(topologia) connessione di $RR^3$ meno una retta
L'esercizio è semplice eppure un po mi ha messo in difficoltà, soprattutto la formalizzazione, a occhio è semplice.
edit L'insieme $RR^3 - r$ è connesso?
dove $r$ è la retta di equazione ${(x,y,z) \in RR^3 |$x=1,y=0}$
La risposta è si, il modo ovvio di vederlo sarebbe con i cammini, ma il testo me lo da come esercizio subito dopo la definizione di connessione, quello che chiedo è se lo svolgimento è corretto (è davvero breve quindi non ruba molto tempo)
Si supponga $RR^3-r=U_1 uu U_2$ unione di due aperti, mostriamo che questi non possono esser disgiunti.
(Poichè siamo in $RR^3$) sappiamo esistono due punti $P \in U_1$ e $Q \in U_2$ tali che la retta che li congiunge $s$ non interseca la retta $r$.
Daltronde sappiamo pure che $s=(U_1 nn s) uu (U_2 nn s)$, questi sono due aperti nel sottospazio $s$ (la retta intesa come sottospazio), e questo sottospazio è omeomorfo ad $RR$, quindi connesso, quindi i due aperti non possono essere disgiunti, ovvero $(U_1 nn s) nn (U_2 nn s)$ non è l'insieme vuoto.
Poichè $U_1 nn s$ e $U_2 nn s$ sono non vuoti (ci sono rispettivamente $P$ e Q), abbiamo che, essendo $(U_1 nn s) nn (U_2 nn s)$ non vuoto, deve essere $U_1 nn U_2$ non vuoto, che è la tesi.
Ho provato a risolvere diverse volte l'esercizio dando giustificazioni non sufficienti (la domanda: perchè non dovrebbe funzionare su $RR^2$ mi assillava, dato che se da $RR^2$ tolgo una retta disconnetto lo spazio). Ora mi sembra che funzioni proprio perchè siamo su $RR^3$. Spero che qualcuno mi dica se va bene o se ho commesso qualche errore.
edit L'insieme $RR^3 - r$ è connesso?
dove $r$ è la retta di equazione ${(x,y,z) \in RR^3 |$x=1,y=0}$
La risposta è si, il modo ovvio di vederlo sarebbe con i cammini, ma il testo me lo da come esercizio subito dopo la definizione di connessione, quello che chiedo è se lo svolgimento è corretto (è davvero breve quindi non ruba molto tempo)
Si supponga $RR^3-r=U_1 uu U_2$ unione di due aperti, mostriamo che questi non possono esser disgiunti.
(Poichè siamo in $RR^3$) sappiamo esistono due punti $P \in U_1$ e $Q \in U_2$ tali che la retta che li congiunge $s$ non interseca la retta $r$.
Daltronde sappiamo pure che $s=(U_1 nn s) uu (U_2 nn s)$, questi sono due aperti nel sottospazio $s$ (la retta intesa come sottospazio), e questo sottospazio è omeomorfo ad $RR$, quindi connesso, quindi i due aperti non possono essere disgiunti, ovvero $(U_1 nn s) nn (U_2 nn s)$ non è l'insieme vuoto.
Poichè $U_1 nn s$ e $U_2 nn s$ sono non vuoti (ci sono rispettivamente $P$ e Q), abbiamo che, essendo $(U_1 nn s) nn (U_2 nn s)$ non vuoto, deve essere $U_1 nn U_2$ non vuoto, che è la tesi.
Ho provato a risolvere diverse volte l'esercizio dando giustificazioni non sufficienti (la domanda: perchè non dovrebbe funzionare su $RR^2$ mi assillava, dato che se da $RR^2$ tolgo una retta disconnetto lo spazio). Ora mi sembra che funzioni proprio perchè siamo su $RR^3$. Spero che qualcuno mi dica se va bene o se ho commesso qualche errore.
Risposte
Supposto che $\mathbb{R}^3$ sia strutturato con la topologia naturale, l'esercizio è svolto correttamente!
Sisi ovviamente su $RR^3$ considero la topologia naturale
Bene, grazie
Bene, grazie
Forse sto per dirla grossa, ma quell'insieme che tu chiami [tex]$r$[/tex] non è un piano? Rivedendo la sua definizione...
In quanto $\mathbb{R}^3$ meno una retta con la topologia naturale è uno spazio connesso!
In quanto $\mathbb{R}^3$ meno una retta con la topologia naturale è uno spazio connesso!
"angus89":La risposta è no, e l'insieme
L'insieme ${(x,y,z) \in RR^3 | x!=1}$ è connesso?
${(x,y,z) \in RR^3 | x=1}$
è un piano, non una retta. E' facile costruire i due "pezzi" disgiunti se immagini la situazione.
Certo...sono stato stupito...
Cioè l'esercizio è corretto se togliamo effettivamente una retta che è quello che ho fatto, ovvero (cosa che si vede dai miei disegni) praticamente ho svolto l'esercizio togliendo la retta $r={(x,y,z) \in RR^3 | x=1, y=0}$, ho fatto un errore stupido...
Faccio un edit sulla traccia, l'esercizio continua a sembrarmi corretto se tolgo effittivamente la retta piuttosto che in piano...
Cioè l'esercizio è corretto se togliamo effettivamente una retta che è quello che ho fatto, ovvero (cosa che si vede dai miei disegni) praticamente ho svolto l'esercizio togliendo la retta $r={(x,y,z) \in RR^3 | x=1, y=0}$, ho fatto un errore stupido...
Faccio un edit sulla traccia, l'esercizio continua a sembrarmi corretto se tolgo effittivamente la retta piuttosto che in piano...
Ancora una cosa.
Questo insieme così descritto non è lo spazio meno la retta, come vorresti indicare.
Precisamente è lo spazio meno 2 piani, i piani [tex]$x=1$[/tex] e [tex]$y=0$[/tex] quindi siamo di nuovo davanti ad uno spazio sconnesso.
4 le componenti connesse, se non vedo male.
"angus89":
edit L'insieme ${(x,y,z) \in RR^3 | x!=1, y!=0}$ è connesso?
Questo insieme così descritto non è lo spazio meno la retta, come vorresti indicare.
Precisamente è lo spazio meno 2 piani, i piani [tex]$x=1$[/tex] e [tex]$y=0$[/tex] quindi siamo di nuovo davanti ad uno spazio sconnesso.
4 le componenti connesse, se non vedo male.
si ecco...ora dovrebbe andare...devo far meno confusione, la cosa mi nuocerà...
L'idea mi sembra buona. Non mi pare però evidente il fatto che si riescano a trovare un punto $P$ in $U_1$ e un punto $Q$ in $U_2$ tali che la retta che li congiunge non interseca $r$. E' chiaro che è vero ma mi pare ci voglia un minimo di lavoro per dimostrarlo (prendo $P$ e $Q$ a caso e se "non si vedono tra loro in $RR\setminus r$" li muovo un po' sfruttando il fatto che $U_1$ e $U_2$ sono aperti).
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