Spazi topologici quozientati per azioni di un gruppo
Ho un esercizio interessante, al quale sono riuscito solo a dare una risposta banale.
Dati due spazi topologici non omeomorfi $X$ e $Y$, trovare un gruppo che agisce su questi tale che $X/G$ sia omeomorfo a $Y/G$
La mia proposta era:
Considero come $X$ il toro immerso in $RR^3$ e come $Y$ considero$S^2$ (sempre immerso in $RR^3$)
E come $G$ considero il gruppo delle trasformazioni affini in $RR^3$, quindi quando quoziento lo spazio per questo gruppo identifico tutti i punti (fissati due punti in $RR^3$ c'è sempre un'applicazione affine che sposta l'uno nell'altro), quindi $X/G$ e $Y/G$ sono omeomorfi ad un punto in $RR^3$
Qualora qualcosa non fosse chiaro:
il concetto di azione spero sia più o meno lo stesso per tutti.
Quando dico: "quoziento lo spazio topologico per il gruppo" considero la relazione di equivalenza $x \sim y$ se $x=g(y)$ con $g \in G$
e quoziento lo spazio per questa relazione di equivalenza
La soluzione proposta (ammesso che non ci sia qualche errore) mi sembra troppo minimale e cercavo qualcos'altro.
Soero qualcuno abbia qualche idea migliore.
Dati due spazi topologici non omeomorfi $X$ e $Y$, trovare un gruppo che agisce su questi tale che $X/G$ sia omeomorfo a $Y/G$
La mia proposta era:
Considero come $X$ il toro immerso in $RR^3$ e come $Y$ considero$S^2$ (sempre immerso in $RR^3$)
E come $G$ considero il gruppo delle trasformazioni affini in $RR^3$, quindi quando quoziento lo spazio per questo gruppo identifico tutti i punti (fissati due punti in $RR^3$ c'è sempre un'applicazione affine che sposta l'uno nell'altro), quindi $X/G$ e $Y/G$ sono omeomorfi ad un punto in $RR^3$
Qualora qualcosa non fosse chiaro:
il concetto di azione spero sia più o meno lo stesso per tutti.
Quando dico: "quoziento lo spazio topologico per il gruppo" considero la relazione di equivalenza $x \sim y$ se $x=g(y)$ con $g \in G$
e quoziento lo spazio per questa relazione di equivalenza
La soluzione proposta (ammesso che non ci sia qualche errore) mi sembra troppo minimale e cercavo qualcos'altro.
Soero qualcuno abbia qualche idea migliore.
Risposte
Ma non mi pare che vada bene. Tu hai preso un caso particolare, e anche su questo io avrei dei dubbi: il gruppo delle trasformazioni affini di $RR^3$ agisce sul toro? Il gruppo delle trasformazioni affini di $RR^2$ agisce sulla circonferenza? Non credo proprio.
Come idea flash, con zero garanzia di successo, io prenderei lo spazio topologico prodotto $X \times Y$ e il relativo gruppo degli omeomorfismi. Vedi un po' se ne cavi qualcosa.
Come idea flash, con zero garanzia di successo, io prenderei lo spazio topologico prodotto $X \times Y$ e il relativo gruppo degli omeomorfismi. Vedi un po' se ne cavi qualcosa.
In quanto non esperto di topologia, provo anche io a postare un'idea flash che potrebbe anche essere sbagliata!
Prendiamo $X=R^n$ e $Y=R^m$ con $n!=m$ in questo modo, per il teorema dell'invarianza del dominio, siamo sicuri che non esiste omeomorfismo tra $X$ e $Y$.
Ora se consideriamo dei sottoinsiemi di $X$ e di $Y$, rispettivamente $A=R^(n-1)$ e $B=R^(m-1)$ , e li "collassiamo" allo zero, per esempio identificandoli con l'origine mediante la relazione di equivalenza $a \sim 0$ se e solo se $a$ è elemento di $A$ , e $b \sim 0$ se e solo se $b$ è elemento di $B$, dovremmo ottenere due spazi quoziente $X/A$ e $Y/B$ omeomorfi ad $R$.
