Spazi e Norme.
Salve, mi è appena venuta in mente una domanda alla quale non so assolutamente rispondere (visto che faccio Fisica e non si vanno mai a studiare spazi troppo astrusi, neanche quando si studia analisi): esistono insiemi in cui non è possibile definire una norma? Se sì, mi fate un esempio? È giusto una curiosità, ma non saprei minimamente da dove partire per dire qualsiasi cosa.
Risposte
Un qualsiasi insieme finito con almeno 2 elementi non è strutturabile a spazio vettoriale reale per cui non può essere uno spazio normato!
Ok grazie, ma ora ho un'altra domanda, più in generale, esistono insiemi in cui non è possibile definire una distanza tra elementi? Una distanza la posso definire in un sottoinsieme limitato di $NN$ , quindi ci vorrebbe un altro esempio
Le uniche distanze su insiemi finiti sono la distanza discreta, ovvero: elementi distinti hanno distanza 1 ed un elemento ha distanza 0 solo da sé stesso; e la distanza banale, ovvero: ogni elemento ha distanza 0 da ogni elemento dell'insieme. Tali sono definibili anche su insiemi infiniti.
Al di fuori di questi esempi banali si trasborda nella teoria della metrizzabilità di uno spazio topologico su un insieme infinito; non ti elenco le proprietà topologiche necessarie per questo visto che fai fisica, senza offesa!
Al di fuori di questi esempi banali si trasborda nella teoria della metrizzabilità di uno spazio topologico su un insieme infinito; non ti elenco le proprietà topologiche necessarie per questo visto che fai fisica, senza offesa!
Ok ok ho capito, mai cercare di passare le colonne d'ercole 
Uno spazio metrico a sostegno infinito è sempre uno spazio $T_4$; per cui di Hausdorff, ed a base numerabile. Per essere semplici! 
Poi si passa al difficile come puoi leggere qui http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_metrizzabile
Poi si passa al difficile come puoi leggere qui http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_metrizzabile
No ma mi bastava un sì e un esempio, ma mi sa che se anche mi fai l'esempio non lo capisco, quindi mi tocca accontentarmi del sì 
Le distanze banali e discrete su un insieme non vuoto non sono esempi?
"Zkeggia":Non credo sia questa la domanda che vuoi fare. Si può sempre definire una distanza, in ogni insieme. Per esempio dato un insieme X la funzione [tex]X \times X \to \mathbb{R}_{+}[/tex] che manda una coppia [tex](x,y)[/tex] in 0 se [tex]x=y[/tex] e in 1 altrimenti è una distanza su X.
Ok grazie, ma ora ho un'altra domanda, più in generale, esistono insiemi in cui non è possibile definire una distanza tra elementi? Una distanza la posso definire in un sottoinsieme limitato di $NN$ , quindi ci vorrebbe un altro esempio
Forse tu vuoi sapere se esistono spazi topologici la cui topologia non è indotta da una metrica. La risposta è sì, la retta di Sorgenfrey è un esempio.
"j18eos":No. Per esempio l'insieme finito {1,2,3,4,5} ammette la distanza indotta da quella usuale su [tex]\mathbb{R}[/tex]. Tu forse vuoi dire che ogni metrica su un insieme finito è topologicamente equivalente a quella che hai detto. Ma questo è ben diverso. Inoltre quella che tu chiami "distanza banale" non è una distanza: due elementi a distanza 0 devono coincidere.
Le uniche distanze su insiemi finiti sono la distanza discreta, ovvero: elementi distinti hanno distanza 1 ed un elemento ha distanza 0 solo da sé stesso; e la distanza banale, ovvero: ogni elemento ha distanza 0 da ogni elemento dell'insieme.
j18eos, ho notato che già altre volte hai scritto cose sbagliate con sicurezza: perché non rileggi bene quello che hai scritto prima di postare?
[mod="Fioravante Patrone"]
Sottoscrivo il suggerimento e conto sul fatto che venga accolto.[/mod]
"Martino":
j18eos, ho notato che già altre volte hai scritto cose sbagliate con sicurezza: perché non rileggi bene quello che hai scritto prima di postare?
Sottoscrivo il suggerimento e conto sul fatto che venga accolto.[/mod]
Già che ci sono posto anche un altro esempio molto semplice di uno spazio che ha una topologia non indotta da una metrica.
Osserva che se è definita una metrica vale la seguente proprietà:
Presi due punti $x$ e $y$ in tale spazio, esistono due aperti disgiunti $U$ e $V$ che contengono rispettivamente $x$ e $y$.
Questo fatto puoi dimostrarlo utilizzando la disuguaglianza triangolare.
Quindi se queto fatto non vale allora lo spazio non è metrizzabile (la topologia non è indotta da una metrica).
Quindi ti basta prendere $X$ con almeno due elementi e con la topologia banale (costitutita dall'insieme vuoto e da tutto lo spazio).
Per quanto riguarda in generale la distanza, come ha già scritto martino, su un insieme puoi sempre mettere la distanza discreta, ovvero $d(x,y)=0$ se $x=y$ e $d(x,y)=1$ se $x!=y$ (quale topologia induce questa distanza?)
Osserva che se è definita una metrica vale la seguente proprietà:
Presi due punti $x$ e $y$ in tale spazio, esistono due aperti disgiunti $U$ e $V$ che contengono rispettivamente $x$ e $y$.
Questo fatto puoi dimostrarlo utilizzando la disuguaglianza triangolare.
Quindi se queto fatto non vale allora lo spazio non è metrizzabile (la topologia non è indotta da una metrica).
Quindi ti basta prendere $X$ con almeno due elementi e con la topologia banale (costitutita dall'insieme vuoto e da tutto lo spazio).
Per quanto riguarda in generale la distanza, come ha già scritto martino, su un insieme puoi sempre mettere la distanza discreta, ovvero $d(x,y)=0$ se $x=y$ e $d(x,y)=1$ se $x!=y$ (quale topologia induce questa distanza?)
OUT OF SELF @ Martino & Fioravante Patrone: È stato accolto!
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