Esercizio sul calcolo vettoriale
Salve a tutti! Sto facendo un po' di esercizi ma questo mi crea alcune difficoltà...
Determinare il vettore simmetrico di $u = (0; 1; 1)$ rispetto al piano vettoriale $H$ dei
vettori $x = (x_1; x_2; x_3)$ tali che $x_1 + 2x_2 + x_3 = 0$.
Io ho pensato di ragionare con la proiezione del vettore $u$ sul piano $H$. Ho preso due vettori qualsiasi, per semplicità, $x = (1; 0; -1)$ e $x' = (0; 1; -2)$ e da qui ho trovato la proiezione di $u$ che vale $p = (-(1/2); 0; (1/2)).
Ora però non so più cosa fare... Mi date una mano, per favore?
Determinare il vettore simmetrico di $u = (0; 1; 1)$ rispetto al piano vettoriale $H$ dei
vettori $x = (x_1; x_2; x_3)$ tali che $x_1 + 2x_2 + x_3 = 0$.
Io ho pensato di ragionare con la proiezione del vettore $u$ sul piano $H$. Ho preso due vettori qualsiasi, per semplicità, $x = (1; 0; -1)$ e $x' = (0; 1; -2)$ e da qui ho trovato la proiezione di $u$ che vale $p = (-(1/2); 0; (1/2)).
Ora però non so più cosa fare... Mi date una mano, per favore?
Risposte
Puoi mostrarmi come hai trovato la proiezione per favore?
Ho l'impressione che tu abbia commesso un errore...
Ho l'impressione che tu abbia commesso un errore...
Ho usato la formula $ u- (u*(x ^^ x')) / (||x ^^ x'||^2) (x ^^ x') $ $=$ $(0; 1; 1)-((0; 1; 1)*(1; 2; 1))/6 (1; 2; 1)$ $=$ $(0; 1; 1) - 3/6(1; 2; 1)$ $=$ $(0; 1; 1) - (1/2; 1; 1/2)$ $=$ $(-1/2; 0; 1/2)$.
Ho provato a calcolare la proiezione sullo stesso piano del vettore riportato nella soluzione $(-1; -1; 0)$ e viene uguale. Quindi penso sa giusto! Mi chiedo solo come trovarlo una volta giunta a questo punto
Ho provato a calcolare la proiezione sullo stesso piano del vettore riportato nella soluzione $(-1; -1; 0)$ e viene uguale. Quindi penso sa giusto! Mi chiedo solo come trovarlo una volta giunta a questo punto
Scusami, hai ragione, avevo sbagliato i conti e non ottenevo lo stesso risultato. 
Comunque, per trovare il vettore simmetrico puoi usare la formula
[tex]$ u-2\frac{u\cdot(x\wedge x')}{\|x\wedge x'\|^2}(x\wedge x')[/tex]
Provo a spiegare questa formuletta:
Il vettore [tex]u[/tex] si scrive come combinazione di [tex]x,x',x\wedge x'[/tex], nella forma [tex]$ u=ax+bx'+c(x\wedge x')[/tex] dove [tex]$ c=\frac{u\cdot(x\wedge x')}{\|x\wedge x'\|^2}[/tex].
La proiezione di [tex]u[/tex] sul piano (come hai giustamente detto tu) è data da [tex]$ u-c(x\wedge x')=ax+bx'[/tex].
Il simmetrico di [tex]u[/tex] rispetto al piano si ottiene cambiando segno alla componente di [tex]u[/tex] lungo [tex]x\wedge x'[/tex] cioè è data da
[tex]$ ax+bx'-c(x\wedge x') = u-2c(x\wedge x')[/tex].
Spero di non aver commesso errori.
Il mio risultato (che dovresti controllare, data la mia innata capacità di fare i più banali errori di calcolo) è [tex](-1,-1,0)[/tex]
Comunque, per trovare il vettore simmetrico puoi usare la formula
[tex]$ u-2\frac{u\cdot(x\wedge x')}{\|x\wedge x'\|^2}(x\wedge x')[/tex]
Provo a spiegare questa formuletta:
Il vettore [tex]u[/tex] si scrive come combinazione di [tex]x,x',x\wedge x'[/tex], nella forma [tex]$ u=ax+bx'+c(x\wedge x')[/tex] dove [tex]$ c=\frac{u\cdot(x\wedge x')}{\|x\wedge x'\|^2}[/tex].
La proiezione di [tex]u[/tex] sul piano (come hai giustamente detto tu) è data da [tex]$ u-c(x\wedge x')=ax+bx'[/tex].
Il simmetrico di [tex]u[/tex] rispetto al piano si ottiene cambiando segno alla componente di [tex]u[/tex] lungo [tex]x\wedge x'[/tex] cioè è data da
[tex]$ ax+bx'-c(x\wedge x') = u-2c(x\wedge x')[/tex].
Spero di non aver commesso errori.
Il mio risultato (che dovresti controllare, data la mia innata capacità di fare i più banali errori di calcolo) è [tex](-1,-1,0)[/tex]
Fantastico, grazie infinite
Prego $infty$
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