Problema sulla parabola
Buongiorno a tutti!
Ho un dubbio sul seguente problema:
"Scrivere le equazioni delle parabole che hanno per direttrice la retta [tex]x+y+2=0[/tex] e sono tangenti all'asse [tex]x=0[/tex] nel punto [tex](0;-1)[/tex]".
La mia idea era quella di scrivere innanzitutto l'equazione di un fascio di coniche bitangenti, ma non riesco a sfruttare l'equazione della direttrice: mi viene da pensare solo al fatto che questa è ortogonale all'asse di simmetria della parabola. Tra l'altro facendo uno schizzo, mi sembra che di parabole che verificano le condizioni poste ne esiste solo una.
Avreste qualche idea?
Vi ringrazio anticipatamente.
Ho un dubbio sul seguente problema:
"Scrivere le equazioni delle parabole che hanno per direttrice la retta [tex]x+y+2=0[/tex] e sono tangenti all'asse [tex]x=0[/tex] nel punto [tex](0;-1)[/tex]".
La mia idea era quella di scrivere innanzitutto l'equazione di un fascio di coniche bitangenti, ma non riesco a sfruttare l'equazione della direttrice: mi viene da pensare solo al fatto che questa è ortogonale all'asse di simmetria della parabola. Tra l'altro facendo uno schizzo, mi sembra che di parabole che verificano le condizioni poste ne esiste solo una.
Avreste qualche idea?
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Forse ho trovato la strada giusta:
il fascio di coniche bitangenti lo posso scrivere nella forma [tex]x+\lambda(y-x+1)^2=0[/tex] in quanto la parabola è tangente alla retta impropria, a [tex]x=0[/tex] e una conica degenere del fascio è la retta congiungente il punto improprio della parabola stessa [tex]P_\infty(1,1,0)[/tex] e il punto [tex](0,-1)[/tex]. Adesso però devo determinare [tex]\lambda[/tex] e credo sia arrivato il momento di sfruttare l'equazione della direttrice, ma non so esattamente cosa imporre...
il fascio di coniche bitangenti lo posso scrivere nella forma [tex]x+\lambda(y-x+1)^2=0[/tex] in quanto la parabola è tangente alla retta impropria, a [tex]x=0[/tex] e una conica degenere del fascio è la retta congiungente il punto improprio della parabola stessa [tex]P_\infty(1,1,0)[/tex] e il punto [tex](0,-1)[/tex]. Adesso però devo determinare [tex]\lambda[/tex] e credo sia arrivato il momento di sfruttare l'equazione della direttrice, ma non so esattamente cosa imporre...
Niente, nulla da fare! 
Sono d'accordo con il fascio che hai scritto tu.
Ora prova a concludere l'esercizio guardando questo file che ho scritto tempo fa:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... nerale.pdf
Ora prova a concludere l'esercizio guardando questo file che ho scritto tempo fa:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... nerale.pdf
Ho risolto l'esercizio!
Primo metodo:
scritto il fascio nella forma
[tex](y-x+1)^2 + 2 \lambda x = 0[/tex]
(conviene scriverlo così, almeno il [tex]\lambda[/tex] moltiplica solo la [tex]x[/tex]...)
ed utilizzando la formula per la direttrice che trovi nel file che ti ho detto
nel messaggio precedente si trova:
[tex]k=-1[/tex]
[tex]-2 = \dfrac{4 \cdot 1\cdot (-1)^2 - 2^2 + 4 \cdot 1 - (2 \lambda - 2)^2}
{4 \cdot (-1 \cdot 2 - (2 \lambda - 2))}[/tex]
quindi
[tex]\left\{ \begin{array}{l}
k=-1 \\[1mm]
\lambda = -2
\end{array} \right.[/tex]
quindi la parabola ha equazione cartesiana
[tex]x^2 - 2 x y + y^2 - 6 x + 2 y + 1 = 0[/tex] .
