Esercizio di topologia
Sia B una famiglia di parti di $R^2$ costituita dal punto (0,0) e dalle rette passanti per tali punti. B è una base per una topologia A di $R^2$. Denotiamo con S tale spazio topologico.
1) S è connesso?
2) S è compatto?
3) S è metrizzabile?
4) Provare che ogni funzione di S in S è continua in (0,0)
5) Quali sono le successioni di S convergenti in (0,0)? Quali sono le successioni di S convergenti?
Svolgimento:
1) uno spazio topologico S si dice connesso se S è l'unico sottoinsieme ad essere sia aperto che chiuso. Visto che gli elementi della mia topologia sono tutte le possibile unione e intersezioni tra aperti della base più $R^2$ ed il vuoto, ottengo che gli elementi della mia topologia sono il vuoto, $R^2$ , le rette e il punto (0,0), ora il complementare di una retta è formato dai due semipiani in cui essa tagli $R^2$ e il complementare di (0,0) è $R^2-(0,0)$, dunque il mio spazio non è connesso.
2) Uno spazio topologico è compatto se e solo se da ogni suo ricoprimento possiamo estrarre un sottoricoprimento finito. Visto che B è un ricoprimento per il mio spazio topologico e da questo non riesco ad estrarre un sottoricoprimento finito che ricopre S, ottengo che S non è compatto.
3) Posso utilizzare il lemma di Urysohn, secondo il quale uno spazio è metrizzabile se è $T_3$ ed $N_2$.
Inizio col verificare se lo spazio è $T_0$, poichè se non lo è non è sicuramente nenache $T_3$ e quindi non è metrizzabile. Uno spazio è $T_0$ se e soltanto se per ogni coppia di punti P e Q di S esiste un intorno di P che non contiene Q o uno di Q che non contiene P. Direi che allora lo spazio non è $T_0$ poichè una retta che contiene P contiene $ oo ^1 $.
4) una funzione è continua se la controimmagine di ogni intorno di un punto di S è ancora un intorno di un punto di S; ovvio, visto che tutte le rette si intersecano in (0,0).
5)Le successioni convergenti a (0,0) sono quelle che si sviluppano lungo le rette. Le successioni di S convergenti, sono le costanti e quelle appena dette.
Potete dirmi cosa ho sbagliato , cosa si potrebbe fare in maniera più veloce, come potrei formalizzarla meglio se è fatto bene, etc.....?
1) S è connesso?
2) S è compatto?
3) S è metrizzabile?
4) Provare che ogni funzione di S in S è continua in (0,0)
5) Quali sono le successioni di S convergenti in (0,0)? Quali sono le successioni di S convergenti?
Svolgimento:
1) uno spazio topologico S si dice connesso se S è l'unico sottoinsieme ad essere sia aperto che chiuso. Visto che gli elementi della mia topologia sono tutte le possibile unione e intersezioni tra aperti della base più $R^2$ ed il vuoto, ottengo che gli elementi della mia topologia sono il vuoto, $R^2$ , le rette e il punto (0,0), ora il complementare di una retta è formato dai due semipiani in cui essa tagli $R^2$ e il complementare di (0,0) è $R^2-(0,0)$, dunque il mio spazio non è connesso.
2) Uno spazio topologico è compatto se e solo se da ogni suo ricoprimento possiamo estrarre un sottoricoprimento finito. Visto che B è un ricoprimento per il mio spazio topologico e da questo non riesco ad estrarre un sottoricoprimento finito che ricopre S, ottengo che S non è compatto.
3) Posso utilizzare il lemma di Urysohn, secondo il quale uno spazio è metrizzabile se è $T_3$ ed $N_2$.
Inizio col verificare se lo spazio è $T_0$, poichè se non lo è non è sicuramente nenache $T_3$ e quindi non è metrizzabile. Uno spazio è $T_0$ se e soltanto se per ogni coppia di punti P e Q di S esiste un intorno di P che non contiene Q o uno di Q che non contiene P. Direi che allora lo spazio non è $T_0$ poichè una retta che contiene P contiene $ oo ^1 $.
