Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Un esercizio mi chiede:
Nello spazio affine euclideo tridimensionale in cui è fissato un riferimento ortonormale, determinare le rette del piano σ) x − y + 2z − 1 = 0, passanti per P (1, 0, 0) che formano un angolo di ampiezza $pi/4$ con l’asse y.
La mia prima condizione è che le rette devono essere impropriamente parallele con il piano e devo considerare che formano un angolo di $pi/4$ con l'asse y. L'ultima condizione posso considerare l'asse y come una retta di ...
Ciao a tutti,
studiando mi è sorto un dubbio (o forse sono io che sono un pò duro di testa), su come trovare le coordinate di un vettore rispetto ad una base.
So che se la base è ortonormale $ ( ( <v,v1> ),( <v,v2> ),( <v,vn> ) ) $.
Se invece abbiamo per esempio il vettore v(2,3) per trovare le sue coordinate rispetto a B=((1,0),(0,1)) facciamo nel seguente modo: a(1,0)+b(0,1)=(2,3) e poi poniamo a sistema.
Ma in generale come si fa a determinare le coordinate rispetto ad una base qualsiasi.
Per esempio ...
Ciao a tutti,
credo che la mia domanda sia piuttosto semplice...ma proprio non ci sto arrivando (spero sia l'orario).
La matrice inversa di una matrice triangolare superiore è ancora una matrice triangolare superiore. Ma perchè? Come si dimostra?
Ho dimostrato che il prodotto di due matrici triangolari superiori è ancora una matrice triangolare superiore (l'ho dimostrato "giocando" con gli indici della sommatoria del prodotto righe per colonne, osservando che se c(ij) è un elemento ...
Ciao a tutti,
ho due applicazioni lineari fatte così:
Come ho scritto in coda, per quali a, Im(T) = Im(Sa) ?
Io non ho veramente idea di come muovermi, anche perchè un'applicazione va da R^3 in R^3, ma l'altra parte da R^2 (ma siccome si parla di immagini, questo non centra niente). E quindi non so proprio come iniziare
Sia $B = {v_1,v_2}$ una base di $R^2$. Sia F un’applicazione lineare tale che $F(v_1) = 3v_1$ e $F(v_2) = 5v_2$.
Determinare la matrice rappresentativa di F rispetto alla base B in dominio e codominio. come si fa?
grazie in anticipo
ciao a tutti,volevo porre questo esercizio per controllare il risultato visto che non mi ridà
sia $f:RR^4->RR^4$ l'applicazione lineare definita cosi
$f(e_1)=e_1+e_3$
$f(e_2)=2e_2-e_3$
$f(e_3)=e_2+e_4$
$f(e_4)=e_1-e_2+e_4$
trovare l'immagine $f(V)$ del sottospazio $ V:{(x,y,z,t)inRR^4| x-t=2y-t=y-z+t=0 } $ .
da quello che ho capito per trovare l'immagine di un sottospazio vettoriale è sufficiente calcolare le immagini di una base,quindi
$V$ è composto da tutti i vettori aventi ...
SALVE A TUTTI SONO NUOVO DEL FORUM, AVREI URGENTE BISOGNO DI 1MANO RIGUARDO L'ESERCIZIO CHE SEGUE
Sia V={ (a,a,b,b) $\epsilon$ $RR^4$ : a,b $\epsilon$ $RR$ }
a) SI PROVI CHE V è 1 SOTTOSPAZIO DI $RR^4$
b) DETERMINARE DIMENSIONE E BASE, E LE EQUAZIONI DI V NEL RIFERIMENTO NATURALE DI RR^4
si provi che esiste un unico endomorfismo " f " dello spazio vettoriale numerico $RR^4$ che trasforma
il vettore (1,1,0,1) nel vettore (2,0,0,0), il vettore (0,1,0,0) nel vettore (0,2,0,0) ed il nucleo ha equazioni $\{($x_1$ - $x_2$ = 0),($x_3$ - $x_4$ = 0):}$ nel riferimento naturale
ringrazio in anticipo, in quest'esercizio non sò proprio dove mettere le mani
Salve a tutti
Avendo l'esame tra poco su istituzioni matematiche, il prof ci ha fatto vedere alcuni compiti svolti in passato. E un certo problema sulle matrici non ho idea di come risolverlo. Faccio il corso di scienze naturali , quindi capite che non sono un'asso della matematica. Spero che possiate aiutarmi , per comprendere almeno come procedere.
$((1,2,1,0,7),(0,0,2,6,-2),(0,0,1,3,?))$
Naturalmente non voglio che me lo risolvete.... L'obbiettivo è capire che numero va al posto del punto di domanda, in ...
SI PROVI CHE ESISTE UN UNICO ENDOMORFISMO f DELLO SPAZIO VETTORIALE NUMERICO $RR^4$ CHE TRASFORMA
IL VETTORE (1,1,0,1) NEL VETTORE (2,0,0,0), IL VETTORE (0,1,0,0) NEL VETTORE (0,2,0,0) ED IL NUCLEO HA EQUAZIONI $\{($x_1$ - $x_2$ = 0),($x_3$ - $x_4$ = 0):}$ NEL RIFERIMENTO NATURALE
RINGRAZIO IN ANTICIPO, IN QUESTO ESERCIZIO NON Sò NEMMENO DOVE METTERE LE MANI
Ciao a tutti, sto cercando di risolvere questa diseguaglianza (che so essere vera):
$|\det A|\leq\|A\|^n$
dove $A$ è una matrice generica $n\times n$ a coefficienti in $R$.
