Domande filtro:traccia, sistema compatibile, base

[16chicca90]

ricorro al vostro aiuto per cercare di capire se ho risposto bene a queste tre domande filtro;
1)è sempre vero che $tr(AB)=tr(A)tr(B)?
secondo me:no non è sempre vero e possiamo dimostrarlo con un esempio
A=$((1,1),(2,1))$

e B=$((3,2),(6,3))$

la matrice AB=$((9,5),(18,10))$

la $tr(AB)=19$
la $tr(A)=3$
la $tr(B)=9$

quindi $tr(AB)!=tr(A)tr(B)$

[thedarkhero]

Infatti, $tr(A+B)=tr(A)+tr(B)!=tr(AB)$.

[Zkeggia]

Però è sempre vero che $tr(AB)=tr(BA)$

[dissonance]

"DAIANA":ricorro al vostro aiuto per cercare di capire se ho risposto bene a queste tre domande filtro;
1)è sempre vero che $tr(AB)=tr(A)tr(B)?
secondo me:no non è sempre vero e possiamo dimostrarlo con un esempio
A=$((1,1),(2,1))$

e B=$((3,2),(6,3))$

la matrice AB=$((9,5),(18,10))$

la $tr(AB)=19$
la $tr(A)=3$
la $tr(B)=9$

quindi $tr(AB)!=tr(A)tr(B)$

E' giusto. Potevi pure fare un esempio più facile! Prendi $A=[[1, 0], [0, 1]], B=[[1, 0], [0, 1]]$. Allora $"tr"(AB)=2$ ma $"tr"(A)"tr"(B)=4$.

Comunque va bene. I più importanti numeri da associare ad una matrice sono due: determinante e traccia. Il determinante conserva il prodotto, la traccia conserva la somma.

[16chicca90]

compreso di aver risposto in modo corretto al precedente quesito vi chiede conferma anche di questo

al variare dei parametri h,k stabilisci che il sistema è compatibile
$\{(x+y+z=1),(hx+hy+hz=k-7):}$
la matrice associata è
$((1,1,1,1),(h,h,h,k-7))$
$rg(A)=rg(A|B)$ se $k-h-7=0$
quindi $k=h+7$
è corretto?

terzo e ultimo quesito:
è possibile completare $t-7$, $t^2+1$ a una base di $RR_2[t]$?
penso $w_1=(0,1,-7)$ e $w_2=(1,0,1)$ sono linearmente indipendenti
una base con $dim=3$ è $B={w_1,w_2,e_2}$

è corretto?