Spazi vettoriali, sottospazi generati da vettori.
Salve ragazzi, questo è il primo post in cui scrivo, sono iscritta da poco ed è anche la prima volta che mi iscrivo su un forum, quindi, vi prego, non siate crudeli con me.
Sono una studentessa universitaria che si sta preparando per l'esame di geometria ed algebra lineare. Ho un dubbio.
In un esercizio mi viene chiesto di determinare la dimensione di un sottospazio generato da tre vettori (-1,2,3) (0,-1,0) (1,0,1). Potreste darmi una mano? Cosa devo fare? Potreste linkarmi argomenti al riguardo? Vi ringrazio.
Sono una studentessa universitaria che si sta preparando per l'esame di geometria ed algebra lineare. Ho un dubbio.
In un esercizio mi viene chiesto di determinare la dimensione di un sottospazio generato da tre vettori (-1,2,3) (0,-1,0) (1,0,1). Potreste darmi una mano? Cosa devo fare? Potreste linkarmi argomenti al riguardo? Vi ringrazio.
Risposte
Beh, non voglio essere crudele (:D), ma il regolamento è chiaro: devi mostrare un tuo tentativo. E in questo caso lo dico per te: è meglio che provi a spiegare come ragioneresti, imparerai sicuramente di più.
Proviamo: com'è definita la dimensione di un (sotto)spazio vettoriale? A partire dalla definizione, sapresti descrivere un modo (astratto) per calcolarla?
Proviamo: com'è definita la dimensione di un (sotto)spazio vettoriale? A partire dalla definizione, sapresti descrivere un modo (astratto) per calcolarla?
Chiedo scusa 
Comunque, mi vengono in mente queste parole della prof "la dimensione di un sottospazio generato da n vettori è proprio n, sempre se essi non sono l.i." (e nel mio caso non lo sono). Giusto? L'esercizio così sarebbe terminato, ma ho seri dubbi :S
ps: scusatemi ancora.
Comunque, mi vengono in mente queste parole della prof "la dimensione di un sottospazio generato da n vettori è proprio n, sempre se essi non sono l.i." (e nel mio caso non lo sono). Giusto? L'esercizio così sarebbe terminato, ma ho seri dubbi :S
ps: scusatemi ancora.
dunque, proviamo di farci qualche domanda e risponderla insieme (cioè rispondi tu 
)..
I) cosa significa l.i. e come verifichiamo che questi lo siano? (ci sono un sacco di modi)..
II) se non sono linearmente indipendenti, cosa possiamo dire sulla dimensione da loro generata?
e prima di tutto, se i tuoi vettori sono quelli che hai dato, in che spazio ci troviamo?
)..I) cosa significa l.i. e come verifichiamo che questi lo siano? (ci sono un sacco di modi)..
II) se non sono linearmente indipendenti, cosa possiamo dire sulla dimensione da loro generata?
e prima di tutto, se i tuoi vettori sono quelli che hai dato, in che spazio ci troviamo?
Allora:
1) linearmente indipendenti significa che non sono uno la combinazione lineare dell'altra e lo si può verificare disponendo i vettori in una matrice e verificare che il rango sia diverso da zero, infatti il rango viene 3, quindi i tre vettori sono l.i.
2) Se non lo fossero bè..suggerimento? :S
Ci troviamo in R^3
1) linearmente indipendenti significa che non sono uno la combinazione lineare dell'altra e lo si può verificare disponendo i vettori in una matrice e verificare che il rango sia diverso da zero, infatti il rango viene 3, quindi i tre vettori sono l.i.
2) Se non lo fossero bè..suggerimento? :S
Ci troviamo in R^3
No, non è che il rango deve essere diverso da 0! Deve essere massimo.
Se non lo fossero, avrete sicuramente dimostrato un certo "teorema di esistenza di una base" per uno spazio vettoriale finitamente generato. Ti ricordi precisamente l'enunciato di questo teorema?
Se non lo fossero, avrete sicuramente dimostrato un certo "teorema di esistenza di una base" per uno spazio vettoriale finitamente generato. Ti ricordi precisamente l'enunciato di questo teorema?
Già, è vero, deve essere massimo.
Ogni insieme di generatori contiene una base.
Quindi, sono arrivata a questa conclusione, visto che ci troviamo in |R^3 ed i vettori sono tre e l.i. la Base è <(v1,v2,v3)>, la dimensione è 3.
E' corretta?
Ogni insieme di generatori contiene una base.
Quindi, sono arrivata a questa conclusione, visto che ci troviamo in |R^3 ed i vettori sono tre e l.i. la Base è <(v1,v2,v3)>, la dimensione è 3.
E' corretta?
Sì, e quindi lo spazio generato è tutto [tex]\mathbb{R}^3[/tex]. Ora, però, sapresti dirmi la dimensione dello spazio generato da questi vettori: [tex](1,2,1),(1,0,1),(0,3,0)[/tex]? E magari, sapresti trovare una base dello spazio in questione?
