Base per topologia euclidea
Ciao. Stavo facendo esercizi e mi sono bloccato su questo esercizio che sembra banale ma non riesco a dimostrare:
${Q_r(x) \\ {x} | x in R^n,r>0}$ è una base per la topologia Euclidea di $R^n$.
Qualcuno di voi potrebbe darmi una dritta?
${Q_r(x) \\ {x} | x in R^n,r>0}$ è una base per la topologia Euclidea di $R^n$.
Qualcuno di voi potrebbe darmi una dritta?
Risposte
Cioè gli intorni sferici di $RR^n$ private di $x$?
Beh fai vedere che ricopre $RR^n$ e che se due elementi della base hanno intersezione non vuota esiste un elemento della base che lo contiene e che è contenuto in tale intersezione.
Credo basti lavorare un po' su $r$
Beh fai vedere che ricopre $RR^n$ e che se due elementi della base hanno intersezione non vuota esiste un elemento della base che lo contiene e che è contenuto in tale intersezione.
Credo basti lavorare un po' su $r$
"mistake89":
Cioè gli intorni sferici di $RR^n$ private di $x$?
Beh fai vedere che ricopre $RR^n$ e che se due elementi della base hanno intersezione non vuota esiste un elemento della base che lo contiene e che è contenuto in tale intersezione.
Credo basti lavorare un po' su $r$
Si sarebbero i quadrati di centro $x$ e raggio $r$ e poi privati del punto $x$. comunque io non riesco a scrivere in formule quello che tu mi hai detto di fare. Anche io so che bisogna dimostrare quello e intuitivamente riesco ad avere un idea di come vanno le cose ma non riesco a scriverlo in modo rigoroso. Se puoi darmi un input.
Pensa prima la piano, magari è più semplice da immaginare.
Un quadrato lo immaginiamo formato da $]x_1,x_1+r_1[\times]y_1,y_1+r_1[$, mentre il secondo da $]x_2,x_2+r_2[ \times ]y_2,y_2+r_2[$
Ora a meno di permutare gli indici puoi considerare che l'intersezione sia $[x_2,x_1+r_1] \times [y_2,y_1+r_1]$
Ora $x$ sta qui dentro. Quindi considera le distanze dai lati e prendi la minore $d$. Considera ora $x+epsilon$ con $epsilon >0$ opportuno. Allora il quadrato $Q_d (x+epsilon)$
Prova a formalizzare un po' l'ultima parte. Sono un po' fretta e non riesco a farlo io!
Ovviamente controlla la correttezza di ciò che ho detto
Un quadrato lo immaginiamo formato da $]x_1,x_1+r_1[\times]y_1,y_1+r_1[$, mentre il secondo da $]x_2,x_2+r_2[ \times ]y_2,y_2+r_2[$
Ora a meno di permutare gli indici puoi considerare che l'intersezione sia $[x_2,x_1+r_1] \times [y_2,y_1+r_1]$
Ora $x$ sta qui dentro. Quindi considera le distanze dai lati e prendi la minore $d$. Considera ora $x+epsilon$ con $epsilon >0$ opportuno. Allora il quadrato $Q_d (x+epsilon)$
Prova a formalizzare un po' l'ultima parte. Sono un po' fretta e non riesco a farlo io!
Ovviamente controlla la correttezza di ciò che ho detto
"mistake89":
Pensa prima la piano, magari è più semplice da immaginare.
Un quadrato lo immaginiamo formato da $]x_1,x_1+r_1[\times]y_1,y_1+r_1[$, mentre il secondo da $]x_2,x_2+r_2[ \times ]y_2,y_2+r_2[$
Ora a meno di permutare gli indici puoi considerare che l'intersezione sia $[x_2,x_1+r_1] \times [y_2,y_1+r_1]$
Ora $x$ sta qui dentro. Quindi considera le distanze dai lati e prendi la minore $d$. Considera ora $x+epsilon$ con $epsilon >0$ opportuno. Allora il quadrato $Q_d (x+epsilon)$
Scusa "mistake89" ma la tua spiegazione non mi è chiara. Ho proprio buio totale.
Prova a disegnarlo magari è più chiaro, purtroppo in questi giorni non ho molto tempo per mettermici sopra!
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