Prendiamo $X=R^n$ e $Y=R^m$ con $n!=m$ in questo modo, per il teorema dell'invarianza del dominio, siamo sicuri che non esiste omeomorfismo tra $X$ e $Y$.
Ora se consideriamo dei sottoinsiemi di $X$ e di $Y$, rispettivamente $A=R^(n-1)$ e $B=R^(m-1)$ , e li "collassiamo" allo zero, per esempio identificandoli con l'origine mediante la relazione di equivalenza $a \sim 0$ se e solo se $a$ è elemento di $A$ , e $b \sim 0$ se e solo se $b$ è elemento di $B$, dovremmo ottenere due spazi quoziente $X/A$ e $Y/B$ omeomorfi ad $R$.
"dissonance":
Ma non mi pare che vada bene. Tu hai preso un caso particolare, e anche su questo io avrei dei dubbi: il gruppo delle trasformazioni affini di $RR^3$ agisce sul toro? Il gruppo delle trasformazioni affini di $RR^2$ agisce sulla circonferenza? Non credo proprio.
Scusa ma $S^2$ non è la circonferenza ma la sfera, quindi siamo in $RR^3$
Però hai ragione sul fatto che la trasformazioni affini non agiscono sul toro, effettivamente deve esserci una sorta di chiusura, cioè
se $G$ agisce su $X$, allora per ogni $g \in G$ deve valere $g(x) \in X$ e in questo caso ovviamente non vale.
Per alexp...il problema chiede l'azione di un gruppo non una relazione di equivalenza, altrimenti sarebbe bastata le relazione di equivalenza banale, identifico tutti i punti ed è fatta...
Sempre per dissonance, l'esercizio è del Kosnioski e si trova nel capitolo precedenre agli spazi prodotto, quindi probabilmente lo si
fa senza spazi prodotto...
Oggi pomeriggio mi ci rimetto un po su e posto la soluzione (se la trovo)
"angus89":
Per alexp...il problema chiede l'azione di un gruppo non una relazione di equivalenza
Si hai ragione, avevo perso di vista quel piccolo particolare
"angus89":Ok. Ma la sostanza non cambia.
Scusa ma $S^2$ non è la circonferenza ma la sfera, quindi siamo in $RR^3$
Sempre per dissonance, l'esercizio è del Kosnioski e si trova nel capitolo precedenre agli spazi prodotto, quindi probabilmente lo siSai cos'è, non è chiaro il testo. Tu devi trovare un esempio, come mi pare vedendo gli svolgimenti tuo e di Alex, o devi dimostrare che comunque si prendano due spazi topologici $X, Y$ esiste un gruppo $G$ tale che $X/G ~= Y/G$? E' molto diverso. Se devi solo trovare un esempio io farei un discorso totalmente banale: prendi come spazio $X$ la circonferenza $S^1$ e come spazio $Y$ un punto, ${y}$. Come gruppo topologico $G$ prendi le rotazioni piane che agiscono in modo standard su $S^1$, e definisci una azione banale su $Y$: $gy=y$ per ogni rotazione $g$. Entrambi i quozienti sono ridotti ad un punto e quindi sono omeomorfi.
fa senza spazi prodotto...
Oggi pomeriggio mi ci rimetto un po su e posto la soluzione (se la trovo)
Nono...basta trovare un esempio, non è da dimostrare in generale.
Quello che hai fatto mi sembra buono ma non mi torna una cosa...
Le rotazioni come agirebbero sul punto?
Cioè lo sposterebbero, quindi il gruppo non agisce.
Però aggiungendo qualcosa (che sicuramente hai dato per scontato) in modo formale
Prendiamo $RR^2$ e i sottospazi $S^1$ (la circonferenza unitaria) e come punto scegliamo un punto privilegiato,
l'origine ${(0,0)}$, a questo punto le rotazioni (centrate nell'origine) sono un gruppo e agiscono sia sulla circonferenza
che sull'origine. E poi segue quanto hai già detto tu.
