 
poi non sò.
poi non sò.
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