Differenza tra C e R^2
Definizione di C: l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali.
Definizione di R^2: l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali.
Ho letto che c'è una corrispondenza biunivoca tra C e R^2. ma mi chiedevo se si potesse dire di più. Possiamo dire che C e R^2 sono praticamente lo stesso insieme?
Definizione di R^2: l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali.
Ho letto che c'è una corrispondenza biunivoca tra C e R^2. ma mi chiedevo se si potesse dire di più. Possiamo dire che C e R^2 sono praticamente lo stesso insieme?
Risposte
Penso che puoi chiamare $CC$ l'insieme delle
coppie ordinate di numeri reali su cui hai definito in un certo modo la somma ed il prodotto interno.
Voglio dire che, una volta definita quella somma e quel prodotto, allora il dominio di quelle funzioni puoi chiamarlo$CC^2$
coppie ordinate di numeri reali su cui hai definito in un certo modo la somma ed il prodotto interno.
Voglio dire che, una volta definita quella somma e quel prodotto, allora il dominio di quelle funzioni puoi chiamarlo$CC^2$
Appunto...ma anche su R^2 accade la stessa cosa, o sbaglio...un elemento di R^2 appartiene anche a C...perchè dunque non dire che $CC=RR^2$?
Il problema riguarda anche le operazioni che hai definito sugli insiemi $CC$ e $RR^2$
in $CC$ si ha $(0,1)*(0,1)=(-1,0)$ (infatti $i*i=-1$)
in $RR^2$, invece $(0,1)*(0,1)=(0,1)$
Quindi $(CC,+,*)!=(RR^2,+,*)$
Ps: guarda qui la definizione 3.1 a pagina 2
in $CC$ si ha $(0,1)*(0,1)=(-1,0)$ (infatti $i*i=-1$)
in $RR^2$, invece $(0,1)*(0,1)=(0,1)$
Quindi $(CC,+,*)!=(RR^2,+,*)$
Ps: guarda qui la definizione 3.1 a pagina 2
Stavo anche pensando che C è un campo, mentre R^2 è unop SPAZIO VETTORIALE...c'è una differenza abissale, ma non riesco ancora a cogliere tale differenza...Praticamente C è UN NUMERO, mentre R è una COPPIA di due numeri...anche C è definito come una coppia di numeri ma solo "all'inizio" come dire...non so dire esattamente
In effetti la definizione di $CC$ come coppia di reali /è/ la definizione formale di $CC$, insieme alle definizioni di somma e prodotto interno.
La "forma algebrica" ne è derivata _avendo definito $i$.
La "forma algebrica" ne è derivata _avendo definito $i$.
A questo punto mi chiedo perchèp non definire C uno spazio vettoriale
Infatti $CC$ è uno spazio vettoriale, sul campo $CC$.
Più in generale, $CC^n$ è uno spazio vettoriale sul campo $CC$, con $n in NN$
Più in generale, $CC^n$ è uno spazio vettoriale sul campo $CC$, con $n in NN$
"newton_1372":
A questo punto mi chiedo perchèp non definire C uno spazio vettoriale
Si può certamente fare!
Ma l'utilità è proprio definirne il prodotto interno, quindi avere un campo. L'utilità di avere quel campo.
Credo che il problema sollevato da newton si basi proprio su questo fatto: in che senso sto definendo [tex]$\mathbb{C}$[/tex]? Il fatto è che, come sottolineavano anche orazioster e Gi8, tale insieme può essere definito come campo e come spazio vettoriale: solo in un secondo momento si può vedere che queste due definizioni sono, sostanzialmente, la stessa cosa (e sinceramente mi chiedo se ci sia qualche altro spazio che soddisfa una tale proprietà oltre al campo dei complessi... ma al momento non mi vengono idee). Quando allora vai ad identificare il campo complesso con [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex], questa identificazione va fatta solo dal punto di vista di spazi vettoriali (o, se vuoi, puoi considerarne una più "raffinata" identificando i due spazi topologicamente). Il bello della matematica sta qui: un "oggetto" può essere visto come "tante cose diverse", a seconda dell'ambito in cui viene considerato. Ricordo una frase del mio correlatore quando, per fargli capire una cosa gli portai ad esempio la sfera di dimensione dispari: lui mi guardò e disse "Vabbé, ma la sfera può essere che cavolo ti pare!" 
La sfera ha 3 dimensioni...:S
"newton_1372":
La sfera ha 3 dimensioni...:S
Definisci "sfera".
Ci provo a definirla.
Sia O = (a0,b0,c0) un punto $\in RR^3$. Chiamiamo SFERA di centro O e raggio r l'insieme dei punti P tale che, detta d la distanza tra P e O, si ha $d<= r$.
Superfluo definire cos'è la distanza tra due punti di R3, è abbastanza scontato...
In ogni caso se facciamo delle considerazioni di algebra lineare, una sfera è rappresentabile in uno spazio con base (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1). La dimensione è il numero dei generatori che costituisce una base no?
O se preferisci una definizione ancora più analitica, credo che (in somiglianza della circonferenza) posso esprimerla così
$x^2+y^2+z^2+axy+bxz+cyz+dx+ey+fz+g=0$.