Gia che ci siamo si poteva fare anche in un modo banalissimo, mi è appena venuto in mente
(mai avrei pensato funzionasse sul serio)
consideriamo
$X={a,b}$ e come topologia prendiamo la famiglia $F={{a,b},{a},{}}$
$Y={a,b}$ e come topologia prendiamo la famiglia $F'$ delle parti di $X$
NB: ${}$ è l'insieme vuoto, non ho trovato come fare il pallino barrato
chiaramente i due spazi non sono omeomerfi (ad esempio il secondo ha più aperi del primo)
ok, ora consideriamo $ZZ_2$ che agisce su questi due spazi con l'azione
$1*a=a$
$1*b=b$
$-1*a=b$
$-1*b=a$
A mano si verifica che è un'azione.
Bene, quozientando otteniamo lo spazio con solo un punto.
Premetto che l'esempio di dissonance andava comunque benissimo e con quella domanda
ha aperto nella mia mente un intessante interrogativo: dati due spazi topologici non omeomorfi
esiste sempre un gruppo che agisce su questi, tale che gli spazi quozientati per questo gruppo siano omeomorfi?
Io direi di no.
Basti pensare allo spazio topologico con solo un punto, basterebbe trovare uno spazio che
non ha gruppi che agendo possono ridurlo ad un punto.
chissà...ma fermiamoci qui per ora.
Grazie a tutti
Quello che hai fatto mi sembra buono ma non mi torna una cosa...
Le rotazioni come agirebbero sul punto?
Cioè lo sposterebbero, quindi il gruppo non agisce.
Però aggiungendo qualcosa (che sicuramente hai dato per scontato) in modo formale
Prendiamo $RR^2$ e i sottospazi $S^1$ (la circonferenza unitaria) e come punto scegliamo un punto privilegiato,
l'origine ${(0,0)}$, a questo punto le rotazioni (centrate nell'origine) sono un gruppo e agiscono sia sulla circonferenza
che sull'origine. E poi segue quanto hai già detto tu.
Gia che ci siamo si poteva fare anche in un modo banalissimo, mi è appena venuto in mente
(mai avrei pensato funzionasse sul serio)
consideriamo
$X={a,b}$ e come topologia prendiamo la famiglia $F={{a,b},{a},{}}$
$Y={a,b}$ e come topologia prendiamo la famiglia $F'$ delle parti di $X$
NB: ${}$ è l'insieme vuoto, non ho trovato come fare il pallino barrato
chiaramente i due spazi non sono omeomerfi (ad esempio il secondo ha più aperi del primo)
ok, ora consideriamo $ZZ_2$ che agisce su questi due spazi con l'azione
$1*a=a$
$1*b=b$
$-1*a=b$
$-1*b=a$
A mano si verifica che è un'azione.
Bene, quozientando otteniamo lo spazio con solo un punto.
Premetto che l'esempio di dissonance andava comunque benissimo e con quella domanda
ha aperto nella mia mente un intessante interrogativo: dati due spazi topologici non omeomorfi
esiste sempre un gruppo che agisce su questi, tale che gli spazi quozientati per questo gruppo siano omeomorfi?
Io direi di no.
Basti pensare allo spazio topologico con solo un punto, basterebbe trovare uno spazio che
non ha gruppi che agendo possono ridurlo ad un punto.
chissà...ma fermiamoci qui per ora.
Grazie a tutti
Le rotazioni come agirebbero sul punto?Leggi bene il mio messaggio, ho definito l'azione di $G$ sullo spazio ${y}$: dichiaro che una rotazione applicata ad $y$ lascia $y$ fissato. E' immediato verificare che questo definisce una azione di gruppo. Una azione banale, ma sempre una azione è.
Cioè lo sposterebbero, quindi il gruppo non agisce.
si scusa...avevo capito male
ancora grazie
ancora grazie
"angus89":
ok, ora consideriamo $ZZ_2$ che agisce su questi due spazi con l'azione
$1*a=a$
$1*b=b$
$-1*a=b$
$-1*b=a$
A mano si verifica che è un'azione.
Come si fa?
"angus89":
Bene, quozientando otteniamo lo spazio con solo un punto.
Anche qui non mi è chiaro il perchè, mi aiutate?
Non è difficile
Allora premetto la definizione
Azione di un gruppo su un insieme
Sia $G$ un gruppo e $X$ un insieme non vuoto.
$G$ agisce su $X$ se esiste una mappa
$G$ $x$ $X->X$
$(g,x) ->g*x $
tale che
-Per ogni $x \in X$ vale $1*x=x$
-Per ogni $g,h \in G$ e per ogni $x \in X$ vale $g*(h*x)=(gh)*x$
NB: $1 \in G$ è l'elemento neutro del gruppo
Bene, a questo punto la prima condizione, nell'esempio che ho fatto, vale poichè l'ho imposta, la seconda si verifica
subito, se non riesci a capirla posto il conto esplicito.
Il fatto che tutto sia omeomorfo ad un punto è subito fatto dalla definizione stessa di quoziente per un gruppo.
$x \sim y$ se esiste $g \in G$ tale che $x=g*y$
Anche qui essendo $a=-1*b$ si ha che $a \sim b$, quindi sono solo un punto...
Allora premetto la definizione
Azione di un gruppo su un insieme
Sia $G$ un gruppo e $X$ un insieme non vuoto.
$G$ agisce su $X$ se esiste una mappa
$G$ $x$ $X->X$
$(g,x) ->g*x $
tale che
-Per ogni $x \in X$ vale $1*x=x$
-Per ogni $g,h \in G$ e per ogni $x \in X$ vale $g*(h*x)=(gh)*x$
NB: $1 \in G$ è l'elemento neutro del gruppo
Bene, a questo punto la prima condizione, nell'esempio che ho fatto, vale poichè l'ho imposta, la seconda si verifica
subito, se non riesci a capirla posto il conto esplicito.
Il fatto che tutto sia omeomorfo ad un punto è subito fatto dalla definizione stessa di quoziente per un gruppo.
$x \sim y$ se esiste $g \in G$ tale che $x=g*y$
Anche qui essendo $a=-1*b$ si ha che $a \sim b$, quindi sono solo un punto...
Grazie per la risposta
saresti gentilissimo
"angus89":
se non riesci a capirla posto il conto esplicito.
saresti gentilissimo
ok, allora il passaggio esplicito è:
dobbiamo verificare solo la seconda condizione, ovvero
$g*(h*x)=gh*x$ per ogni $g,h \in G$ e per ogni $x \in X$
Quindi nel nostro caso
$-1*(-1*a)$ deve esser uguale a $((-1)(-1))*a$
e infatti
$-1*(-1*a)=-1*b=a$
mentre
$(-1)(-1)*a=1*a=a$
(ovviamente in $ZZ_2$ vale $(-1)(-1)=1$)
Idem per
$-1*(-1*b)$ deve esser uguale a $((-1)(-1))*b$
ripeti gli stessi passaggi con $b$ al posto di $a$
poi l'altra verifica
$1*(-1*a)$ deve esser uguale a $((1)(-1))*a$
e allo stesso modo
$1*(-1*a)=1*b=b$
mentre
$((1)(-1))*a=-1*a=b$
e quindi simmetricamente sostituenda $b$, ripetendo gli stessi passaggi
$1*(-1*b)$ deve esser uguale a $((1)(-1))*b$
Dall'abelianità di $ZZ_2$, abbiamo concluso, quindi quella definita è un'azione.