Secondo metodo (in realtà è migliore del primo metodo,
in quanto ne fornisce la giustificazione):
si scrive il fascio come nel primo metodo
[tex](y-x+1)^2 + 2 \lambda x = 0[/tex]
svolgendo i calcoli troviamo
[tex]x^2 - 2 x y + y^2 + (2\lambda - 2) x + 2 y + 1 = 0[/tex];
ora scriviamo l'equazione del luogo dei punti equidistanti dalla retta [tex]x+y+2=0[/tex]
e dal punto [tex](a,b)[/tex] (che non conosciamo...):
[tex]\dfrac{| x+y+2 |}{\sqrt{2}} = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}[/tex]
elevando al quadrato e semplificando si trova
[tex]x^2 - 2 x y + y^2 + (-4 - 4 a) x + (-4 - 4 b) y + 2 a^2 + 2 b^2 - 4 = 0[/tex]
confrontando le due equazioni si ricava
[tex]b = -3/2[/tex]
[tex]a = 1/2[/tex] oppure [tex]a = -1/2[/tex]
ma nel caso [tex]a = -1/2[/tex] risulta [tex]\lambda = 0[/tex]
e quindi il caso "buono" è [tex]a = 1/2[/tex] :
risulta [tex]\lambda = -2[/tex] , per cui l'equazione della parabola è
[tex]x^2 - 2 x y + y^2 - 6 x + 2 y + 1 = 0[/tex] .
Le coordinate del fuoco sono
[tex]F \left( \dfrac{1}{2} \,;\, -\dfrac{3}{2} \right)[/tex] .
Primo metodo:
scritto il fascio nella forma
[tex](y-x+1)^2 + 2 \lambda x = 0[/tex]
(conviene scriverlo così, almeno il [tex]\lambda[/tex] moltiplica solo la [tex]x[/tex]...)
ed utilizzando la formula per la direttrice che trovi nel file che ti ho detto
nel messaggio precedente si trova:
[tex]k=-1[/tex]
[tex]-2 = \dfrac{4 \cdot 1\cdot (-1)^2 - 2^2 + 4 \cdot 1 - (2 \lambda - 2)^2}
{4 \cdot (-1 \cdot 2 - (2 \lambda - 2))}[/tex]
quindi
[tex]\left\{ \begin{array}{l}
k=-1 \\[1mm]
\lambda = -2
\end{array} \right.[/tex]
quindi la parabola ha equazione cartesiana
[tex]x^2 - 2 x y + y^2 - 6 x + 2 y + 1 = 0[/tex] .
Secondo metodo (in realtà è migliore del primo metodo,
in quanto ne fornisce la giustificazione):
si scrive il fascio come nel primo metodo
[tex](y-x+1)^2 + 2 \lambda x = 0[/tex]
svolgendo i calcoli troviamo
[tex]x^2 - 2 x y + y^2 + (2\lambda - 2) x + 2 y + 1 = 0[/tex];
ora scriviamo l'equazione del luogo dei punti equidistanti dalla retta [tex]x+y+2=0[/tex]
e dal punto [tex](a,b)[/tex] (che non conosciamo...):
[tex]\dfrac{| x+y+2 |}{\sqrt{2}} = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}[/tex]
elevando al quadrato e semplificando si trova
[tex]x^2 - 2 x y + y^2 + (-4 - 4 a) x + (-4 - 4 b) y + 2 a^2 + 2 b^2 - 4 = 0[/tex]
confrontando le due equazioni si ricava
[tex]b = -3/2[/tex]
[tex]a = 1/2[/tex] oppure [tex]a = -1/2[/tex]
ma nel caso [tex]a = -1/2[/tex] risulta [tex]\lambda = 0[/tex]
e quindi il caso "buono" è [tex]a = 1/2[/tex] :
risulta [tex]\lambda = -2[/tex] , per cui l'equazione della parabola è
[tex]x^2 - 2 x y + y^2 - 6 x + 2 y + 1 = 0[/tex] .
Le coordinate del fuoco sono
[tex]F \left( \dfrac{1}{2} \,;\, -\dfrac{3}{2} \right)[/tex] .
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