4) una funzione è continua se la controimmagine di ogni intorno di un punto di S è ancora un intorno di un punto di S; ovvio, visto che tutte le rette si intersecano in (0,0).
5)Le successioni convergenti a (0,0) sono quelle che si sviluppano lungo le rette. Le successioni di S convergenti, sono le costanti e quelle appena dette.
Potete dirmi cosa ho sbagliato , cosa si potrebbe fare in maniera più veloce, come potrei formalizzarla meglio se è fatto bene, etc.....?
Risposte
Tutt'ok! 
Non sai che peso mi hai tolto, mi sembreva di non sapere nulla.
Non ti fissare sull'ignoranza, al più sii un'ignorante alla Socrate! 
Scusate se mi intrometto - ci sono alcuni punti che non mi sono chiari o che io direi in maniera diversa (però potrebbe essere colpa del fatto che non mastico esercizi di topologia di questo tipo da un po' di tempo).
1) Non ho capito quale sia l'insieme che non è nè aperto nè chiuso .
2) Mi pare tutto ok
3) Non capisco chi sia $oo^1$. Forse c'è un errore di battitura. L'idea dovrebbe essere che preso un punto $P$ diverso da $(0,0)$ e un suo qualunque intorno $U$, quest'ultimo dovrebbe
conterere una retta e quindi $(0,0)\in U$ giusto? Si può anche prendere due punti $P$ ed $S$ sulla medesima retta e rifare lo stesso discorso.
4) Va bene ma mi pare detto male (scusa ...). Giustamente devi far vedere che che la controimmagine di un intorno di $f(0,0)$ ($f$ è la funzione) deve essere un intorno di $(0,0)$.
Ma in tale controimmagine c'è ovviamente $\{(0,0)\}$ che è un aperto (perché sta nella base).
5) Non ci ho pensato a fondo ma mi sembra che le uniche successioni che convergono a $(0,0)$ siano definitivamente costanti (prendi ${(0,0)}$ come intorno di $(0,0)$ ...).
Per gli altri punti dovrebbero essere quelle che si sviluppano sulle rette (come hai scritto), nel senso che definitivamente i loro punti devono giacere su una retta (senza necessariamente
convergere in senso standard).
1) Non ho capito quale sia l'insieme che non è nè aperto nè chiuso .
2) Mi pare tutto ok
3) Non capisco chi sia $oo^1$. Forse c'è un errore di battitura. L'idea dovrebbe essere che preso un punto $P$ diverso da $(0,0)$ e un suo qualunque intorno $U$, quest'ultimo dovrebbe
conterere una retta e quindi $(0,0)\in U$ giusto? Si può anche prendere due punti $P$ ed $S$ sulla medesima retta e rifare lo stesso discorso.
4) Va bene ma mi pare detto male (scusa ...). Giustamente devi far vedere che che la controimmagine di un intorno di $f(0,0)$ ($f$ è la funzione) deve essere un intorno di $(0,0)$.
Ma in tale controimmagine c'è ovviamente $\{(0,0)\}$ che è un aperto (perché sta nella base).
5) Non ci ho pensato a fondo ma mi sembra che le uniche successioni che convergono a $(0,0)$ siano definitivamente costanti (prendi ${(0,0)}$ come intorno di $(0,0)$ ...).
Per gli altri punti dovrebbero essere quelle che si sviluppano sulle rette (come hai scritto), nel senso che definitivamente i loro punti devono giacere su una retta (senza necessariamente
convergere in senso standard).
Concordo con Viciousgoblin, le dimostrazioni 1, 3, 4, 5 sono molto imprecise, la conclusione di 1 è sbagliata (S è connesso) e anche quella di 5 (riguardo le successioni convergenti a (0,0)).
[mod="Martino"]Vorrei ricordare nuovamente a j18eos di rispondere con sicurezza solo se è davvero davvero davvero sicuro. Grazie
[/mod]
[mod="Martino"]Vorrei ricordare nuovamente a j18eos di rispondere con sicurezza solo se è davvero davvero davvero sicuro. Grazie
[/mod]
Ho provato a riscriverlo in una maniera più comprensibile.