dobbiamo verificare solo la seconda condizione, ovvero
$g*(h*x)=gh*x$ per ogni $g,h \in G$ e per ogni $x \in X$
Quindi nel nostro caso
$-1*(-1*a)$ deve esser uguale a $((-1)(-1))*a$
e infatti
$-1*(-1*a)=-1*b=a$
mentre
$(-1)(-1)*a=1*a=a$
(ovviamente in $ZZ_2$ vale $(-1)(-1)=1$)
Idem per
$-1*(-1*b)$ deve esser uguale a $((-1)(-1))*b$
ripeti gli stessi passaggi con $b$ al posto di $a$
poi l'altra verifica
$1*(-1*a)$ deve esser uguale a $((1)(-1))*a$
e allo stesso modo
$1*(-1*a)=1*b=b$
mentre
$((1)(-1))*a=-1*a=b$
e quindi simmetricamente sostituenda $b$, ripetendo gli stessi passaggi
$1*(-1*b)$ deve esser uguale a $((1)(-1))*b$
Dall'abelianità di $ZZ_2$, abbiamo concluso, quindi quella definita è un'azione.
Perdona la mia igniranza 
ma che cosa rappresenta $Z_2$? io so che $Z$ sono i numeri interi relativi.
Un'altra cosa, nell'esempio, dissonance prende come gruppo quello delle rotazioni piane e lo fa agire sulla circonferenza unitaria $S1$, ma come agisce tale gruppo? perchè quozientando si ottiene un punto?
ma che cosa rappresenta $Z_2$? io so che $Z$ sono i numeri interi relativi.
Un'altra cosa, nell'esempio, dissonance prende come gruppo quello delle rotazioni piane e lo fa agire sulla circonferenza unitaria $S1$, ma come agisce tale gruppo? perchè quozientando si ottiene un punto?
Potrei anche spiegartelo, e se vuoi lo faccio anche, ma sai cos'è un gruppo?
Hai studiato qualcosa di teoria dei gruppi?
Sai cosa sono le congruenze tra numeri interi?
Sai cosa vuol dire quozientare uno spazio topologico per un gruppo?
L'azione di un gruppo te l'ho descritta prima, quindi tornando a dissonance, le rotazioni agiscono sullo spazio
$RR^2$ nel modo ovvio, se $f_\alpha$ è la rotazione di un algolo alpha, $f_\alpha((x,y))$ è il punto $(x,y)$
ruotato di un angolo $\alpha$.
Per essere concreti, hai presente la rappresentazione in coordinate polari?
il punto possiamo descriverlo con $(r,\theta)$ dove $r$ è la distanza dall'origine e $\theta$ è l'angolo formato
con l'asse delle $x$.
Quindi $f_\alpha((r,\theta))=(r,\alpha + \theta)$
E quindi l'azione è esattamente quella.
E' chiaro che un punto sulla circonferenza unitaria viene mandato nella circonferenza unitaria...
Quindi per capire perchè viene un punto...sai cosa vuol dire quozientare uno spzio topologico per un gruppo?
Queste domande te le faccio solo per capire cosa posso dare per scontato e ciò che no...
Hai studiato qualcosa di teoria dei gruppi?
Sai cosa sono le congruenze tra numeri interi?
Sai cosa vuol dire quozientare uno spazio topologico per un gruppo?
L'azione di un gruppo te l'ho descritta prima, quindi tornando a dissonance, le rotazioni agiscono sullo spazio
$RR^2$ nel modo ovvio, se $f_\alpha$ è la rotazione di un algolo alpha, $f_\alpha((x,y))$ è il punto $(x,y)$
ruotato di un angolo $\alpha$.
Per essere concreti, hai presente la rappresentazione in coordinate polari?
il punto possiamo descriverlo con $(r,\theta)$ dove $r$ è la distanza dall'origine e $\theta$ è l'angolo formato
con l'asse delle $x$.
Quindi $f_\alpha((r,\theta))=(r,\alpha + \theta)$
E quindi l'azione è esattamente quella.
E' chiaro che un punto sulla circonferenza unitaria viene mandato nella circonferenza unitaria...