Una colonna è l.d. dall'altra, quindi la matrice associata verrebbe
1 2 0
1 0 0
1 3 0
Spero di non sbagliarmi, ma credo che la dimensione sia 2 visto che l'elemento z è sempre nullo, e, se non mi fucileranno perché sto applicando MOLTO PROBABILMENTE una mia nuova teoria, una base potrebbe essere (1,2) (1,0)
1 2 0
1 0 0
1 3 0
Spero di non sbagliarmi, ma credo che la dimensione sia 2 visto che l'elemento z è sempre nullo, e, se non mi fucileranno perché sto applicando MOLTO PROBABILMENTE una mia nuova teoria, una base potrebbe essere (1,2) (1,0)
Allora due parole sul metodo:
1) è buona norma, almeno fintanto che non si padroneggiano molto bene gli strumenti e la teoria, ridurre le matrici fino ad ottenere una matrice ridotta per righe;
2) i vettori che hai scritto sono elementi di [tex]\mathbb R^2[/tex], mentre noi stiamo lavorando in [tex]\mathbb R^3[/tex]. Non puoi togliere gli zeri!
Vediamo:
[tex]\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0\end{matrix}\right) \stackrel{R_2 \to R_2 - R_1}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & 0\end{matrix} \right) \stackrel{\begin{matrix}R_2 \to -\frac{1}{2}R_2 \\ R_3 \to \frac{1}{3} R_3\end{matrix}}{\longrightarrow} \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{matrix}\right) \stackrel{R_2 \to R_3 - R_2}{\longrightarrow}[/tex][tex]\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)[/tex]
Quindi il rango, cioè il numero delle righe non nulle è 2. Ora, le due righe non nulle generano esattamente lo stesso spazio vettoriale delle tre righe assegnate all'inizio. Pertanto, essendo linearmente indipendenti, segue che sono proprio la base che andavamo cercando.
1) è buona norma, almeno fintanto che non si padroneggiano molto bene gli strumenti e la teoria, ridurre le matrici fino ad ottenere una matrice ridotta per righe;
2) i vettori che hai scritto sono elementi di [tex]\mathbb R^2[/tex], mentre noi stiamo lavorando in [tex]\mathbb R^3[/tex]. Non puoi togliere gli zeri!
Vediamo:
[tex]\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0\end{matrix}\right) \stackrel{R_2 \to R_2 - R_1}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & 0\end{matrix} \right) \stackrel{\begin{matrix}R_2 \to -\frac{1}{2}R_2 \\ R_3 \to \frac{1}{3} R_3\end{matrix}}{\longrightarrow} \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{matrix}\right) \stackrel{R_2 \to R_3 - R_2}{\longrightarrow}[/tex][tex]\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)[/tex]
Quindi il rango, cioè il numero delle righe non nulle è 2. Ora, le due righe non nulle generano esattamente lo stesso spazio vettoriale delle tre righe assegnate all'inizio. Pertanto, essendo linearmente indipendenti, segue che sono proprio la base che andavamo cercando.
Perfetto, ho capito. Il mio problema è trovare i vettori l.d..
Comunque la dimensione è 3, vero?
Ti ringrazio tantissimo, mi hai dato uno spiraglio di speranza anche se la strada è ancora lunga 
Comunque la dimensione è 3, vero?
Ti ringrazio tantissimo, mi hai dato uno spiraglio di speranza
anche se la strada è ancora lunga
"maurer":
Quindi il rango, cioè il numero delle righe non nulle è 2. Ora, le due righe non nulle generano esattamente lo stesso spazio vettoriale delle tre righe assegnate all'inizio. Pertanto, essendo linearmente indipendenti, segue che sono proprio la base che andavamo cercando.
se la base è formata da 2 elementi, allora la dimensione sarà 2!
Quindi la base è il numero di vettori l.i.?
Dimensione, scusa, non base.
Ma non ti hanno dato una definizione di dimensione? (La domanda non vuole essere aggressiva...)
Per definizione, si dice dimensione di uno spazio la cardinalità di una qualsiasi base. Naturalmente bisogna fare tutto il lavoro preliminare per controllare che questa definizione sia ben data (lemma di Steinitz ecc.), ma questo è un altro discorso.
Per definizione, si dice dimensione di uno spazio la cardinalità di una qualsiasi base. Naturalmente bisogna fare tutto il lavoro preliminare per controllare che questa definizione sia ben data (lemma di Steinitz ecc.), ma questo è un altro discorso.
La prof non è stata molto chiara..per questo sto avendo dei problemi.
Se non sei iscritta a matematica o a fisica purtroppo temo che sia (quasi) normale.
Se sei iscritta a matematica o a fisica, è molto grave. Questi sono strumenti fondamentali! Ti consiglio di cercare complementi per conto tuo ed approfondire adeguatamente. Lacune in algebra lineare ti renderanno la vita estremamente difficoltosa nel seguito...
Se sei iscritta a matematica o a fisica, è molto grave. Questi sono strumenti fondamentali! Ti consiglio di cercare complementi per conto tuo ed approfondire adeguatamente. Lacune in algebra lineare ti renderanno la vita estremamente difficoltosa nel seguito...
No no, sono iscritta in ingegneria, ma comunque sto facendo delle ricerche da me. Altrimenti sarebbe impossibile, come si è potuto vedere. Assurdo. Io, molto probabilmente, non avrò un lavoro dopo tutta questa faticata mentre certi prof..lasciamo perdere va, è meglio. Questa è l'Italia. L'impegno da parte mia c'è, ce la sto mettendo tutta, spero di riuscire almeno a darmi questa benedettissima materia.
Grazie ancora
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