Svolgimento:
1) uno spazio topologico S si dice connesso se S è l'unico sottoinsieme ad essere sia aperto che chiuso.
Visto che gli aperti della mia topologia sono tutte le possibili unioni tra elementi della base, ottengo che gli aperti della mia topologia sono il vuoto, $R^2$ , le rette, il punto (0,0),le unioni di due rette, tre rette, etc.....
Ora voglio vedere se il mio spazio topologico è connesso. Per fare questo devo vedere se tutti gli altri aperti non vuoti della mia topologia non sono anche chiusi. Devo allora considerare i complementari di ogni aperto: il complementare di ogni retta , o unione di due rette, di tre rette, etc...., sono delle porzioni di piani ; tante più sono le rette tanto più il mio piano è diviso; in ogni caso, non ottengo mai nuovamente una retta per l'origine o l'origine, o unioni di rette; quindi gli oggetti in questione non sono mai aperti e chiusi contemporanemente.
Quindi S è l'unico sottoinsieme che sia sia aperto che chiuso e quindi è connesso.
2) Uno spazio topologico è compatto se e solo se da ogni suo ricoprimento possiamo estrarre un sottoricoprimento finito. Visto che B è un ricoprimento per il mio spazio topologico e da questo non riesco ad estrarre un sottoricoprimento finito che ricopre S, ottengo che S non è compatto.
3) Posso utilizzare il lemma di Urysohn, secondo il quale uno spazio è metrizzabile se è $T_3$ ed $N_2$.
Inizio col verificare se lo spazio è $T_0$, poichè se non lo è non è sicuramente nenache $T_3$ e quindi non è metrizzabile. Uno spazio è $T_0$ se e soltanto se per ogni coppia di punti P e Q di S esiste un intorno di P che non contiene Q o uno di Q che non contiene P. Direi che allora lo spazio non è $T_0$ poichè un intorno di un punto P diverso da (0,0) è una retta che quindi contiene $ oo ^1 $ punti.
4) una funzione è continua se la controimmagine di ogni intorno di un punto di S è ancora un intorno di un punto di S. Posso prendere dunque un generico intorno di $f(0,0)$; un tale intorno è ad esempio una retta; se faccio la sua controimmagine, ottengo che comunque il punto (0,0) è contenuto nell'aperto $[(0,0)]$, quindi la controimmagine di un intorno di $f(0,0)$ è un intorno di $(0,0)$ e dunque ogni funzione è continua in (0,0).
5)Le successioni di S convergenti, sono le costanti e quelle che si sviluppano lungo le rette. Per vedere come sono le successioni che convergono in (0,0), devo prendere un introno di (0,0), diciamo prendo il più piccolo possibile, ovvero $[(0,0)]$. In questo aperto, l'unico punto contenuto è $(0,0)$, quindi le uniche successioni convergenti a tale punto sono quelle definitivamente costanti.
Domanda: non posso prendere come intorno del punto (0,0) una retta? non possono esistere successioni che sviluppano lungo la retta e convergono a (0,0)?
Svolgimento:
1) uno spazio topologico S si dice connesso se S è l'unico sottoinsieme ad essere sia aperto che chiuso.
Visto che gli aperti della mia topologia sono tutte le possibili unioni tra elementi della base, ottengo che gli aperti della mia topologia sono il vuoto, $R^2$ , le rette, il punto (0,0),le unioni di due rette, tre rette, etc.....
Ora voglio vedere se il mio spazio topologico è connesso. Per fare questo devo vedere se tutti gli altri aperti non vuoti della mia topologia non sono anche chiusi. Devo allora considerare i complementari di ogni aperto: il complementare di ogni retta , o unione di due rette, di tre rette, etc...., sono delle porzioni di piani ; tante più sono le rette tanto più il mio piano è diviso; in ogni caso, non ottengo mai nuovamente una retta per l'origine o l'origine, o unioni di rette; quindi gli oggetti in questione non sono mai aperti e chiusi contemporanemente.
