Trasformazione di sottospazi
ciao a tutti,volevo porre questo esercizio per controllare il risultato visto che non mi ridà
sia $f:RR^4->RR^4$ l'applicazione lineare definita cosi
$f(e_1)=e_1+e_3$
$f(e_2)=2e_2-e_3$
$f(e_3)=e_2+e_4$
$f(e_4)=e_1-e_2+e_4$
trovare l'immagine $f(V)$ del sottospazio $ V:{(x,y,z,t)inRR^4| x-t=2y-t=y-z+t=0 } $ .
da quello che ho capito per trovare l'immagine di un sottospazio vettoriale è sufficiente calcolare le immagini di una base,quindi
$V$ è composto da tutti i vettori aventi la forma $(t,t/2,3t/2,t)$ quindi una base di $V$ è $(1,1/2,3/2,1)$.A questo punto dovrei avere che $f(V)=f(1,1/2,3/2,1)=(2,3/2,-3/2,5/2)$
solo che non mi ridà visto che il risultato è $f(V)=(3,4-3,4)$, gradirei se qualcuno potesse dirmi se almeno il procedimento è giusto,grazie
sia $f:RR^4->RR^4$ l'applicazione lineare definita cosi
$f(e_1)=e_1+e_3$
$f(e_2)=2e_2-e_3$
$f(e_3)=e_2+e_4$
$f(e_4)=e_1-e_2+e_4$
trovare l'immagine $f(V)$ del sottospazio $ V:{(x,y,z,t)inRR^4| x-t=2y-t=y-z+t=0 } $ .
da quello che ho capito per trovare l'immagine di un sottospazio vettoriale è sufficiente calcolare le immagini di una base,quindi
$V$ è composto da tutti i vettori aventi la forma $(t,t/2,3t/2,t)$ quindi una base di $V$ è $(1,1/2,3/2,1)$.A questo punto dovrei avere che $f(V)=f(1,1/2,3/2,1)=(2,3/2,-3/2,5/2)$
solo che non mi ridà visto che il risultato è $f(V)=(3,4-3,4)$, gradirei se qualcuno potesse dirmi se almeno il procedimento è giusto,grazie
Risposte
Come fai ad arrivare a quella soluzione? Cioè come fai a determinare come $f$ opera su quel vettore di base?
Per prima cosa io mi sceglierei una base "comoda" quindi moltiplicando tutto per $2$. Poi osserva che attraverso la linearità della $f$ puoi ricondurti ai vettori della base canonica di $RR^4$ di cui sai come opera $f$.
Hai infatti che $(2,1,3,2)=2e_1+e_2+3e_3+2e_4$ quindi calcolare $f(V)$ equivale a calcolare $2f(e_1)+f(e_2)+3f(e_3)+2f(e_4)$ e questo sai perfettamente a cosa è uguale!
Per prima cosa io mi sceglierei una base "comoda" quindi moltiplicando tutto per $2$. Poi osserva che attraverso la linearità della $f$ puoi ricondurti ai vettori della base canonica di $RR^4$ di cui sai come opera $f$.
Hai infatti che $(2,1,3,2)=2e_1+e_2+3e_3+2e_4$ quindi calcolare $f(V)$ equivale a calcolare $2f(e_1)+f(e_2)+3f(e_3)+2f(e_4)$ e questo sai perfettamente a cosa è uguale!
"mistake89":
Come fai ad arrivare a quella soluzione? Cioè come fai a determinare come $f$ opera su quel vettore di base?
mha non capisco mi sembrano tutti procedimenti validi ma danno sempre risultati diversi...
io ho semplicemente calcolato $M_e(f)$ attraverso l'applicazione del testo incolonnando le componenti dei vettori,e poi mi sono ricavato $f(x,y,z,t)=Ax$ che nel caso della base canonica è uguale come opera sui vettori e le componenti.Quindi ho calcolato $f(1,1/2,3/2,1)$ ovvero la base di $V$ nell'applicazione
$f(x,y,z,t)=(x+t,2y+z-t,-x-y,z+t)$
Non è che hai sbagliato semplicemente a fare i calcoli?
Si di essere scarso nei calcoli,ma ho controllato più volte.comunque il paradosso è che uno scarso a fare i calcoli come me deve ritrovarsi ogni tanto ad avere a che fare con risultati sbagliati. Comunque se trovi il procedimento giusto è quello che mi basta,grazie
scusa volevo chiederti un ultima cosa importante...
nel caso il testo mi chiedesse di trovare $f^-1(V)$ posso svolgere i calcoli trovando una base di $V$ come fatto in precedenza e uguagliando i vettori (della base di $V$) a $f(x,y,z,t)$?
svolgendo quindi il sistema $f(x,y,z,t)=v_i$
nel caso il testo mi chiedesse di trovare $f^-1(V)$ posso svolgere i calcoli trovando una base di $V$ come fatto in precedenza e uguagliando i vettori (della base di $V$) a $f(x,y,z,t)$?
svolgendo quindi il sistema $f(x,y,z,t)=v_i$
Si devi trovare l'insieme dei vettori la cui immagine sta in $V$, cioè i vettori del tipo $lambdav$ con $v$ vettore di base di $V$
quindi assodato che la base di $V$ è $(2,1,3,2)$ , $f^-1(V)$ è uguale alla soluzione di questo sistema? $ { ( x+t=2 ),( 2y+z-t=1 ),( x-y=3 ),( z+t=2 ):} $
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