Relazione determinante con norma.

[james bond1]

Ciao a tutti, sto cercando di risolvere questa diseguaglianza (che so essere vera):

$|\det A|\leq\|A\|^n$

dove $A$ è una matrice generica $n\times n$ a coefficienti in $R$.

Ho provato ad esplicitare il determinante e poi ad utilizzare la diseguaglianza di Young (nel caso $n=2$ applicandola è immediato), ma mi sono bloccato per la presenza di indici maledetti!
Qualcuno saprebbe darmi un aiuto?!

Grazie mille.

JB

[apatriarca]

Devi probabilmente passare alla forma di Jordan ed esplicitare le due operazioni in questa forma. Non ho però un manuale per controllare la dimostrazione e non ho tempo di provarla io stesso.

[dissonance]

Puoi usare la disuguaglianza

$r(A)<=||A||$

dove $r(A)$ è il raggio spettrale di $A$, ovvero il massimo dei moduli degli autovalori.

[james bond1]

Ok grazie mille, proverò con i suggerimenti che mi avete dato e vi farò sapere se arrivo alla fine della dimostrazione!

[dissonance]

Se non ce l'hai ancora fatta ti dò un ultimo suggerimento: ricordati che il determinante è il prodotto degli autovalori.

[james bond1]

Scusate se rispondo solo ora!
Grazie a tutti per i suggerimenti, ce l'ho fatta usando la forma di Jordan!

[dissonance]

Addirittura... La dimostrazione è immediata, in realtà:

siano $lambda_1, \ldots, \lambda_n$ gli autovalori di $A$ (eventualmente ripetuti): per definizione

[tex]$\lvert \lambda_k \rvert \le r(A)$[/tex] per ogni $k=1, 2, \ldots n$;

quindi, moltiplicando,

[tex]$\lvert \det(A)\rvert =\lvert \lambda_1 \rvert\cdot \ldots\cdot \lvert \lambda_n \rvert \le r(A)^n$[/tex]

Dalla disuguaglianza $r(A)\le ||A||$ segue la tesi.