Immagini di due funzioni lineari

[mensola1]

Ciao a tutti,
ho due applicazioni lineari fatte così:

Come ho scritto in coda, per quali a, Im(T) = Im(Sa) ?
Io non ho veramente idea di come muovermi, anche perchè un'applicazione va da R^3 in R^3, ma l'altra parte da R^2 (ma siccome si parla di immagini, questo non centra niente). E quindi non so proprio come iniziare

[claudiamatica]

Prendi una base dello spazio di partenza e ottieni un sistema di generatori dello spazio di arrivo, cioè l'immagine dell'applicazione. Lo fai sia per $S_a$ che per $T$, ottenendo per T un certo sottospazio di $RR^3$. Poi vedi per quali valori di $a$ l'immagine di $S_a$ è la stessa (ovvero se riesci, con combinazione lineare dei generatori di un'immagine ad ottenere i generatori dell'altra)

[mensola1]

Poi vedi per quali valori di l'immagine di è la stessa (ovvero se riesci, con combinazione lineare dei generatori di un'immagine ad ottenere i generatori dell'altra)

è proprio questo che non riesco a fare... mi sto impiccando.
Praticamente prendo una base di T (la base canonica) e ne trovo l'immagine che è un sistema di generatori.
Stessa cosa con S_a.
Devo praticamente mostrare che i generatori di S_a possono essere scritti come multipli dei generatori di T?

[claudiamatica]

Non per forza come multipli, ma come combinazione lineare.
Per esempio un sistema di generatori di $Im T$ è $(4,2,1); (-1,2,3); (1,2,-1)$ (l'ultimo l'ho ottenuto prendendo l'immagine del 3° vettore della base canonica e poi riscalando, dividendo per 2)
Se non ho fatto male i conti questi sono linearmente indipendenti, cioè la dimensione di $Im T$ è 3.
Poichè $S_a$ è definita su $RR^2$ la dim. massima di $Im S_a$ è 2, per cui non possono mai essere uguali.