Quindi per capire perchè viene un punto...sai cosa vuol dire quozientare uno spzio topologico per un gruppo?
Queste domande te le faccio solo per capire cosa posso dare per scontato e ciò che no...
Più o meno so cosa vuole dire quozientare, dovrebbe essere un incollamento di punti. con la congruenza di fanno coincidere due punti e poi lo spazio quozientato sarebbe il risultato che si ottiene facendo agire la congruenza sullo spazio originario. è così?
Cos'è $Z_2$?
Cos'è $Z_2$?
@tinam: NO. Non solo questo, questa è solo una interpretazione intuitiva di uno dei tanti significati dell'espressione "passare al quoziente" (spesso abbreviata in "quozientare" evidentemente gergale). Segui il filo di angus che ti sta presentando le definizioni in veste formale.
evidentemente gergale). Segui il filo di angus che ti sta presentando le definizioni in veste formale.
@tinam73: [tex]$\mathbb{Z}_2$[/tex] è l'insieme quoziente di [tex]$\mathbb{Z}$[/tex]rispetto alla congruenza seguente [tex]$a\equiv b(mod\,2)\iff\exists k\in\mathbb{Z}\mid a-b=2k$[/tex]
Scusate l'intromissione, ma dopo 2 sue richieste di essere spiegato cosa sia [tex]$\mathbb{Z}_2$[/tex] sono intervenuto per coscienza!
Scusate l'intromissione, ma dopo 2 sue richieste di essere spiegato cosa sia [tex]$\mathbb{Z}_2$[/tex] sono intervenuto per coscienza!
Si può dire più in generale che quozientare significa prendere in considerazione nell'insieme solo le relazioni di equivalenza?
del tipo se ho un insieme $A$ ed una relazione di equivalenza $R$, allora quozientare, in simboli $A/R$, significa considerare $A$ solo composta dagli elementi implicati nella relazione di equivalenza?
del tipo se ho un insieme $A$ ed una relazione di equivalenza $R$, allora quozientare, in simboli $A/R$, significa considerare $A$ solo composta dagli elementi implicati nella relazione di equivalenza?
"Quozientare" significa dividere: mi segui? D'altra parte, che cos'è il quoziente (alle elementari)? E' il risultato dell'operazione di divisione. E' così anche qui: quozientare significa dividere qualcosa (un insieme, uno spazio vettoriale, uno spazio topologico etc) in alcune parti. Già ma come? Semplice: dai una relazione di equivalenza e "metti insieme" gli elementi che sono in relazione.
Ti faccio un esempio semplicissimo, fuori dal contesto matematico per farti capire: prendi l'insieme dei ragazzi di una scuola e dai la relazione $"tizio"rho"caio" iff "tizio e caio sono nella stessa classe"$. Si prova facilmente che è una relazione di equivalenza. Com'è fatto l'insieme quoziente? Praticamente hai diviso tutti i ragazzi della scuola, mettendo insieme quelli che sono in relazione tra loro. Dunque, l'insieme quoziente è l'insieme delle classi di quella scuola.
Un po' più chiaro? Scusate l'intromissione.
Ti faccio un esempio semplicissimo, fuori dal contesto matematico per farti capire: prendi l'insieme dei ragazzi di una scuola e dai la relazione $"tizio"rho"caio" iff "tizio e caio sono nella stessa classe"$. Si prova facilmente che è una relazione di equivalenza. Com'è fatto l'insieme quoziente? Praticamente hai diviso tutti i ragazzi della scuola, mettendo insieme quelli che sono in relazione tra loro. Dunque, l'insieme quoziente è l'insieme delle classi di quella scuola.
Un po' più chiaro? Scusate l'intromissione.
Cerco di fare un post riassuntivo, potrei indirizzarti a dispense varie, ma sarebbe poco costruttivo, ti invito comunque a leggere i primi capitoli di qualsiasi libro di algebra.
