Sottospazio vettoriale
Sia V lo spazio vettoriale numerico di dimensione 3 sul campo relae e siano f e g due qualunque endomorfismi di V. Si consideri il sottoinsieme di V:
$ X=( ( v di V : f(v)=g(v) ) ) $
a) Provare che kerf può avere dimensione 1
b) Provare che X è un sottospazio di V
Avevo pensato di risolvere così:
a) Si ha che : $dimV=dimKerf+dimImf$. Dunque:
3=dimKerf+dimImf.
Quindi il Kerf può avere dimensione 1 se e solo se Imf ha dimensione 2, quindi affinchè ciò sia possibile, le immagini di due vettori di una base di V devono formare un sistema linearmente indipendente, che sarà il sistema generatore di Imf.
Dunque un tale endomorfismo f esiste e , per esempio è quello avente come matrice associata la seguente:
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ .
b)Per provare che X è un sottospazio di V_3 basta che applico la definizione.
$ X=( ( v di V : f(v)=g(v) ) ) $
a) Provare che kerf può avere dimensione 1
b) Provare che X è un sottospazio di V
Avevo pensato di risolvere così:
a) Si ha che : $dimV=dimKerf+dimImf$. Dunque:
3=dimKerf+dimImf.
Quindi il Kerf può avere dimensione 1 se e solo se Imf ha dimensione 2, quindi affinchè ciò sia possibile, le immagini di due vettori di una base di V devono formare un sistema linearmente indipendente, che sarà il sistema generatore di Imf.
Dunque un tale endomorfismo f esiste e , per esempio è quello avente come matrice associata la seguente:
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ .
b)Per provare che X è un sottospazio di V_3 basta che applico la definizione.
Risposte
sì è corretto.
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