Problema con un esercizio di applicazione lineare f(x,y,z)
salve, mi presento essendo il primo post sul forum, mi chiamo Alessandro e sono studente alla facoltà di Ingegneria di Ferrara. ho un problema con un esercizio su un'applicazione lineare e cercando nel forum non sono riuscito a trovare una risposta chiara. L'esercizio è proposto in questa maniera:
sia $ f:R^3 -> R^3$ la funzione lineare tale che:
$f(1,0,0)=(0,2,1); f(1,1,0)=(-2,-2,4); f(0,0,1)=(-1,-3,0)$
devo calcolare $f(x,y,z)$ inoltre calcolare Nf (il nucleo ma questo so farlo) e determinare se la funzione è suriettiva (e questo non riesco proprio).
ringrazio in anticipo per le risposte, saluti.
sia $ f:R^3 -> R^3$ la funzione lineare tale che:
$f(1,0,0)=(0,2,1); f(1,1,0)=(-2,-2,4); f(0,0,1)=(-1,-3,0)$
devo calcolare $f(x,y,z)$ inoltre calcolare Nf (il nucleo ma questo so farlo) e determinare se la funzione è suriettiva (e questo non riesco proprio).
ringrazio in anticipo per le risposte, saluti.
Risposte
Cosa non ti è chiaro? Forse determinare l'espressione della $f$?
Inoltre poichè se $f$ è ingettiva ( e lo puoi verificare calcolando il nucleo) allora $f$ sarà surgettiva (perchè?!)
Inoltre poichè se $f$ è ingettiva ( e lo puoi verificare calcolando il nucleo) allora $f$ sarà surgettiva (perchè?!)
si è l'espressione di $f$ che non mi è chiara da determinare. Si ma se invece non è iniettiva come determino se è suriettiva?
In questo caso te la puoi cavare facilmente nel determinare l'espressione della tua $f$, osservando che $f(e_2)=f(1,1,0)-f(1,0,0)=(-2,-4,3)$
Perchè ho fatto questo? Perchè in questo modo possiamo scrivere la matrice associata all'applicazione $f$ rispetto alle basi canoniche. Sai farlo?
Essa sarà $((0,-2,-1),(2,-4,3),(1,3,0))$. Da cui ricaviamo facilmente l'espressione della nostra $f$, cioè $f(x,y,z)=(-2y-z,2x-4y-3z,x+3y)$.
Se vuoi puoi verificare che sia quella cercata, determinando proprio $f(1,1,0)=(-2,-2,4)$ che è esattamente come nella consegna
Quanto all'altro quesito conosci la relazione $dimV=dimKerf+dimImf$, se sì puoi rispondere da solo alla tua domanda! Poichè lavoriamo in $RR^3$, se la dimensione del $kerf ne 0$ allora per forza la nostra $f$ non può essere surgettiva!
Perchè ho fatto questo? Perchè in questo modo possiamo scrivere la matrice associata all'applicazione $f$ rispetto alle basi canoniche. Sai farlo?
Essa sarà $((0,-2,-1),(2,-4,3),(1,3,0))$. Da cui ricaviamo facilmente l'espressione della nostra $f$, cioè $f(x,y,z)=(-2y-z,2x-4y-3z,x+3y)$.
Se vuoi puoi verificare che sia quella cercata, determinando proprio $f(1,1,0)=(-2,-2,4)$ che è esattamente come nella consegna
Quanto all'altro quesito conosci la relazione $dimV=dimKerf+dimImf$, se sì puoi rispondere da solo alla tua domanda! Poichè lavoriamo in $RR^3$, se la dimensione del $kerf ne 0$ allora per forza la nostra $f$ non può essere surgettiva!
ok tutto chiaro, se mi scrivi anche come si ricava la matrice associata così per avere un metodo chiaro te ne sono grato! grazie
Considera una base di $n$ vettori ed un'applicazione lineare $f$ da $V$ ad $U$ spazi vettoriali di dimensione $n$ ed $m$ rispettivamente.
Se consideri $f(v_i)$ questo sarà un vettore di $U$ che pertanto avrà diritto a componenti $a_1,...,a_m$ rispetto alla base di $U$.
Allora la $j$-esima colonna della matrice sarà data dalle componenti di $f(e_j)$ rispetto ad $U$.
Detta in maniera più pratica si tratta di mettere in colonna le componenti delle immagini dei vettori di $V$ rispetto alla base di $U$
Se consideri $f(v_i)$ questo sarà un vettore di $U$ che pertanto avrà diritto a componenti $a_1,...,a_m$ rispetto alla base di $U$.
Allora la $j$-esima colonna della matrice sarà data dalle componenti di $f(e_j)$ rispetto ad $U$.
Detta in maniera più pratica si tratta di mettere in colonna le componenti delle immagini dei vettori di $V$ rispetto alla base di $U$
ok perfetto capito grazie!! edit controllando ora ho trovato un metodo fatto a lezione (fossi ordinato sarebbe stato tutto più semplice...) e mi viene fuori un risultato diverso: $f(x,y,z)=(-2y-z,2x-3z,x+3y)$ che risulta comunque valida per tutti e 3 i vettori dati come testo... comunque almeno ho capito 
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