Gruppo
Dato un insieme $G$ dotato di un'operazione $*$, diremo che $(G,*)$ è un gruppo se
- $g*h \in G$ per ogni scelta di $g,h \in G$ (chiusura rispetto all'operazione)
- esiste $1 \in G$ detto elemento neutro tale che $g*1=1*g=g$
- per ogni elemento $g \in G$ esiste un elemento $h \in G$ detto inverso tale che $g*h=h*g=1$
In genere denotiano $h=g^(-1)$
Esempi:
$(ZZ,+)$ è un gruppo
$(ZZ,*)$ dove $*$ è l'usuale prodotto, non è un gruppo (perchè?)
Quoziente sui gruppi
A questo punto passiamo al primo esempio di quoziente.
Piuttosto che dare una definizione formale passo direttamente al concreto.
Consideriamo la seguente relazione di equivalenza
Fissato un $n \in N$
$a \sim b$ se $a=b+kn$ per qualche $k \in ZZ$
Una relazione di equivalenza ripartisce l'insieme in sottoinsiemi disgiunti.
denotiano con $[a]={b \in ZZ , b \sim a}$
e quindi chiamiamo $ZZ/(nZZ)$ come l'insieme che contiene le classi di equivalenza appena definite.
Quindi $ZZ/(nZZ)$ è in realtà una famiglia...
Più brevemente denotiamo $ZZ_n=ZZ/(nZZ)$
a questo punto per esercizio, posto $[a]+=[a+b]$, dimostra che $ZZ_n$ è un gruppo con questa operazione.
NB: quoziente sui gruppi...ancora non ho parlato di spazi topologici...
Potrei definire formalmente cosa vuol dire quozientare un gruppo, ma è una cosa abbastanza complicata e superflua in questo caso.
Questo è effettivamente un post di algebra, ma già che ci siamo...
Quozientare uno spazio topologico per un gruppo è tutta un'altra storia.
Se ti è chiaro quello che ho scritto qui vado avanti, dimmi tu.
Gruppo
Dato un insieme $G$ dotato di un'operazione $*$, diremo che $(G,*)$ è un gruppo se
- $g*h \in G$ per ogni scelta di $g,h \in G$ (chiusura rispetto all'operazione)
- esiste $1 \in G$ detto elemento neutro tale che $g*1=1*g=g$
- per ogni elemento $g \in G$ esiste un elemento $h \in G$ detto inverso tale che $g*h=h*g=1$
In genere denotiano $h=g^(-1)$
Esempi:
$(ZZ,+)$ è un gruppo
$(ZZ,*)$ dove $*$ è l'usuale prodotto, non è un gruppo (perchè?)
Quoziente sui gruppi
A questo punto passiamo al primo esempio di quoziente.
Piuttosto che dare una definizione formale passo direttamente al concreto.
Consideriamo la seguente relazione di equivalenza
Fissato un $n \in N$
$a \sim b$ se $a=b+kn$ per qualche $k \in ZZ$
Una relazione di equivalenza ripartisce l'insieme in sottoinsiemi disgiunti.
denotiano con $[a]={b \in ZZ , b \sim a}$
e quindi chiamiamo $ZZ/(nZZ)$ come l'insieme che contiene le classi di equivalenza appena definite.
Quindi $ZZ/(nZZ)$ è in realtà una famiglia...
Più brevemente denotiamo $ZZ_n=ZZ/(nZZ)$
a questo punto per esercizio, posto $[a]+=[a+b]$, dimostra che $ZZ_n$ è un gruppo con questa operazione.
NB: quoziente sui gruppi...ancora non ho parlato di spazi topologici...
Potrei definire formalmente cosa vuol dire quozientare un gruppo, ma è una cosa abbastanza complicata e superflua in questo caso.
Questo è effettivamente un post di algebra, ma già che ci siamo...
Quozientare uno spazio topologico per un gruppo è tutta un'altra storia.
Se ti è chiaro quello che ho scritto qui vado avanti, dimmi tu.
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