Quindi S è l'unico sottoinsieme che sia sia aperto che chiuso e quindi è connesso.
2) Uno spazio topologico è compatto se e solo se da ogni suo ricoprimento possiamo estrarre un sottoricoprimento finito. Visto che B è un ricoprimento per il mio spazio topologico e da questo non riesco ad estrarre un sottoricoprimento finito che ricopre S, ottengo che S non è compatto.
3) Posso utilizzare il lemma di Urysohn, secondo il quale uno spazio è metrizzabile se è $T_3$ ed $N_2$.
Inizio col verificare se lo spazio è $T_0$, poichè se non lo è non è sicuramente nenache $T_3$ e quindi non è metrizzabile. Uno spazio è $T_0$ se e soltanto se per ogni coppia di punti P e Q di S esiste un intorno di P che non contiene Q o uno di Q che non contiene P. Direi che allora lo spazio non è $T_0$ poichè un intorno di un punto P diverso da (0,0) è una retta che quindi contiene $ oo ^1 $ punti.
4) una funzione è continua se la controimmagine di ogni intorno di un punto di S è ancora un intorno di un punto di S. Posso prendere dunque un generico intorno di $f(0,0)$; un tale intorno è ad esempio una retta; se faccio la sua controimmagine, ottengo che comunque il punto (0,0) è contenuto nell'aperto $[(0,0)]$, quindi la controimmagine di un intorno di $f(0,0)$ è un intorno di $(0,0)$ e dunque ogni funzione è continua in (0,0).
5)Le successioni di S convergenti, sono le costanti e quelle che si sviluppano lungo le rette. Per vedere come sono le successioni che convergono in (0,0), devo prendere un introno di (0,0), diciamo prendo il più piccolo possibile, ovvero $[(0,0)]$. In questo aperto, l'unico punto contenuto è $(0,0)$, quindi le uniche successioni convergenti a tale punto sono quelle definitivamente costanti.
Domanda: non posso prendere come intorno del punto (0,0) una retta? non possono esistere successioni che sviluppano lungo la retta e convergono a (0,0)?
Le dimostrazioni 1,3,4,5 sono ancora troppo imprecise. Un consiglio: dovresti partire da osservazioni il più possibile facili.
In questo caso l'osservazione facile che devi fare prima di ogni altra è la seguente: ogni aperto non vuoto di [tex]S[/tex] contiene [tex](0,0)[/tex].
Prova ora
In questo caso l'osservazione facile che devi fare prima di ogni altra è la seguente: ogni aperto non vuoto di [tex]S[/tex] contiene [tex](0,0)[/tex].
Prova ora
1. Posso dire che S è connesso poichè non è unione di due aperti disgiunti, visto che tutti gli aperti hanno (0,0) come punto in comune.
3. Visto che ogni aperto contiene (0,0) ogni intorno di un qualunque punto conterrà (0,0) e quindi lo spazio non è $T_0$, dunque non è $T_3$, ergo non è metrizzabile.
Nel frattempo provo con le altre
3. Visto che ogni aperto contiene (0,0) ogni intorno di un qualunque punto conterrà (0,0) e quindi lo spazio non è $T_0$, dunque non è $T_3$, ergo non è metrizzabile.
Nel frattempo provo con le altre
"biggest":
Domanda: non posso prendere come intorno del punto (0,0) una retta? non possono esistere successioni che sviluppano lungo la retta e convergono a (0,0)?
Il fatto è che se una successione, diciamo $(a_n)$, converge a $(0,0)$ allora preso un QUALUNQUE intorno $U$ di $(0,0)$ deve essere definitivamente $a_n\in U$.
Prendendo $U={(0,0)}$ ottieni che definitivamente $a_n=(0,0)$ e a questo punto non c'è più molta scelta ....
Quindi effettivamente mi conviene sempre prendere l'intorno più piccolo?
"biggest":
Quindi effettivamente mi conviene sempre prendere l'intorno più piccolo?
Beh, è quello che ti dà più informazioni. Analogamente se prendi $P$ diverso dall'origine ....
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