Calcolo di autovalori di una matrice 5x5

[zolfo]

Data la matrice:
$((5,5,5,5,5), (5,5,5,5,5), (5,5,5,5,5), (5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5))$

se ne calcolino gli autovalori e se ne discuta la diagonalizzabilita.

il mio problema e calcolare gli autovalori..riducendola per righe, ottengo 2 autovalori $\Lambda1$ =5 con molteplicità 1 e $\Lambda2$=0 con molteplicità 4
guardando le soluzioni ho notato ke $\Lambda1$ è uguale a 25,ma se riduco la matrice non ottengo lo stesso risultato? devo per forza calcolare gli autovalori senza ridurla?perche se cosi fosse ci metterei una vita,magari mi sfugge qualcosa!
grazie a tutti per le risposte

[Sk_Anonymous]

Magari sono linearmente indipendenti:

$((5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5))((1),(1),(1),(1),(1))=25((1),(1),(1),(1),(1))$

$((5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5))((-4),(1),(1),(1),(1))=0((-4),(1),(1),(1),(1))$

$((5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5))((1),(-4),(1),(1),(1))=0((1),(-4),(1),(1),(1))$

$((5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5))((1),(1),(-4),(1),(1))=0((1),(1),(-4),(1),(1))$

$((5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5))((1),(1),(1),(-4),(1))=0((1),(1),(1),(-4),(1))$

[zolfo]

ma per calcolare gli autovalori posso ridurre la matrice?( non parlo di questa matrice intendo in generale )

[matteotex1]

Non dipendendo il polinomio caratteristico di una matrice dalla base rispetto a cui essa è associata, se riduciamo la matrice tramite operazioni fondamentali sulle righe non dovremmo modificare gli autovalori...ma non ne sono troppo sicuro...

[Paolo902]

Attenzione ragazzi, quanto dite è in generale falso e bisogna stare molto attenti.

Per calcolare autovalori e autovettori NON si può ridurre per righe (né per colonne) la matrice, giacché queste operazioni in genere alterano autovalori e autovettori. Si era parlato di questo argomento circa un anno fa in un topic con dissonance, se lo trovo ve lo linko.

Il mio consiglio spassionato: non toccate mai le matrici quando dovete calcolarne autovalori e autovettori.
L'unica cosa per cui sono gli autovalori sono invarianti è il coniugio, cioé il cambiamento di base: [tex]$A$[/tex] e [tex]$P^{-1}AP$[/tex] (dove [tex]$A$[/tex] è una matrice quadrata qualsiasi di ordine [tex]$n$[/tex] e [tex]$P$[/tex] è una matrice quadrata invertibile di ordine [tex]$n$[/tex]) hanno gli stessi autovalori. Questo segue dal fatto che il polinomio caratteristico di una applicazione lineare non dipende dalla base.

N.B. Fate attenzione che se al posto dell'inversa prendete la trasposta non ottenete in genere matrici simili: [tex]$A$[/tex] e [tex]$P^{T}AP$[/tex] non hanno in generale gli stessi autovalori ma solo la stessa segnatura (è questa la legge di inerzia di Sylvester).

Domanda bonus: c'è un unico caso (importantissimo) in cui [tex]$A$[/tex] e [tex]$P^{T}AP$[/tex] hanno gli stessi autovalori. Riuscite a vedere quale?

[franced]

"sandrino1989":Data la matrice:
$((5,5,5,5,5), (5,5,5,5,5), (5,5,5,5,5), (5,5,5,5,5),(5,5,5,5,5))$

se ne calcolino gli autovalori e se ne discuta la diagonalizzabilita.

La matrice è simmetrica, quindi è diagonalizzabile (teorema spettrale).

Per quanto riguarda gli autovalori basta ragionare nel modo seguente:
la matrice ha rango = 1 e la traccia è $ne 0$, quindi avremo un autovalore $\lambda \ne 0$ con molteplicità
algebrica =1 e l'autovalore nullo con molteplicità algebrica = 4.
Poiché la traccia della matrice è uguale alla somma degli autovalori, abbiamo che:

$\lambda + 0 + 0 + 0 + 0 = 25$

$\lambda = 25$ .

In definitiva, la matrice di partenza è simile alla matrice
$((25,0,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0))$

[borador]

"franced":
Per quanto riguarda gli autovalori basta ragionare nel modo seguente:
la matrice ha rango = 1, quindi avremo un autovalore $\lambda \ne 0$ con molteplicità
algebrica =1 e l'autovalore nullo con molteplicità algebrica = 4.

Ciao franced, stavo cercando una dimostrazione di quanto hai detto:
ho pensato che possa derivare dal fatto che visto che il nucleo ha dimensione 4, ci sono 4 autovettori che hanno come autovalore 0.
E' corretto? Altrimenti come si dimostra quello che hai detto tu?
Grazie della delucidazione!

[Sk_Anonymous]

Dimostrazione rigorosa quanto elegante. Mi congratulo.

[borador]

"speculor":Dimostrazione rigorosa quanto elegante. Mi congratulo.

Non ho capito se stai scherzando o no..!
In ogni caso è proprio perché non sapevo dimostrarlo che ho chiesto aiuto a franced! La mia era solo un'idea, non voleva essere una dimostrazione rigorosa.

[Sk_Anonymous]

Mi stavo riferendo a franced. Non è nel mio stile denigrare il lavoro degli altri. Scusa se ti sei sentito tirato in causa.

[borador]

Nono tranquillo non avevo capito! beh, allora aspetto la risposta di franced!

[franced]

Dato che il rango della matrice è 1, la dimensione del nucleo è 4 (= 5-1).
Dato che il nucleo è costituito dagli autovettori relativi all'autovalore nullo
possiamo dire che l'autospazio relativo a $\lambda=0$ ha dimensione 4.
Dato poi che la traccia è nulla, esiste anche un autovalore $\lambda ne 0$.

[borador]

Si! Forse mi sono spiegato male, ma è quello che volevo dire io!