Esercizio in spazio euclideo di dimensione 3
In uno spazio euclideo di dimensione 3 sono assegnati i punti $A(1,1,0)$ e la retta:
$r= { ( x-z=0 ),( y+1=0):} $
a)Provare che esiste un sol piano alpha per la retta r e il punto A
b)Rappresentare il piano y ortogonale ad r e passante per A
c)Rappresentare la retta s per A e parallela ad r
d)Calcolare la distanza di A da r e la distanza di r da s
e)Rappresentare un movimento h che trasformi r in s
Svolgimento
a)Il punto A non appartiene alla retta r e dunque per tre punti non allineati in dimensione 3 passa un solo piano.
b)Un piano è ortogonale ad r se i numeri direttori di r sono proporzionali a quelli del piano.
Una terna di numeri direttori di r sono:
$(1,0,1)$.
Dunque l'equazione di un generico piano è del tipo:
$x+z+d=0$
Impostando il passaggio per il punto A ottengo:
$d=-1$
Dunque, il piano per A ortogonale ad r ha equazione:
$x+z-1=0$
c)s è parallela ad r se i coefficienti di r sono proporzionali a quelli di s, dunque una rappresentazione parametrica di s, tenendo conto che s deve passare per A è:
$s= { ( x=1+t ),( y=1),(z=t):} $, da cui, segue la rappresentazione cartesiana:
$s= { ( x=1+z ),( y=1):} $
d)La distanza di s da r è la stessa della distanza di A da r poichè s è parallela ad r, dunque è sufficiente calcolare solo quest'ultima distanza:
Ora, dato che Abbiamo l'equazione del piano per A ortogonale ad r, basta trovare il punto d'intersezione del piano con la retta r,chiamiamolo H, si avrà:
d(A,r)=d(A,H)
Risolvendo il sistema formato dalle equazioni del piano e da quelle della retta r , ottengo che il punto H è :
$H(1/2,1/2,1)$
Quindi:
$d(A,H)=sqrt((1/2-1)^2+(1/2-1)^2+(-1-0)^2)=sqrt(3/2) $
e) Trasformo prima la retta r nella retta t ottenuta facendo una rotazione attorno all'asse y di -180°. E poi la retta t nella retta s con una traslazione di vettore (0,0,-1).
Ho rag. correttamente?
$r= { ( x-z=0 ),( y+1=0):} $
a)Provare che esiste un sol piano alpha per la retta r e il punto A
b)Rappresentare il piano y ortogonale ad r e passante per A
c)Rappresentare la retta s per A e parallela ad r
d)Calcolare la distanza di A da r e la distanza di r da s
e)Rappresentare un movimento h che trasformi r in s
Svolgimento
a)Il punto A non appartiene alla retta r e dunque per tre punti non allineati in dimensione 3 passa un solo piano.
b)Un piano è ortogonale ad r se i numeri direttori di r sono proporzionali a quelli del piano.
Una terna di numeri direttori di r sono:
$(1,0,1)$.
Dunque l'equazione di un generico piano è del tipo:
$x+z+d=0$
Impostando il passaggio per il punto A ottengo:
$d=-1$
Dunque, il piano per A ortogonale ad r ha equazione:
$x+z-1=0$
c)s è parallela ad r se i coefficienti di r sono proporzionali a quelli di s, dunque una rappresentazione parametrica di s, tenendo conto che s deve passare per A è:
$s= { ( x=1+t ),( y=1),(z=t):} $, da cui, segue la rappresentazione cartesiana:
$s= { ( x=1+z ),( y=1):} $
d)La distanza di s da r è la stessa della distanza di A da r poichè s è parallela ad r, dunque è sufficiente calcolare solo quest'ultima distanza:
Ora, dato che Abbiamo l'equazione del piano per A ortogonale ad r, basta trovare il punto d'intersezione del piano con la retta r,chiamiamolo H, si avrà:
d(A,r)=d(A,H)
Risolvendo il sistema formato dalle equazioni del piano e da quelle della retta r , ottengo che il punto H è :
$H(1/2,1/2,1)$
Quindi:
$d(A,H)=sqrt((1/2-1)^2+(1/2-1)^2+(-1-0)^2)=sqrt(3/2) $
e) Trasformo prima la retta r nella retta t ottenuta facendo una rotazione attorno all'asse y di -180°. E poi la retta t nella retta s con una traslazione di vettore (0,0,-1).
Ho rag. correttamente?
Risposte
I primi 4 punti, calcoli a parte che non ho controllato, mi sembrano corretti,
Per l'ultimo punto lascio la palla a chi è più ferrato di me!
Per l'ultimo punto lascio la palla a chi è più ferrato di me!
Eccomi qua sono tornato! Avete sentito la mia mancanza? 
I primi quattro punti non li guardo, mi fido del buon Mistake.
Hai la retta $r:{(x-z=0),(y=-1):}$ e la devi trasformare in $s:{(x-z=1),(y=1):}$.
Beh, ma i parametri direttori delle due rette mi sembrano gli stessi...non basta una semplice traslazione?
Oppure ho ancora la capa in vacanza?
I primi quattro punti non li guardo, mi fido del buon Mistake.
Hai la retta $r:{(x-z=0),(y=-1):}$ e la devi trasformare in $s:{(x-z=1),(y=1):}$.
Beh, ma i parametri direttori delle due rette mi sembrano gli stessi...non basta una semplice traslazione?
Oppure ho ancora la capa in vacanza?
OT:
@cirasa
Bentornato!
@cirasa
Bentornato!
Grazie max!
ahah ti ringrazio per la stima! e bentornato
e bentornato
Si, hai ragione, infatti le due rette sono parallele. Fra l'altro me lo diceva la traccia stessa che s è parallela ad r 
.
Potresti spiegarmi come posso fare a rappresentare facilmente una traslazione?
.Potresti spiegarmi come posso fare a rappresentare facilmente una traslazione?
L'equazione di una traslazione è semplice. E' del tipo:
(*)${(X=x+a),(Y=y+b),(Z=z+c):}$
Ora ti basta trovare $a,b,c$. Basta scegliere un punto $R$ su $r$ e un punto $S$ su $s$ e fare in modo che la traslazione (*) porti $R$ in $S$.
Visto che la traslazione lascia immutati i vettori direttori, essa porterà $r$ in $s$.
PS Grazie Mistake per il bentornato!
(*)${(X=x+a),(Y=y+b),(Z=z+c):}$
Ora ti basta trovare $a,b,c$. Basta scegliere un punto $R$ su $r$ e un punto $S$ su $s$ e fare in modo che la traslazione (*) porti $R$ in $S$.
Visto che la traslazione lascia immutati i vettori direttori, essa porterà $r$ in $s$.
PS Grazie Mistake per il bentornato!
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