O forse l'equazione sopra rappresenta più una "superficie sferica" che una sfera vera e propria
Sia O = (a0,b0,c0) un punto $\in RR^3$. Chiamiamo SFERA di centro O e raggio r l'insieme dei punti P tale che, detta d la distanza tra P e O, si ha $d<= r$.
Superfluo definire cos'è la distanza tra due punti di R3, è abbastanza scontato...
In ogni caso se facciamo delle considerazioni di algebra lineare, una sfera è rappresentabile in uno spazio con base (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1). La dimensione è il numero dei generatori che costituisce una base no?
O se preferisci una definizione ancora più analitica, credo che (in somiglianza della circonferenza) posso esprimerla così
$x^2+y^2+z^2+axy+bxz+cyz+dx+ey+fz+g=0$.
O forse l'equazione sopra rappresenta più una "superficie sferica" che una sfera vera e propria
La sfera $n$-dimensionale di raggio $r$ e centro l'origine è il seguente oggetto:
[tex]$S^n(r)=\left\{(x_1,\ldots,x_{n+1})\in\mathbb{R}^{n+1}\ :\ \sum_{j=1}^{n+1}x_j^2=r^2\right\}$[/tex]
Newton, la prossima volta, prima di aprire la bocca e dare aria alla medesima, rifletti su ciò che dici. Te l'ho già detto una volta e in un'altra sede, se ben ti ricordi.
[tex]$S^n(r)=\left\{(x_1,\ldots,x_{n+1})\in\mathbb{R}^{n+1}\ :\ \sum_{j=1}^{n+1}x_j^2=r^2\right\}$[/tex]
Newton, la prossima volta, prima di aprire la bocca e dare aria alla medesima, rifletti su ciò che dici. Te l'ho già detto una volta e in un'altra sede, se ben ti ricordi.
Non conoscevo questo oggetto...non era mia intenzione darmi arie, forse la discussione mi stava un pò appassionando...mi dispiace per il fraintendimento...(In ogni caso nel mio post precedente ho scritto "Ci provo", quindi ho reso evidente che si trattava solo di un tentativo...)
Nel caso n=3 ci si riconduce alla sfera così come la si conosce comunemente?
Nel caso n=3 ci si riconduce alla sfera così come la si conosce comunemente?
Già che ci sono dico anche la mia...
Le differenza tra $RR^2$ e $CC$ le vedrai più avanti e saranno sempre più accentuate.
Di certo hai ragione nel dire che sono in bigezione come insiemi, ma se studi matematica o se avrai modo di studiare un po di topologia sarai in grado di apprezzare (o disprezzare) tutte le differenze, è solo questione di tempo ma il mio consiglio è di non abusare delle somiglianza tra questi due insiemi (esperienza personale ad un orale)
Le differenza tra $RR^2$ e $CC$ le vedrai più avanti e saranno sempre più accentuate.
Di certo hai ragione nel dire che sono in bigezione come insiemi, ma se studi matematica o se avrai modo di studiare un po di topologia sarai in grado di apprezzare (o disprezzare) tutte le differenze, è solo questione di tempo ma il mio consiglio è di non abusare delle somiglianza tra questi due insiemi (esperienza personale ad un orale)
Più avanti? Diciamo ad Analisi II?
"newton_1372":
Più avanti? Diciamo ad Analisi II?
No, ad analisi II si parla poco di $CC$...più avanti intendo topologia se la farai...
Se non dovessi mai studiare topologia (non so cosa studi, se fai mate stai pur certo che ne farai fin troppa) praticamente coglierai poche differenze tra $RR^2$ e $CC$, ma ho visto che ti è stata mostrata già la differenza su come è definito il prodotto sui due spazi...ti pare poco?
@angus89: ma con che topologia stai pensando i due spazi? Perché a me in topologia capita spesso di identificarli (entrambi equipaggiati della metrica standard); ad esempio mi capita di pensare la sfera [tex]$S^1 \subseteq \mathbb{C}$[/tex] invece che [tex]$S^1 \subseteq \mathbb{R}^2$[/tex]. Credo mi sfugga qualcosa, perché non ho capito a che situazione ti stai riferendo.
Wow...la problematica si fa sempre più interessante...vedo che l'argomento dà da pensare anche ac chi è molto piu bravo di me
Forse l'unico aspetto in cui non c'è nessuna differenza tra $RR^2$ e $CC$ è proprio quello topologico. Le differenze sono a livello algebrico, in termini di operazioni definite sui due insiemi.
Si può pensare $CC$ come una versione augmented di $RR^2$: si prende $RR^2$ e lo si munisce di una operazione interna in più. Il risultato è $CC$: una struttura diversa (perché più ricca) dal punto di vista algebrico, uguale dal punto di vista topologico.
Si può pensare $CC$ come una versione augmented di $RR^2$: si prende $RR^2$ e lo si munisce di una operazione interna in più. Il risultato è $CC$: una struttura diversa (perché più ricca) dal punto di vista algebrico, uguale dal punto di vista topologico.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo