Cambiamento di base

[pitrineddu90]

Ho un esercizio di questo tipo :

Nello spazio vettoriale $R^2[x]$ fissata la base canonica $B={1,x,x^2}$ siano i vettori;

$p1(x)=1-x;$
$p2(x)=1-x^2$
$p3(x)=2x^2$

L'esercizio mi chiede:
a) verificare che costituiscano una base B' di $R^2[x]$
b) Determinare le coordinate dei vettori della base B rispetto alla base B'.

Allora.
Il punto a) l'ho fatto.
Ho calcolato il determinante della matrice associata ai vettori, e mi è venuto 2, diverso da 0. Quindi i tre vettori costituiscono una base.

Dopodichè ho trovato le coordinate di cambiamento di base.
Ovvero :

$x'=x'+y'$
$y'=-x'$
$z'=-y'+2z'$

Per trovarmi le coordinate dei vettori della base B rispetto alla base B':

$AX'=X$

A è la matrice di cambiamento
X' è la matrice delle coordinate che devo trovare
X è la matrice delle coordinate che ho.

Quindi per trovarmi X'.
$X'=A^(-1)X$

Adesso la mia domanda è :
I valori della matrice X devono essere arbitrari oppure devo prenderli dalle coordinate della base B (ovvero il vettore (1,1,1)) ?
Questa cosa non mi è tanto chiara. grazie

[j18eos]

Converrebbe scrivere [tex]$\mathbb{R}_2[x]$[/tex] trattandosi dello spazio vettoriale reale dei polinomi a coefficienti reali al più di grado 2!

Nella formula del cambiamento di base ci sono apici ovunque, cortesemente correggila e vedrò la sua correttezza; in quanto così non si può proseguire una verifica.

[pitrineddu90]

Ok. Scusa per fare gli apici ? Non ci riesco proprio.

[j18eos]

Hai scritto ad esempio $x'=y'+x'$ ma ciò vuol dire che $y'=0$; l'apice è questo $'$!

[pitrineddu90]

Giusto hai ragione. Deve essere:

$x=x'+y'$
$y=-x'$
$z=-y'+2z'$

e non come prima.

[j18eos]

Ok; $A$ è la matrice di cambio riferimento vettoriale da $B$ a $B'$, per cui $X$ deve essere il vettore coordinato dei vettori di $B$ secondo il riferimento vettoriale determinato da $B$.

[pitrineddu90]

Quindi $X=(1,1,1)?$

[j18eos]

NO, in quanto $(1;1;1)\equiv1+x+x^2$ secondo la base $B$! Domandati secondo $B$ chi vettore è $1$?

[pitrineddu90]

Il vettore 1 è $(1,0,0)$.
Quindi il vettore $(1,x,x^2)$ è $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$;

[j18eos]

"pitrineddu90":...Quindi il vettore $(1,x,x^2)$ è $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$;

Veramente non significa nulla; forse volevi scrivere (tanto hai capito come ci si arriva e ti posto gli ultimi 2 passi che ti mancano) [tex]$x\equiv(0;1;0);\,x^2\equiv(0;0;1)$[/tex]

[pitrineddu90]

Scusa ancora non capisco.
la matrice X deve avere i vettori della base B.
Quindi, come mi hai fatto capire B è composto dai vettori $1=(1,0,0);$ $x=(0,1,0);$ $x^2=(0,0,1);$
Adesso, che vado a sostituire ai vettori della matrice X ?

[j18eos]

No, la matrice $X$ non è altri che un vettore in quanto matrice di tipo $[3;1]$ (righe 3, colonne 1)! Ad essa sostituisci i vettori coordinati dei vettori di $B$ secondo il riferimento vettoriale determinato da quest'utlimo; sai la differenza tra questi 2 concetti?