Ho provato ad esplicitare il determinante e poi ad utilizzare la diseguaglianza di Young (nel caso $n=2$ applicandola è immediato), ma mi sono bloccato per la presenza di indici maledetti!
Qualcuno saprebbe darmi un aiuto?!
Grazie mille.
JB
x R y $ EE $ $ h in Z -{0} $ tale che y=hx
Devo dire se è Solo simmetrica O Di equivalenza O riflessiva e transitiva O d'ordine.
Potreste spiegarmi anche come si fa a risolverle?
In un esercizio che sto svolgendo mi chiede di trovare la base ortonormale di uno spazio U.
Il mio svolgimento è questo.
1) Trovo le basi del Ker U
2) Vedo se sono ortonogonali?? no? allora se sono ortogonali come procedo?
3) Utilizzo l' ortonormalizzazione di Gram-Schmidt ->
Trovo basi ortonormali di U
Ho schematizzato il mio procedimento.
Ciao, vorrei sapere se ho svolto bene la risoluzione di questo sistema lineare in quattro incognite e tre equazioni la cui matrice completa è:
$((a, b, 0, 1, b),(0, b, b, a, b-1),(b, 0, 1, 0, a))$
Ho svolti i determinanti dei minroi $3x3$ della matrice incompleta ed ho visto che il valore comune a tutti e tre è $b$.
Se $b!=0 -> rg(A)=3=rg(A|B), AAa -> infty^1 sol$
Se $b=0 -> rg(A)=2$ e $rg(A|B)=3, AAa ->$ nessuna soluzione.
$ { ( x + hy + z + ht = 0 ),( 2y + (h+1)z = h-1 ),( hx + ht = h ):} $
L'esercizio vuole sapere per quali valori del parametro h, il sistema è compatibile.
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Come ho cercato di risolverlo io: Il sist è compatibile se il rango di (a) = rango di (b) dove (a), (b) sono rispettivamente la matrice dei coefficienti e la matrice completa.
Ma quando mi trovo che il rango di (a) è 3 per $ h != -2,0,1 $ . Il rango di (b) è anche 3 se considero il minore che ho preso in considerazione per (a) . Ma se provo ...
Ciao a tutti,
ho un esercizio che chiede di trovare la forma canonica di Jordan ed una base a stringhe per l'operatore f.
$f: CC^4 -> CC^4$ definito ponendo $f(x,y,z,t)=(x+y+z,t,-y,x+z)$
Allora:
ho trovato la matrice rappresentativa di f che denoteremo A, ho calcolato il polinomio caratteristico di f ed ho trovato che gli autovalori sono 0 ed 1.
Poi ho calcolato le molteplicità ed ho costruito la matrice formata da blocchi di Jordan.
Ora il problema è calcolare le stringhe.
So che ...
Ciao a tutti,
studiando la parte riguardante l'intersezione di sottospazi vettoriali mi sono imbattuto
in qualcosa che non mi torna; il fatto che l'intersezione di due sottospazi sia ancora un
sottospazio è chiarissimo tuttavia sul libro c'è un esempio che non proprio non capisco:
Si considerino i seguenti sottospazi di $R^3$ :
$U=(x;y;0)| x,y$ appartengono ad R
$V=(x;0;z)| x,z $appartengono ad R
$U=(x;x;x)| x $appartiene ad ...
Ciao a tutti, ho fatto l'esame di algebra lineare e mi sono trovato di fronte a questo sistema lineare:
$ | ( 1 , -1 , 1 , -1 ),( 1, 1 , 1 , -1 ),( a, 1, a, -a) | $ $ | ( 1),( 2 ),( 1 ) | $
Ovviamente se cerco di triangolarizzare, non ottengo nulla di buono.
E' corretto affermare che, poichè le colonne 3 e 4 sono una combinazione delle prime 2, prendo in considerazione la matrice 3x2 faormata dalle sole colonne 1 e 2?? come procedo poi?
Ciao a tutti, vorrei sapere se ho risolto correttamente questo esercizio...spero abbiate la pazienza di darci uno sguardo
Sia dato il seguente sistema lineare
$\{(x + 2y - hz + t = h+1),(x + hy - 2z + t = 0),(2x - hy - 2ht = 0):}$
1) Si discuta il sistema al variare del parametro reale $h$
Dunque io ho rappresentato le due matrici:
$A$ = $((1,2,-h,1),(1,h,-2,1),(2,-h,0,-2h))$
$A'$ = $((1,2,-h,1,h+1),(1,h,-2,1,0),(2,-h,0,-2h,0))$
Ho considerato il minore costituito dalle prime tre colonne della matrice incompleta. Il determinante risulta ...
Un esercizio mi chiede per quali valori di k f sia invertibile e determinare negli altri casi il nucleo e l'immagine di f.
Ecco f.
$(x,y,z)->(-x+y+(k-1)z,-(ky-z),ky + z)$, (K appartentente ai reali)
e mi dice anche per quali valori di k f risulta diagonalizzabile e per tali valori diagonalizzare k.
Allora ho proceduto in questo modo.
1) Mi trovo la matrice associata delle immagini della base canonica di f, ovvero:
$f(1,0,0)->(-1,0,0)$
$f(0,1,0)->(1,-k,k)$
$f(0,0,1)->(k-1,-1,1)$
Quindi la matrice A ...
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